Մաթեմատիկան Հին Եգիպտոսում

Հնագույն եգիպտական մաթեմատիկական տեքստերը վերաբերում են մ.թ.ա. II հազարամյակի սկզբին։ Այնուհետև մաթեմատիկան գիտելիքները օգտագործել են աստղագիտության, նավիգացիայի, հողային հետազոտությունների, շենքերի, պատնեշների, ջրանցքների և ռազմական կառույցների կառուցման մեջ։ Դրամական հաշվարկները, ինչպես և բուն գումարը, Եգիպտոսում չի եղել։ Եգիպտացիները գրել են պապիրուսի վրա, որը վատ է պահպանվել, ուստի Եգիպտոսի մաթեմատիկայի մասին մեր գիտելիքները զգալիորեն պակաս են, քան Բաբելոնի կամ Հունաստանի մաթեմատիկայի մասին գիտելիքները։ Հավանաբար, այն ավելի զարգացած է եղել, քան կարելի է պատկերացնել։ Այս կարծիքը հիմնված է այն փաստաթղթերի հիման վրա, որոնք մեզ են հասել և հայտնի է, որ հունական մաթեմատիկոսները մաթեմատիկային տիարպետել սովորել են եգիպտացիներից։

Մեզ ոչինչ հայտնի չէ Եգիպտոսում մաթեմատիկական գիտելիքների զարգացման մասին` ինչպես հին, այնպես էլ ավելի ուշ ժամանակների։ Պտղոմեոսների դինաստիայից հետո սկսվում է եգիպտական և հունական մշակույթների չափազանց բեղմնավոր շրջանը։

Աղբյուրներ

Հիմնական պահպանվող աղբյուրները վերաբերում են Միջին Թագավորության ժամանակաշրջանին։ Հնագույն եգիպտական մշակույթից պահպանված փաստաթղթերը.

• Ահմեսի կամ Ռինդի պապիրուս, մանեածավալուն ձեռագիրը, որը պարունակում է 84 մաթեմատիկական խնդիր։ Գրվել է մ.թ.ա. մոտ 1650 թվականին։
• Մոսկվայի մաթեմատիկական պապիրուսը, որում կար 25 խնդիր։ Գրվել է մ.թ.ա մոտ 1850 թվականինՙ 544 × 8 սմ
• ասյպես է կոչվում «կաշվե փաթեթ», 25 × 43 սմ
• Պապիրուս Լահունից, պարունակում է մի շարք հատվածներ մաթեմատիկական թեմաներով։
• Բեռլինյան պապիրուս, գրված մ.թ.ա մոտ 1300 թվականին։
• Կահիրե փայտե աղյուսակ (Ահմիմի աղյուսակ)
• Ռեյսների պապիրուսՙ գրվել է մ.թ.ա մոտավորապես XIX դարում։

Նոր թագավորությունից մեզ հասել են հաշվարկային բնույթի մի քանի հատվածներ։

Բոլոր այս գրվածքների հեղինակները անհայտ են։ Մեզ հասած հատվածները հիմնականում պատճեններ են, որոնք պատճենվել են հիքսոսների ժամանակաշրջանում։ Գիտական գիտելիքների կրողներին կոչում էին դպիրներ, ովքեր հիմնականում պետական կամ տաճարային պաշտոնյաներ էին։

Ահմես պապիրուսի(մ.թ.ա. 1650-ական թվականներին) բոլոր խնդիրները կիրառելի բնույթ են կրում և կապված են շինարարության, հողամասերի սահմանազատման եւ այլնի մասին։ Առաջադրանքները խմբավորված են ոչ թե մեթոդներով, այլ թեմաներով։ Դրանք հիմնականում վերաբերում են եռանկյունների, քառանկյունների և շրջանների մակերեսներին, մի շարք գործողությունների՝ ամբողջ թվերի հետ կապված, թվաբանական միջինին, թվաբանական պրոգրեսիաների որոշմանը, մեկ անհայտով առաջին և երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծմանը։

Լիովին բացակայում է որևէ բացատրություն կամ ապացույցներ։ Փնտրվող արդյունքը տրվում է ուղիղ ձևով կամ տրվում է կարճ ալգորիթմ` հաշվարկման համար։ Հին Արևելքի երկրների գիտության ներկայացման այս ձևը ենթադրում է, որ մաթեմատիկան զարգացել է այնտեղ ինդուկցիայով, հմուտ և սրամիտ գուշակություններով, որոնք ոչ մի ընդհանուր տեսություն չեն կազմում։ Այնուամենայնիվ, պապիրուսում կա մի շարք փաստարկներ, ըստ որոնց հնագույն Եգիպտոսում մաթեմատիկան եղել է այդ տարիներից կամ այդ շրջանում այն սկսել է ձեռք բերել տեսական բնույթ։ Այսպիսով, եգիպտական մաթեմատիկոսները կարողանում էին գտնել արմատներ և դրանք բարձրցնել տարբեր աստիճաններ, լուծել հավասարումներ, ծանոթ էին թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիաներին և նույնիսկ տիրապետում էին հանրահաշվի այն գաղափարներին, երբ հավասարումների լուծման հատուկ հիերոգլիֆի «կույտ»-ը նշանակում են անհայտով։

Համարակալում (թվերի գրառում)

Հին եգիպտացիների համարակալումը, այսինքն, թվերի գրառումը նման էր հռոմեացիներինի գրառմանը. սկզբում կան առանձին նշաններ 1, 10, 100, … 10 000 000: Եգիպտացիները գրել են աջից դեպի ձախ, իսկ փոքր թվերը գրել են սկզբում, այնպես, որ վերջում թվերի կարգը համապատասխանում էր ներկայիս կարգին։ Հիերատիկ գրվածքում արդեն առանձին նշաններ կան 1-9 թվերի, ինչպես նաև տարբեր տասնյակների, հարյուրյակների և հազարավորների համար։ Հին Եգիպտոսում ցանկացած թիվ կարելի է գրել երկու ձևով` բառերով և թվերով։ Օրինակ, 30 թիվը գրելու համար դուք կարող եք օգտագործել սովորական նիշեր՝

կամ գրեք նույնը թվերով (երեք տասնյակի նշան)՝

Հիերոգլիֆներ թվերը ցուցադրելու համար

1	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000

Վառարան՝ արքայադուստր Նեֆերետիաբեթի դամբարանից (մ.թ.ա 2590—2565, Գիզա). Լուվր

Եգիպտացիները բազմապատկումը կատարում էին կրկնապատկման և ավելացման համադրությամբ։ Բաժանումը բաղկացած էր բաժանարար ընտրությունից, այն բազմապատկման հակառակ գործողությունն է։ Հատուկ նշաններ կային ռացիոնալ թվերի համար՝ ${\frac {1}{n}}$ և ${\frac {2}{3}}$: Սակայն ընդհանուր ռացիոնալ թվերի՝ ${\frac {m}{n}}$ հասկացություն նրանց մոտ չի եղել, եւ բոլոր ոչ կանոնական թվերը ներկայացվում էին առանձին ֆրակցիաների գումար։ Նման ընդլայնումները ամփոփել են աղյուսակներում՝

Հաճախակի հանդիպող ֆրակցիաների օրինակներ

$1/2$	$1/3$	$2/3$	$1/4$	$1/5$

Թվերի գրառման օրինակ Ռինդայի պապիրուսից՝

5 + ¹⁄₂ + ¹⁄₇ + ¹⁄₁₄ (= 5 ⁵⁄₇)

Թվաբանություն

Գումարման և հանման նշաններ

Որպեսզի ցույց տան գումարման կամ հանման նշանները, օգտագործել են

կամ

հիերոգլիֆը։

Եթե այս հիերոգլիֆի ոտքերի ուղղությունը համընկավ փոտարկղի ուղղությանը, ապա դա նշանակում է «գումարում», իսկ մյուս դեպքում այն նշանակում է «հանում»։

Գումարում

Եթե գումարման ժամանակ տասից ավելի մեծ քանակ կա, ապա տասնյակ գրվում է աճող հիերոգլիֆով։

Օրինակ՝ 2343 + 1671

+

հավաքելով բոլոր նույն հիերոգլիֆները և ստանում ենք՝

փոխարինենք

և վերջնական արդյունք կստանանք

Բազմապատկում

Հնագույն եգիպտական բազմապատկումը երկու թվերի բազմապատկման հետևողական մեթոդ է։ Հատուկ թվերը բազմապատկելու համար պարտադիր չէր, որ նրանք իմանային բազմապատկման աղյուսակները, բավական էր, որ միայն կարողանային թվերը բաժանել փոքր մասերի, բազմապատկել այդ թվերը և գումարել։

Տարրալուծում

Եգիպտացիները օգտագործեցին ամենափոքր համակարգերի տարրալուծման մեթոդը, որոնց գումարը կլինի սկզբնական թիվը։

Ճիշտ ընտրելու համար թվերը, պետք է իմանային հետևյալ արժեքների աղյուսակը՝

1 x 2 = 2
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
16 x 2 = 32

Օրինակ տարրալուծմենք «25» թիվը՝

• 25-ի բազմապատկիչը 16 թիվն է
• 25 — 16 = 9
• 9-ի բազմապատկիչը 8 թիվն է
• 9 — 8 = 1
• 1-ի բազմապատկիչը 1 թիվն է
• 1 — 1 = 0

Այսպիսով «25»-ը 16, 8 և 1 թվի գումարն է։

Օրինակ բազմապատկենք «13» և «238» թվերը՝

✔	1 х 238	= 238
✔	4 х 238	= 952
✔	8 х 238	= 1904
	13 х 238	= 3094

Հայտնի է, որ 13 = 8 + 4 + 1: Այս տերմիններից յուրաքանչյուրը պետք է բազմապատկվի 238-ով։ Ստացվում է 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094:

Երկրաչափություն

Մակերեսների հաշվում

Երկրաչափության բնագավառից եգիպտացիները գիտեին ուղղանկյան, եռանկյան և տրապեզիայի մակերեսների հավման ճշգրիտ ձեւակերպումները։ A, b, c, d կողմեր ունեցող կամայական, քառանկյան մակերեսը մոտավորապես հաշվարկվում էր $S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$ բանաձևերով։ Այս բանաձևը ընդունելի ճշգրտություն է տալիս նաև այն դեպքում երբ պատկերը մոտ է ուղղանկյանը։ Եգիպտացիները ենթադրում էին, եթե շրջանի տրամագիծը d է, ապա շրջանի S մակերեսը հավասար է տրամագծի 8/9 մասի քառակուսուն՝ $S=\left(d-{\frac {d}{9}}\right)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}$: Այն համապատասխանում է նաև հետևալ մոտարկմանը՝ $\pi \approx 4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}$ ≈ 3,1605 (սխալը 1%-ից պակաս է, ճշգրտությունը 99%)։

Որոշ հետազոտողներ Մոսկվայի մաթեմատիկական պապիրուսի 10-րդ խնդրի հիման վրա հավատում էին, որ եգիպտացիները գիտեին ոլորտի հաշվարկի ճշգրիտ բանաձևը, սակայն այլ գիտնականներ համաձայն չէին այդ տեսակետին։

Ծավալների հաշվում

Ջրի ժամացույցի վերակառուցում ըստ Օքսիրինհի գծագրերի

Եգիպտացիները կարողանում էին հաշվարկել զուգահեռանիստի, գլանի, կոնի և բուրգի ծավալները։ Ենթադրյալ բուրգի ծավալը հաշվելու համար եգիպտացիները կիրառեցին հետևյալ կանոնը. ենթադրել են կտրված բուրգ, որի ստորին հիմքի կողմը նշանակել են a-ով, վերինը՝ b-ով, իսկ բարձրությունը՝ h-ով, ապա ծավալը հաշվարկել են հետևյալ (ճիշտ) բանաձևով՝ $V=(a^{2}+ab+b^{2})\cdot {\frac {h}{3}}$:

Օկիրինհիայում հայտնաբերված պապիրուսը ցույց է տալիս, որ եգիպտացիները կարողանում էին նաև հաշվել հատած կոնի ծավալը։ Այս գիտելիքը նրանք օգտագործում էին ջրի ժամացույց պատրաստելու համար։

Եգիպտական եռանկյուն

Եգիպտական եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի կողմերը հարաբերում են ինչպես 3:4:5 ։ Առաջին դարում Պլուտարքոսն այս եռանկյունի մասին գրել է «Իսիդայի և Օսիրիսի մասին» շարադրանքում։ Գուցե այդ պատճառով, այս եռանկյունին կոչվում է եգիպտական։ Իրոք, հունացի գիտնականները հայտնաբերել են, որ Եգիպտոսում ուղիղ անկյուն կառուցելու համար օգտագործվել է պարան, որը բաժանված է եղել 12 մասի։

Եգիպտական եռանկյունը ակտիվորեն օգտագործվում էր եգիպտացի գիտնականների և ճարտարապետների կողմից՝ ճիշտ անկյունների կառուցման համար, օրինակ բուրգեր կառուցելիս։ Պատմաբան Վան դեր Վարդենը փորձել է կասկածի ենթարկել այդ փաստը, սակայն հետագայում ուսումնասիրությունները հաստատեցին այդ փաստը։

Տես նաև

• Մաթեմատիկական պապիրուսներ

Գրականություն

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с.
• Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. Труды ИИЕ, 2, 1948, с. 426—498.
• Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — Москва-Ленинград, 1937.
• Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Gillings R. J. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
• Rossi C. Architecture and mathematics in Ancient Egypt. Cambridge (UK): Cambridge UP, 2004.
• Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrödel, 1958.

Արտաքին հղումներ

• «Математика». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ. 1890–1907.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link)

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Մաթեմատիկան Հին Եգիպտոսում» հոդվածին։