Մաթեմատիկայի պատմությունը Հնդկաստանում

Հնդկական մաթեմատիկայի գիտական ձեռքբերումները լայն և բազմազան են։ Արդեն հին ժամանակներում Հնդկաստանի գիտնականները, շատ առումներով հասան զարգացման յուրօրինակ մակարդակների, այդ թվում մաթեմատիկական գիտելիքների բարձր մակարդակի։ Մ.թ.ա առաջին հազարամյակում Հին Հնդկակաստանի գիտնականները հնագույն մաթեմատիկան բարձրացրեցին և հասցրին նոր, ավելի բարձր մակարդակի վրա։

Հնագույն ժամանակաշրջան

Հին քխմերական թվերով գրված օրը Շակի դարաշրջանի 605 տարին (683 թվական)՝ զրոյի հնագույն պատկերը (Սամբոուր, Կամբոջա)

Հնդկական մաթեմատիկայի զարգացումը, հավանաբար, վաղուց էր սկսվել, բայց փաստացի ոչ մի վավերագրական տեղեկատվություն չկա զարգացման սկզբնական շրջանի մասին։ Մաթեմատիկական տեղեկատվությունը պարունակող հնագույն հին տեքստերի շարքում առանձնանում են Շուլբա-սութրայի (Վեդաների հավելված) մի շարք կրոնական և փիլիսոփայական գրքեր։ Այս տեքստերը նկարագրում է զոհասեղանի շինարարությունը։ Այս գրքերի ամենահին տարբերակները պատկանում են մ.թ.ա. VI դարին։ Հետագայում, մինչև մ.թ.ա. 3-րդ դար, դրանք անընդհատ լրացվում էին։ Արդեն այդ հնագույն ձեռագրերում կար հարուստ մաթեմատիկական տեղեկատվություն, որն իր մակարդակով ոչնչով չէր զիջում բաբելոնյան մաթեմատիկային՝

• Գործողություններ կոտորակների հետ
• Արմատների առանձնացում
• Ռացիոնալ մոտարկումներ արմատների համար
• Դիոֆանտյան հավասարումների լուծում
• Երկրաչափական և թվաբանական պրոգրեսիաների գումարում
• Պյութագորասի թեորեմ
• Եռանկյան, զուգահեռագծի և սեղանի մակերեսների, գլանի և պրիզմայի, հատած պրիզմայի ծավալների հաշվման հստակ և մոտավոր մեթոդներ։

Կոմբինատորիկայի դասական խնդիրը՝ «Քանի եղանակով կարելի է m տարրերից ընտրել բոլոր N հնարավոր տարբերակները», այն հիշատակվում է մ.թ.ա. 4-րդ դարի սկզբից։ Հնդկացի մաթեմատիկոսները, ըստ երևույթին, առաջինն էին հայտնաբերել երկանդամի գործակիցները և դրանց հետ կապված Նյուտոնի երկանդամը։

Համարակալում և հաշվում

Այս հնդկական նշաններից առաջացել են ժամանակակից թվեր

Հնդկաստանի համարակալումը (թվերի ձևը) ի սկզբանե նրբագեղ էր։ Սանսկրիտում թվերը համարակալելու համար օգտագործեցին մինչև $10^{53}$: Սկզբում թվերի համար օգտագործել են փյունիկյան համակարգը, իսկ արդեն մ.թ.ա VI դարից՝ առանձին նշաններ 1-9 թվերի համար։ Մի փոքր փոփոխվելուց հետո այդ նշանները դարձել են ժամանակակից թվեր, որոնք մենք կոչում ենք արաբական, իսկ արաբները` հնդկական։ Մոտ մ.թ.ա 500 թվականին հնդկացի գիտնականները հայտնաբերել են մեզ անհայտ թվերի տասնորդական հաշվման համակարգերը։ Նոր համակարգում թվաբանական գործողությունների կատարումը անհամեմատ ավելի հեշտ էր քան նախկինում, երբ հույները կատարում էին անհարմար տառային կոդերով։

Շատ շուտով անհրաժեշտ դարձավ ստեղծել նոր թիվ՝ զրո։ Գիտնականները ժխտեցին այն բոլոր կարծիքները, որոնք փաստում էին, որ այդ գաղափարները եկել է հույներից կամ Չինաստանից, այն ինչ հնդիկները ինքնուրույն են ստեղծել այդ կարևոր նիշը։ Զրոյի առաջին կոդի գրառման օրինակը մեզ հասել է մ.թ.ա 876 թվականից, որը ուներ մեզ ծանոթ շրջանի տեսք։

Հնդիկները օգտագործել են հաշվող տախտակներ՝ հարմարեցված դիրքային գրառումներին։ Նրանք մշակել են ամբողջական ալգորիթմներ բոլոր թվաբանական գործողությունների համար՝ ներառյալ քառակուսի և խորանարդ արմատների դուրսբերումը։ «Արմատ» տերմինն այդպես է անվանվել, քանի որ «մուլա» հնդկական բառը երկու իմաստ ունի, դրանք են՝ հիմք և արմատ (բույսերի)։ Արաբ թարգմանիչները սխալմամբ ընտրել են երկրորդ իմաստը և այդ ձևով այդ տերմինը ստացել է իր անվանումը։ Հնարավոր է, որ նմանատիպ դեպք է եղել նաև «սինուս»-ի անվան ստեղծման ժամանակ։

Հին և միջնադարյան Հնդկաստանի մաթեմատիկոսներ

Առաջին մեզ հասած գիտական գրվածքներում, որոնք մեզ են հասել մ.թ.ա IV—V դարերից, զգալիորեն նկատվում է Հին Հունաստանի ազդեցությունը։ Կան առանձին մաթեմատիկական տերմիններ, որոնք պարզապես գալիս են հունարենից։ Ենթադրվում է, որ այդ աշխատանքներից ոմանք գրել են Հռոմեական կայսրության ջարդերից Ալեքսանդրիայից և Աթենքից փախած հունական արտագաղթողները։ Օրինակ՝ հայտնի Ալեքսանդրիայի աստղագետ Պաուլոսը գրել է «Պուլիսա-սիդդանթա» գրվածքը։

Արիաբհաթա

VI-VI դարերի ստեղծագործությունները հիմնականում պատկանում են հնդկացի մաթեմատիկոս և աստղագետ Արիաբհաթային։ Իր աշխատանքում հաշվարկային խնդիրների լուծման բազմաթիվ օրինակներ կան։ 7-րդ դարում աշխատել է մեկ այլ հնդկացի մաթեմատիկոս և աստղագետ Բրահմագուպտան։ Սկսած Բրահմագուպտայից հնդիկ մաթեմատիկոսները ազատորեն աշխատում են բացասական թվերով, դրանք համարելով որպես պարտք։ Ենթադրվում է, որ այս գաղափարը եկել է Չինաստանից։ Այնուամենայնիվ, հավասարումների լուծման մեջ բացասական արդյունքները անխուսափելիորեն մերժվել են։ Բրահմագուպտան, ինչպես Արիաբհաթային, պարբերաբար կիրառել է շղթայական կոտորակները, որոնց տեսությունը բացակայում էր հույների մեջ։

Հատկապես հնդիկները զարգացել են հանրահաշվի և թվային տեսությունների ոլորտում։

Որոշ պատճառներով երկրաչափությունը հնդիկների մոտ փոքրիկ հետաքրքրություն առաջացրեց. տեսությունների ապացույցները բաղկացած էին նկարից և «տես» բառից։ Մակերեսների և ծավալների, ինչպես նաև եռանկյունաչափության բանաձևերը, ամենայն հավանականությամբ, ժառանգնել են հույներից։

Բնական թվերով անորոշ հավասարումների լուծման ոլորտում կատարվել են մի շարք բացահայտումներ։ Խնդրի լուծումը տրվում էր ընդհանուր բանաձևով՝ $ax^{2}+b=y^{2}$: 1769 թվականին հնդկական այս մեթոդը հայտնաբերել է Լագրանժը։

VII-VIII դարերում հնդկական մաթեմատիկական աշխատանքները թարգմանվել են արաբերեն։ Տասնորդական հաշվման համակարգը ներթափանցում է իսլամի երկրներ և նրանց միջոցով, ի վերջո հասնում է Եվրոպա։

XI դարում մուսուլմանները (Մահմուդ Ղազնևի) իրականացնում են Հյուսիսային Հնդկաստանի գրավումը և կործանումը։ Մշակութային կենտրոնները տեղափոխվում են Հարավային Հնդկաստան։ Գիտական կյանքը երկար ժամանակ անկում է ապրում։ Այս ժամանակահատվածի նշանակալի դեմքերից կարելի է առանձնացնել «Սինդհան շիրոմանի» աստղագիտական-մաթեմատիկական թեզի հեղինակ Բհասկարային։ Բհասկարան տվել է Պելի և մի շարք այլ դիոֆանտային հավասարումների որոշումը, առաջ է քաշել անկանոն կոտորակներ և գնդաչափության տեսությունը։

16-րդ դարը նշանավորվեց 100-200 տարի անց Եվրոպայում տարրերի տեսության մեջ խոշոր հայտնագործություններով, այդ թվում սինուսի, կոսինուսի և արկսինուսի։ Դրանց հայտնաբերման պատճառը, ըստ երևույթին, եղել է գտնել $\pi$-ի ճշգրիտ արժեքը։

Գրականություն

• Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sinθ и cosθ в работах индийских математиков XV—XVII вв. Историко-математические исследования, 13, 1960, с. 325—334.
• Володарский А. И. Математика в древней Индии. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1975. — № 20. — С. 282-298.
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. М.: Наука, 1977.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960-1963.
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
• Шридхара. Патиганита. Перевод О. Ф. Волковой и А. И. Володарского. Статья примечания А. И. Володарского.— ФМСВ, 1966, вып. 1(4), 141—246.
• Datta В., Singh A. N. Histогу of Hindu mathematics, V. 1—2. Bombay, 1963.
• An overview of Indian mathematics Արխիվացված 2002-10-15 Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2000.
  • Index of Ancient Indian mathematics Արխիվացված 2019-10-22 Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2004.
  • Indian Mathematics: Redressing the balance, Student Projects in the History of Mathematics. Ian Pearce. MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2002.
• Mathematics Related E-books(չաշխատող հղում)
• Online course material for InSIGHT Արխիվացված 2009-08-22 Wayback Machine, a workshop on traditional Indian sciences for school children conducted by the Computer Science department of Anna University, Chennai, India.