Մեկ փոփոխականի քառակուսային ֆունկցիա

Քառակուսային ֆունկցիա, երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա։ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ հավասարումը քառակուսային ֆունկցիա է և պարունակում է քառակուսի եռանդամ, որտեղ $a\neq 0$ և $a,b,c\in \mathbb {R}$ ։ Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլ է։ Քառակուսային ֆունկցիայի շատ հատկություններ կապված են պարաբոլի գագաթի հետ, որը որոշում է գրաֆիկի դիրքը և տեսքը։

$f(x)=x^{2}-x-2$ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հիմնական հատկություններ

Քառակուսային $f(x)=ax^{2}+bx+c$ ֆունկցիայի շատ հատկություններ կախված են $a$ գործակցի արժեքից։ Հետևյալ աղյուսակը ամփոփում է քառակուսի ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները։

Հատկություն	$a>0$	$a<0$
Ֆունկցիայի որոշման տիրույթ	$D(f)=\mathbb {R}$
Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ	$E(f)=\left[-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}};+\infty \right)$	$E(f)=\left(-\infty ;-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
Ֆունկցիայի զույգությունը	Զույգ է $b=0$ դեպքում, կենտ է $b\neq 0$ դեպքում
Ֆունկցիայի պարբերականությունը	Ոչ պարբերական ֆունկցիա
Ֆունկցիայի անընդհատությունը	Անընդհատ է, խզման կետեր չկան
Ֆունկցիայի զրոները	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$, եթե $D=b^{2}-4ac\geq 0$իրական զրոներ չկան, եթե $D=b^{2}-4ac<0$
Ֆունկցիայի սահմանը $x\to \pm \infty$ դեպքում	$f(x)\to +\infty$ , $x\to \pm \infty$ դեպքում	$f(x)\to -\infty$, $x\to \pm \infty$ դեպքում
Ֆունկցիայի դիֆերենցելիություն	Ամենուր բազմակի դիֆերենցելի է$f'(x)=2ax+b,f''(x)=2a,f'''(x)=0$
Էքստրեմումի կետերը (բացարջակ էքստրեմում)	$x_{min}={\frac {-b}{2a}}$ (մինիմում)	$x_{max}={\frac {-b}{2a}}$ (մաքսիմում)
Խիստ մոնոտոնության միջակայքերը	նվազում է $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a}}\right]$աճում է $\left[-{\frac {b}{2a}};+\infty \right)$	աճում է $\left(-\infty ;-{\frac {b}{2a}}\right]$նվազում է $\left[-{\frac {b}{2a}};+\infty \right)$
Ֆունկցիայի ուռուցիկությունը	Ամենուրեք գոգավոր ֆունկցիա	Ամենուրեք ուռուցիկ ֆունկցիա
Ճկման կետ	Ճկման կետերը բցակայում են
Ֆունկցիայի սահմանափակումները	Սահմանափակ ներքևից	Սահմանափակ վերևից
Ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը	Բացակայում է	$y_{max}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
Ֆունկցիայի նվազագույն արժեքը	$y_{min}=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$	Բացակայում է
Ֆունկցիայի դրական արժեքները	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$	$(x_{1};x_{2})$
Ֆունկցիայի բացասական արժեքները	$(x_{1};x_{2})$	$(-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$

Գործակիցների ազդեցությունը գրաֆիկի ձևափոխության վրա

$a$, $b$ и $c$ իրական թվերը քառակուսի ֆունկցիայի ընդհանուր արձանագրման մեջ կոչվում են նրա գործակիցներ։ Այս դեպքում a գործակիցը ընդունված է անվանել ավագ, իսկ c գործակիցը՝ ազատ։ Յուրաքանչյուր գործակցի փոփոխությունը հանգեցնում է պարաբոլի որոշակի փոխակերպումների։

a գործակցի արժեքով կարելի է դատել այն մասին, թե որ ուղղությամբ են ուղղված նրա ճյուղերը (վեր կամ վար) և գնահատել դրա ձգման կամ սեղմման աստիճանը օրդինատների առանցքի նկատմամբ։

Եթե $a>0$, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են դեպի վեր, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է ներքևում։

Եթե $a<0$, ապա պարաբոլի ճյուղերը ուղղված են ներքև, այսինքն, նրա գագաթը գտնվում է վերևում։

Եթե $|a|<1$, ապա պարաբոլը սեղմվում է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելիկ այն է և հարթ։

Եթե $|a|>1$, ապա պարաբոլը ձգվել է օրդինատների առանցքի վրա, այսինքն, կարծես ավելի նեղ է և կտրուկ։

a գործակցի արժեքի ազդեցությունը առավել պարզապես թույլ է տալիս ցույց պատկերացնել ֆունկցիայի տեսքը կախված գործակցի արժեքից, այսինքն, այն դեպքում, երբ b=0 և C=0, ապա$f(x)=ax^{2}$։ Այն դեպքում, երբ $a=0$ քառակուսի ֆունկցիան վերածվում է գծայինի։

c գործակիցը բնութագրում է պարաբոլայի զուգահեռ տեղափոխությունը օրդինատների առանցքի նկատմամբ (այսինքն՝ վեր կամ վար)։ Այս գործակցի արժեքը 1-ով բարձրացնելու դեպքում գրաֆիկը տեղափոխում է 1-ով։ Համապատասխանաբար, եթե դուք նվազեցնել գործակիցը պարաբոլը կտեղափոխվի ներքև։ Քանի որ, $b$ գործակիցը նույնպես ազդում է պարաբոլայի վերին դիրքի վրա, ապա միայն c գործակցի արժեքից չի կարելի դատել այն մասին, թե արդյոք գագաթը գտնվում է աբսցիսների առանցքից բարձր կամ ցածր։

Ցանկացած $f(x)=ax^{2}+bx+c$ տեսքի քառակուսային ֆունկցիայի ձևափոխումը $f(x)=a(x-x_{0})^{2}+y_{0}$ տեսքի, թույլ է տալիս օգտվել երկանդամների կրճատ բազմապատկման բանաձևերից։

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

$=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x\right)+c$

$=a\cdot \left(x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c$

$=a\cdot \left(x^{2}+2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$

$=a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac}{4a}}$

$=a\cdot \left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}$

$=a\cdot \left(x-x_{0}\right)^{2}+y_{0}$, где $x_{0}={\frac {-b}{2a}}$ и $y_{0}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}$

Ֆունկցիայի զրոներ

Քառակուսային ֆունկցիան երկրորդ աստիճանի ամբողջ ռացիոնալ ֆունկցիա է, ուստի այն կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան երկու զրոներ իրական տիրույթում։

Առանց համապատասխան քառակուսի հավասարման լուծման, քառակուսային ֆունկցիայի զրոները որոշելը հնարավոր է դիսկրիմինանտի հաշվման միջոցով։

Լրիվ դիսկրիմինանտ (որոշիչ)	Կրճատ դիսկրիմինանտ	Բերված դիսկրիմինանտ
$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=ax^{2}+bx+c$	$f(x)=x^{2}+px+q$
$D=b^{2}-4ac$	$D=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-ac$	$D=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$

Անկախ դիսկրիմինանտի որոշմանձևից ճիշտ են հետևյալ պնդումները․

• Եթե $D=0$, ապա պարաբոլի գագաթի աբսցիսը կլինի ֆունկցիայի միակ զրոն։
• Եթե $D>0$, ապա ֆունկցիան ունի աբսցիսների առանցքի հետ երկու հատման կետ,այսինքն երկու զրո։
• Եթե $D<0$, ապա ֆունկցիան զրոներ չունի, քանի որ գրաֆիկը չի հատվում աբսցիսների առանցքի հետ։
• Օրինակ, $f(x)=2x^{2}+8x+5$ ֆունկցիայի համար՝

$D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 2\cdot 5=64-40=24>0$.

Սա նշանակում է,որ տվյալ ֆունկցիան ունի երկու իրական զրոներ։

Դրսևորումներ գործնականում

• Ազատ անկում կատարող մարմնի բարձրության կախումը ժամանակից․
• Շրջանի չափերի կախումը իր գծային չափերից օրինակ՝ շառավղից։
• Հավասարաչափ փոփոխական շարժման տեղափոխության կախումը ժամանակից։

Տես նաև

• Քառակուսային եռանդամ
• Պարաբոլ

Գրականություն

• Сканави М.И. График квадратного трёхчлена // Элементарная математика. — 2-е изд., перераб. и доп. — М., 1974. — С. 130—133. — 592 с.
• Каплан И.А. Тридцать третье практическое занятие (экстремум квадратичной функции) // Практические занятия по высшей математике. — 3-е изд. — Харьков, 1974. — С. 449—451.