Մաթեմատիկական անալիզ

Անալիզը՝ որպես ժամանակակից մաթեմատիկայի բաժին, մաթեմատիկայի զգալի մաս է, պատմականորեն ծագել է դասական մաթեմատիկական անալիզից և բացի դասական մաս համարվող դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներից ներառում է նաև այնպիսի բաժիններ, ինչպիսիք են իրական և կոմպլեքս փոփոխականով ֆունկցիաների տեսությունը, դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումների տեսությունը, վարիացոն հաշվարկումը, հարմոնիկ անալիզը, ֆունկցիոնալ անալիզը, դինամիկ համակարգերի և էռգոդիկ տեսությունները, գլոբալ անալիզը։ Ոչ ստանդարտ անալիզ՝ մաթեմատիկական տրամաբանության և անալիզի բաժին, որը կիրառում է մոդելների տեսության մեթոդները ամենից առաջ դասական բաժինների այլընտրանքային ֆորմալիզացման համար։

Հանրահաշվի և երկրաչափության հետ միասին համարվում է մաթեմատիկայի երեք հիմնական ուղղություններից մեկը։ Մյուս ուղղությունների հետ համեմատած՝ անալիզի հիմանկան տարբերող հատկանիշն է որպես հետազոտության առարկա փոփոխական մեծություններով ֆունկցիաների առկայությունը։ Այդ դեպքում, եթե անալիզի տարրական բաժինները դպրոցական ծրագրերում և նյութերում հաճախ միավորում են տարրական հանրահաշվի (օրինակ` գոյություն ունեն բազմաթիվ դասագրքեր և կուրսեր «Հանրահաշիվ և անալիզի ներածություն» անվանմամբ) հետ, ապա ժամանակակից անալիզը բավականին շատ օգտագործում է ժամանակակից երկրաչափական բաժինների մեթոդները, մասնավորապես՝ դիֆերենցիալ երկրաչափության և տոպոլոգիայի։

Պատմություն խմբագրել

«Անվերջ փոքրերի անալիզի» առանձին ճյուղերը, ինչպիսիք են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները (Էյլեր, Բեռնուլի, Դ՚Ալամբեր), վարիացիոն հաշվարկները (Էյլեր, Լագրանժ), անալիտիկ ֆունկցիաների տեսությունը (Լագրանժ, Կոշի, Ռիման), սկսեցին առանձնանալ դեռևս XVIII դարից XIX դարի առաջին կեսերին։ Սակայն անալիզի՝ որպես ինքնուրույն բաժնի ձևավորման սկիզբ համարվում են XIX դարի կեսերին գրված աշխատությունները, որոնցում օգտագործված են դասական անալիզի հիմնական հասկացությունները՝ իրական թիվ, ֆունկցիաներ, սահման, ինտեգրալ։ Այս ժամանակաշրջանում ֆունդամենտալ աշխատություններ են գրում Կոշին և Բոլցանոն, որոնց 1870-1880 թթ.-ին հաջորդում են Վեյերշտրասը, Դեդեկինդը և Կանտորը:^[1] Այս աշխատությունների շնորհիվ ձևավորվեցին իրական փոփոխականով ֆունցիաների տեսությունը և անալիտիկ ֆունցիաների հետ աշխատանքների մեթոդների զարգացմամբ՝ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսությունը։ XIX դարի վերջին Կանտորի կողմից ստեղծված բազմությունների պարզ տեսությունը զարկ տվեց մետրիկական և տոպոլագիական տարածությունների հասկացությունների ի հայտ գալուն, որոնք, բարձրացնելով ուսումնասիրվող օբյեկտների աբստրակտության աստիճանը և կիզակետը տեղափոխելով իրական թվերից դեպի ոչ թվային հասկացություններ, զգալի չափով փոփոխեցին անալիզի ամբողջ գործիքակազմը։

XX դարի սկզբին հիմնականում ֆրանսիական մաթեմատիկական դպրոցի (Ջորդան, Բորել, Լեբեգ, Բեռ) ուժերով ստեղծվեց չափերի տեսությունը, ինչի շնորհիվ ընդհանրացվեց ինտեգրալի հասկացությունը, ինչպես նաև կառուցվեց իրական փոփոխականով ֆունկցիաների տեսությունը։ Դարասկզբին որպես ժամանակակից անալիզի ինքնուրույն ենթաբաժին սկսեց ձևավորվել նաև տոպոլոգիական վեկտորական տարածությունները և իրենց արտապատկերումներն ուսումնասիրող ֆունցիոնալ անալիզը։ «Ֆունկցիոնալ անալիզ» տերմինը ներմուծել է Ադամարը՝ նշանակելով XIX և XX դարերի սահմանին իտալական և ֆրանսիական մաթեմատիկոսների (նրանց թվում՝ Վոլտերա, Արցելա) խմբի կողմից մշակվող վարիացոն հաշվարկի ճյուղը։ 1900 թվականին Ֆրեդգոլմը հրատարակում է ինտեգրալ հավասարումների մասին հոդված, որով զարկ է տրվում ինտեգրալ հավասարումների տեսության, ինտեգրալների ընդհանուր տեսության (Լեբեգ) զարգացմանը, ինչպես նաև ֆունկցիոնալ անալիզի ձևավորմանը^[2]: 1906 թվականին Հիլբերտի աշխատության մեջ գծագրված է լուսապատկերային տեսությունը, այդ նույն տարում հրատարակվել է Ֆրեշեի աշխատությունը, որտեղ առաջին անգամ անալիզ ներմուծվեցին աբստրակտ մետրիկական տարածություններ^[3]: 1910-1920 թվականներին ճշտվում են բաժանելիության հասկացությունը և առաջին անգամ կիրառվում են ընդհանրատոպոլոգիական մեթոդները անալիզում(Հաուզֆորդ), հիմնվում է ֆունկցիոնալ տարածությունը, և սկսվում է նորմավորված տարածությունների ընդհանուր տեսության ձևավորումը (Հիլբերտ, Ռիս, Բանախ, Հան)։ 1929-1932 թվականներին ձևավորվում է հիլբերտյան տարածությունների տեսությունը (Ջոն ֆոն Նեյման, Մարշալ Սթոուն, Ռիս)։ 1936 թվականին Սոբոլյևը ձևակերպում է ընդհանրացված ֆունկցիայի գաղափարը (ավելի ուշ՝ 1940-ական թվականներին, իրենից անկախ նմանատիպ հասկացության եկավ Լորան Շվարցը), որը լայն տարածում է ստանում անալիզի շատ բաժիններում և լայն կիրառություն գտնում (օրինակ՝ ընդհանրացված համարվում է $\delta$ -Դիրակի ֆունկցիան)։ 1930-1950-ական թվականներին ֆունկցիոնալ անալիզում ընդհանուր հանրահաշվական գործիքների (վեկտորական վանդակներ, օպերատորային հանրահաշիվներ, բանախային հանրահաշիվներ) հաշվին ստացվում են զգալի արդյունքներ։

XX դարի կեսին այնպիսի ուղղություններ, ինչպիսիք են դինամիկ համակարգերի տեսությունը և էրգոտիկ տեսությունը, ունեցան ինքնուրույն զարգացում (Ջորջ Բիրկգոֆ, Կոլմոգորով, ֆոն Նեյման)։ Էականորեն ընդհանրացվեցին հարմոնիկ անալիզի արդյունքները ընդհանուր հանրահաշվական միջոցների՝ տոպոլոգիական խմբերի և ներկայացումների (Վեյլ, Պետեր^[en], Պոնտրյագին) կիրառման հաշվին։ 1940-1950 թվականներից սկսած ֆունկցիոնալ անալիզի մեթոդները կիրառում գտան կիրառական ոլորտներում, մասնավորապես՝ 1930-1940-ական թվականներին Կանտորովիչի աշխատանքներում ֆունկցիոնալ անալիզի գործիքները օգտագործվել են հաշվողական մաթեմատիկայում և էկոնոմիկայում (գծային ծրագրավորում)։ 1950-ական թվականներին Պոնտրյագինի և աշակերտների գործերում վարիացոն հաշվարկների մեթոդների զարգացման մեջ ստեղծվում է օպտիմալ կառավարման տեսությունը։

XX դարի երկրորդ կեսերից սկսած դիֆերենցիալ տոպոլոգիայի զարգացման հետ մեկտեղ անալիզին միացավ նոր ուղղություն՝ անալիզ բազմաձևությունների վրա, որը ստացավ «Գլոբալ անալիզ» անվանումը։ Այն փաստացի սկսել է ձևավորվել վաղ 1920-ական թվականներին Մորսի տեսության շրջանակներում որպես վարիացիոն հաշվարկների ընդհանրացում (Մորսն այն անվանել է «Ամբողջով վարիացիոն հաշվարկներ», անգլ. variation calculus in large): Այս ուղղությանն են վերաբերում դինամիկ համակարգերի երկֆունկցիոնալ տեսության (Անդրոնով) զարգացման մեջ այնպիսի ուղղությունների ստեղծումը, ինչպիսիք են յուրահատկությունների տեսությունը (Վիտնի, 1955) և աղետների տեսությունը (Թոմ, 1959 և Մազեր^[en], 1965), որոնք զարգացում ստացան 1970-ական թվականներին Զիմանի և Արնոլդի աշխատություններում։

1960-ական թվականների սկզբին Ռոբինսոնի կողմից ստեղծվեց ոչ ստանդարտ անալիզը՝ այլընտրանքային ձևավորում ինչպես անալիզի դասական, այնպես էլ կից բաժիններում մոդելների տեսության գործիքակազմի օգտագործմամբ։ Եթե սկզբում ոչ ստանդարտ անալիզը դիտարկվում էր միայն որպես դասական բաժինների վատ ձևավորվող տեխնիկայի հիմնավորման հասկացություն (առաջին հերթին անվերջ մեծ և անվերջ փոքր մեծությունների), ապա 1970-ական թվականների վերջերին ներքին բազմությունների տեսության^[en] մշակմամբ և բխող ընդհանրացումներով հայտնաբերվեց, որ ոչ ստանդարտ անալիզի կառուցվածքայնությունը կիրառված է մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ճյուղերում^[4]: Բացի այդ, ոչ ստանդարտ անալիզի լեզվի արտահայտչականության շնորհիվ նրա միջոցներով դրսևորվել են արդյունքներ, որոնք չէին հայտնաբերվել դասական անալիզում, բայց դրա հետ մեկտեղ սկզբունքայնորեն կարող էին ստացված լինել և ստանդարտ, դասական միջոցներով^[5]։ 1970-1980-ական թվականներին նույնպես, ֆորսինգի մեթոդի զարգացման մեջ ( Կոենի կողմից ստեղծված ZFC կոնտինում հիպոթեզի մեջ անթույլատրելիության ապացույցի համար) Սոլովեյի, Սկոտտի և Ոպենկայի աշխատություններում մշակվել է բուլյան մոդելների^[en] տեսությունը, որի հիման վրա ձևավորվեց ոչ ստանդարտ անալիզի ինքնուրույն ճյուղը՝ բուլյան անալիզը^[6]։

Դասական մաթեմատիկական անալիզ խմբագրել

Դասական մաթեմատիկական անալիզ՝ պատմական «անվերջ փոքրերի անալիզին» փաստացի ամբողջությամբ համապատասխանող բաժին, բաղկացած է երկու հիմնական բաղադրիչներից՝ դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներից։ Հիմնական հասկացություններ՝ ֆունկցիայի սահման, դիֆերենցիալ, ածանցյալ, ինտեգրալ, գլխավոր արդյունքներ՝ որոշյալ ինտեգրալը, նախնականն ու Թեյլորի շարքը (կետի շրջակայքում անվերջ դիֆերենցվող ֆունկցիայի վերլուծումը շարքի) կապող՝ Նյուտոն–Լեյբնիցի բանաձև։ «Մաթեմատիկական անալիզ» տերմինի տակ հիմնականում հասկանում են հենց այս դասական բաժինը, դրա հետ մեկտեղ այն հիմնականում օգտագործում է ուսումնական ծրագրերում և նյութերում։ Անալիզի հիմունքների ուսումնասիրությունը մտնում է միջնակարգ կրթության ծրագրերի մեծամասնություններում, իսկ առարկայի քիչ թե շատ լրիվ ուսումնասիրությունը ներառված է բարձրագույն կրթության առաջին տարիների ծրագրերի մեջ լայն շրջանի մասնագետների համար։ Անգլո–ամերիկյան կիթական կարգերի մեջ դասական մաթեմատիկական անալիզի նշանակման համար օգտագործում են «հաշիվ» հասկացությունը (անգլ.՝ calculus)։

Իրական փոփոխականով ֆունկցիաների տեսություն խմբագրել

Իրական փոփոխականով ֆունկցիաների տեսությունը (երբեմն կարճ անվանվում է ֆունկցիաների տեսություն) ի հայտ է եկել իրական թվի և ֆունկցիայի հասկացությունների ձևավորման հետևանքով^[7]․ եթե դասական բաժիններում դիտարկվում էին միայն սովորական ձևով կոնկրետ խնդիրներում ի հայտ եկած ֆունկցիաները, ապա ֆունկցիաների տեսությունում ֆունկցիաներն իրենք են դառնում ուսումնասիրության առարկա, ուսումնասիրվում է իրենց վարքը, իրենց հատկությունների հարաբերակցությունը։ Արդյունքներից մեկը իրական փոփոխականով ֆունկցիաների տեսության առանձնահատկությունները նկարագրող այն փաստն է^[8], որ անընդհատ ֆունկցիան կարող է ոչ մի կետում ածանցյալ չունենալ (ընդ որում քիչ առաջ ներկայացված դասական մաթեմատիկական անալիզում բոլոր անընդհատ ֆունկցիաների դիֆերենցելիությունը կասկածի տակ չէր դրվում)։

Իրական փոփոխականով ֆունկցիաների տեսության հիմնական հասկացություններ^[9]՝

չափի տեսություն, որում որպես հիմնական գործիք օգտագործվում են բազմության չափ և չափելի ֆունկցիաներ հասկացությունները, որոնց հիմքի վրա ավելի ընդհանուր ձևով ներմուծվում և ուսումնասիրվում են ինտեգրելիությունն ու դիֆերանցելիությունը, հատուկ ձևով ներմուծվում է զուգամիտություն հասկացությունը, ուսումնասիրվում է խզվող ֆունկցիաների բավականին լայն դաս,
իրական փոփոխականով ֆունկցիանների դեսկրիպտիվ տեսություն, որը բազմությունների դեսկրիպտիվ տեսության միջոցներով ուսումնասիրում է ֆունկցիաների դասակարգումը (հիմնական արդյունք՝ Բեռի դասեր),
ֆունկցիաների կոնստրուկտիվ տեսություն, որն ուսումնասիրում է իրական փոփոխականով ֆունկցիաների մոտարկումների և ինտերպոլյացիայի (միջարկումների) խնդիրները (զարգացվել է Չեբիշևի և Բեռնշտեյնի աշխատություններում^[10])։

Կոմպլեքս փոփոխականով ֆունկցիաների տեսություն խմբագրել

Կոմպլեքս փոփոխականով ֆունկցիաների տեսության ուսումնասիրության առարկան թվային ֆունկցիաներ են, որոնք սահմանված են $\mathbb {C} ^{1}$ կոմպլեքս հարթության կամ $\mathbb {C} ^{n}$ կոմպլեքս էվկլիդյան տարածության վրա, ընդ որում մանրամասն ուսումնասիրված են մաթեմատիկական անալիզի գրեթե բոլոր ճյուղերը կապող, կարևոր դեր խաղացող անալիտիկ ֆունկցիաները։ Մասնավորապես՝ անալիտիկ ֆունկցիայի հասկացությունը ընդհանրացված է կամայական բանախյան տարածությունների համար, ինչի շնորհիվ կոմպլեքս փոփոխականով ֆունկցիաների տեսության շատ արդյունքներ ընդհանրացում են գտել ֆունկցիոնալ անալիզում։

Ֆունկցիոնալ անալիզ խմբագրել

Ֆունկցիոնալ անալիզի ուսումնասիրության առարկա են հանդիսանում տոպոլոգիական վեկտորական տարածություններն ու դրանց արտապատկերումները, որոնց վրա սահմանված են տարբեր տոպոլոգիական և հանրահաշվական պայմաններ։ Ֆունկցիոնալ անալիզում գլխավոր դեր են խաղում ֆունկցիոնալ տարածությունները, դասական օրինակ՝ բոլոր չափելի ֆունկցիաների $L^{p}$ տարածությունը, որի $p$ -րդ աստիճանը ինտեգրելի է՝ այդ դեպքում $L^{2}$ -ը արդեն անսահմանաչափ տարածություն է (Հիլբերտյան տարածություն), և անսահման չափելիության տարածությունները ֆունկցիոնալ անալիզին այնքան են հատուկ, որ երբեմն ամբողջ բաժինը սահմանվում է որպես մաթեմատիկայի մաս (անսահմանաչափ տարածություններն ու իրենց արտապատկերումնեն ուսումնասիրող)^[11]։ Ֆունցիոնալ անալիզի դասական բաժիններում տարածությունների կարևոր ձև են հանդիսանում բանախյան տարածությունները՝ նորմով ծնված, չափելիությամբ լի համարակալված վեկտորական տարածությունները, հետաքրքիր փոձերի վրա հիմնված տարածությունների զագալի մասը հանդիսանում են այսպիսին՝ դրանք բոլորը հիլբերտյան, $L^{p}$ , Հարդիի, Սոբոլևի տարածություններ են։ Ֆունկցիոնալ անալիզում ակրևոր դեր են խաղում բանախյան տարածություններ հանդիսացող կառույցները՝ բանախյան վանդակները և բանախյան հանրահաշիվները (այդ թվում $C^{*}$ -հանրահաշիվները^[en], ֆոն Նեյմանի հանրահաշիվները)։

Վարիացիոն հաշվարկում խմբագրել

Հարմոնիկ անալիզ խմբագրել

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հավասարումներ խմբագրել

Դինամիկ համակարգերի տեսություն և էրգոդիկ տեսություն խմբագրել

Գլոբալ անալիզ խմբագրել

Ոչ ստանդարտ անալիզ խմբագրել

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров, էջ 55
↑ Дьёдонне, 1981, §1. Fredholm's discovery, էջ 97
↑ Дьёдонне, 1981, Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space, էջ 97
↑ Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, …нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами, էջ viii
↑ Կաղապար:Из С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа
↑ А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе Введение в булевозначный анализ. — М.: Наука, 2005. — 526 с. — ISBN 5-02-033710-2
↑ БСЭ, Математика, 1978, В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного
↑ БСЭ, Математика, 1978, для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке)
↑ Теория функций // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров), էջ 56
↑ Функциональный анализ // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Գրականություն խմբագրել

Математика, её содержание, методы и значение / А. Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лавреньтев. — М.: Издательство Академии наук СССР, 1956. — Т. 1. — 296 с. — 7000 экз.
Մաթեմատիկական անալիզի տարրերը Արխիվացված 2019-10-13 Wayback Machine / Ֆիխտենգոլց
Математика / А. Н. Колмогоров // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ: избранные темы. — М.: Наука, 2011. — 398 с. — ISBN 978-5-02-036137-9
Dieudonné, J. History of Functional Analysis. — Amsterdam: North Holland, 1981. — 314 p. — (Notas de Matematica, vol. 77). — ISBN 0-444-84148-3

[Математика—1956—§7._Современная_математика_//_А._Д._Александров—55-1] Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров, էջ 55

[Дьёдонне—1981—§1._Fredholm's_discovery—97-2] Дьёдонне, 1981, §1. Fredholm's discovery, էջ 97

[Дьёдонне—1981—Chapter_V._Crucial_years_and_definition_of_Hilbert_space—97-3] Дьёдонне, 1981, Chapter V. Crucial years and definition of Hilbert space, էջ 97

[Гордон,_Кусраев,_Кутателадзе—2011—…нестандартный_анализ_рассматривали_как_довольно_тонкую_и_даже_экзотическую_логическую_технику,_предназначенную_для_обоснования_метода_актуальных_бесконечно_больших_и_бесконечно_малых_чисел_<…>_В_конце_70-х_годов_после_опубликования_теории_внутренних_множеств_Э._Нельсона_(и_несколько_позже_теорий_внешних_множеств_К._Хрбачека_и_Т._Каваи)_взгляды_на_место_и_роль_нестандартного_анализа_коренным_образом_обогатились_и_видоизменились._В_свете_новых_открытий_нестандартные_элементы_стало_возможно_рассматривать_<…>_как_неотъемлемые_части_любых_привычных_математических_объектов._Возникла_установка,_состоящая_в_том,_что_каждое_множество_образовано_стандартными_и_нестандартными_элементами—viii-4] Гордон, Кусраев, Кутателадзе, 2011, …нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами, էջ viii

[dragalin-5] Կաղապար:Из С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа

[6] А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе Введение в булевозначный анализ. — М.: Наука, 2005. — 526 с. — ISBN 5-02-033710-2

[БСЭ,_Математика—1978—В_результате_систематического_построения_математического_анализа_на_основе_строгой_арифметической_теории_иррациональных_чисел_и_теории_множеств_возникла_новая_отрасль_М._—_теория_функций_действительного_переменного—-7] БСЭ, Математика, 1978, В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М. — теория функций действительного переменного

[БСЭ,_Математика—1978—для_теории_функций_действительного_переменного_типичен_интерес_к_полному_выяснению_действительного_объёма_общих_понятий_анализа_(в_самом_начале_её_развития_Б._Больцано_и_позднее_К._Вейерштрассом_было,_например,_обнаружено,_что_непрерывная_функция_может_не_иметь_производной_ни_в_одной_точке)—-8] БСЭ, Математика, 1978, для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке)

[9] Теория функций // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[Математика—1956—§7._Современная_математика_//_А._Д._Александров)—56-10] Математика, 1956, §7. Современная математика // А. Д. Александров), էջ 56

[11] Функциональный анализ // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]