Մոտարկումների տեսություն

Մոտարկումների տեսություն, ֆունկցիաների տեսության բաժին, որն զբաղվում է ֆունկցիաների մոտավոր ներկայացման հարցերով, ինչպես նաև այդ ներկայացման հիման վրա ֆունկցիաների ուսումնասիրությամբ։

Ֆունկցիայի մոտարկում տրված $f$ ֆունկցիայի համար որոշակի դասի պատկանող այնպիսի $g$ ֆունկցիայի գտնելը, որը այս կամ այն իմաստով մոտ է $f$-ին։ Նայած թե ինչ դասում է փնտրվում $g$ ֆունկցիան և նայած թե ինչպես են հասկանում $f$-ի և $g$-ի մոտիկությունը, լինում են մոտարկման տարբեր խնդիրներ։ $f$-ի և $g$-ի մոտիկությունը որոշվում է կոնկրետ ֆունկցիոնալ տարածության մետրիկայով․ օրինակ կարող են ծառայել $C[a,b]$-ի՝ $[a,b]$ հատվածի վրա անընդհատ ֆունկցիաների տարածության կամ $Lp(p\leqslant 1)$-ի՝ $p$ աստիճանով ինտեգրալի ֆունկցիաների տարածության մետրիկաները․

$||f-g||_{C[a,b]}=max_{x\in [a,b]}{|f(x)-g(x)|}$,

$||f-g||_{Lp]}=(\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{p}dx)^{\frac {1}{P}}$:

Որպես մոտարկող ֆունկցիաներ վերցնում են $\sum a_{k}\ \phi _{k}(x)$ տեսքի բազմանդամներ․ սովորաբար $\phi _{k}$-երը $x_{m},\ cosmx,\ sinmx$, տեսքի ֆունկցիաներ են, կամ օրթոգոնալ բազմանդամներ, կամ էլ օպերատորների սեփական ֆունկցիաներ։

Մոտարկող ֆունկցիաների կարևոր դասեր են ռացիոնալ ֆունկցիաների դասերը։ Սկսած 1960–70-ից բուռն զարգացում է ապրում սպլայն–ֆունկցիաներով մոտարկումը։

Կարևոր դեր է խաղում Չեբիշևի մտցրած լավագույն մոտարկման գաղափարը․ $f(x)$ անընդհատ ֆունկցիայի լավագույն մոտարկում ($\sum a_{k}\phi _{k}(x)$ տեսքի բազմանդամներով) $C[a,b]$-ի մետրիկայով կոչվում է $En(f)=min{||f-\sum a_{n}\phi _{n}(x)||}_{c}$ մեծությունը (թիվը), որտեղ մինիմումը վերցվում է ըստ բոլոր $a_{1},a_{2},....,a_{n}$ թվերի։ Այն բազմանդամը, որի համար հասնում է այդ մինիմումը, կոչվում է լավագույն մոտարկման բազմանդամ։ Լավագույն մոտարկումը (նաև՝ բազմանդամը) կախված է ինչպես մոտարկող ֆունկցիաների դասից, այնպես էլ մոտարկման մետրիկայից։

Մոտարկումների տեսության առաջին արդյունքներից է Վայերշտրասի թեորեմը, ըստ որի $[a,b]$-ի վրա յուրաքանչյուր անընդհատ ֆունկցիա ցանկացած ճշտությամբ կարելի է մոտարկել ($C[a,b]$-ի մետրիկայով) բազմանդամներով, այսինքն՝ $\lim \limits _{n\to \infty }{En(f)=0}$:

Մոտարկումների տեսության հիմնական հարցերից մեկը $En(f)$-ի վարքի (երբ $n\to \infty$) ուսումնասիրությունն է․ ընդ որում տարբերում են երկու տեսակի խնդիրներ (պայմանականորեն դրանցից մեկը անվանում են ուղիղ, մյուսը՝ հակադարձ)։

Ուղիղ խնդիր

$En(f)$ զրոյի ձգտելու արագության ուսումնասիրությունը՝ կախված $f$ ֆունկցիայից։

Հակադարձ խնդիր

$f$ ֆունկցիայի հատկությունների ուսումնասիրությունը ըստ {${En(f)}$} հաջորդականության։

Մոտարկումների տեսության, ինչպես նաև կոմպլեքս անալիզի կարևորագույն բաժին է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների մոտավորությունների տեսությունը, որը ուսումնասիրում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների անալիտիկ ֆունկgիաների հատուկ դասերով մոտարկման հարցերը։ Կենտրոնական խնդիրներից են նաև ռացիոնալ ֆունկցիաներով մոտարկման հարցերը, ինչպես նաև մոտարկման հնարավորության, մոտարկման արագության ևն հարցերը։ Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների մոտարկումների տեսությունը սերտորեն կապված է կոմպլեքս անալիզի այլ բաժինների, օրինակ, կոնֆորմ արտապատկերումների տեսության, պոտենցիալի տեսության, ինտեգրալ ներկայացումների տեսության, մերոմորֆ ֆունկցիաների արժեքների բաշխման տեսության հետ։

Բազմանդամներով մոտարկման առաջին արդյունքներից մեկը Ռունգեի թեորեմն է, ըստ որի միակապ տիրույթում յուրաքանչյուր անալիտիկ ֆունկցիա կարելի է հավասարաչափ մոտարկել կոմպակտների վրա։ Հավասարաչափ մոտարկման ընդհանուր խնդիրը դրվում է այսպես, կոմպլեքս հարթության ինչպիսի՞ $k$ կոմպակտների համար, $k$-ի վրա անընդհատ և $k$-ի ներքին կետերում անալիտիկ ֆունկցիան հնարավոր է հավասարաչափ մոտարկել բազմանդամներով։ Այդպիսի մոտարկման հնարավորության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը $k$-ի լրացման կապակցված լինելն է։ Ներքին կետեր չունեցող կոմպակտների համար այս արդյունքը ստացել է Լավրենտևը (1934), փակ տիրույթների համար՝ Կելդիշը (1945), իսկ ընդհանուր դեպքում՝ Մերգելյանը (1951)։ Ուսումնասիրության առանձին ուղղություններ են նաև ռացիոնալ ֆունկցիաներով հավասարաչափ և լավագույն մոտարկումը, ամբողջ ֆունկցիաներով մոտարկումը, կշռային մոտարկումը ևն։ Կարևոր են նաև շատ փոփոխականի ֆունկցիաների մոտարկումների տեսության հարցերը։

Հայաստանում մոտարկումների տեսության զարգացման մեջ ավանդ ունեն Ա․ Շահինյանը, Մ․ Ջրբաշյանը, Ս․ Մերգելյանը, Ն․ Առաքելյանը։

Օրինակներ

• $\sin x$ ֆունկցիայի ճշգրիտ արժեքը հաշվելու փոխարեն բավականաչափ փոքր $x$-ի դեպքում օգտագործվում է հենց $x$-ը, այսինքն՝ $\sin x\approx x$։ Որքան մեծ լինի $x$-ը, ավելի մեծ կլինի այսպիսի մոտարկման սխալանքը։

Տես նաև

• Մետրիկական տարածություն

Ամսագրեր

Մոտարկումների տեսությանը նվիրված հիմնական գիտական հոդվածները՝

• Journal on Approximation Theory (անգլերեն, թողարկվում է ԱՄՆ-ում, կարճ՝ JAT)
• East Journal on Approximation (անգլերեն, թողարկվում է Ռուսաստանում և Բուլղարիայում)
• Constructive Approximation (անգլերեն, թողարկվում է ԱՄՆ-ում)

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 45)։