Հիպերբոլ

Սահմանում

Հիպերբոլ կոչվում է հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների տարբերության մոդուլը տրված երկու $F_{1}$ և $F_{2}$ կետերից (որոնք կոչվում են հիպերբոլի ֆոկուսներ կամ կիզակետեր) հաստատուն է՝

${\bigl |}|PF_{1}|-|PF_{2}|{\bigr |}=2a,$ եթե $|F_{1}F_{2}|>2a>0$

$F_{1}F_{2}$ հատվածի երկարությունը, որը կնշանակենք $2c$-ով, կոչվում է ֆոկուսային հեռավորություն, իսկ $F_{1}F_{2}$-ի միջնակետը՝ հիպերբոլի կենտրոն։ Հարթության վրա ուղղանկյուն կորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ $Ox$ առանցքն անցնի $F_{1}$ և $F_{2}$ կետերով, իսկ $Oy$ առանցքը՝ $F_{1}F_{2}$-ի միջնակետով (դիտել նկարը)։ Այդ դեպքում $F_{1}$ և $F_{2}$ կետերի կոորդինատները համապատասխանաբար կլինեն $(-c,0)$ և $(c,0)$։ Դիցուք $M(x;y)$-ը հիպերբոլի կամայական կետ է. ըստ պարաբոլի սահմանման՝

$|PF_{1}-PF_{2}|=2a$

կամ

$PF_{1}-PF_{2}=\pm 2a$

Օգտվելով երկու կետերի հեռավորության բանաձևից՝ ստանում ենք՝

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a$ (1)

Սա էլ հենց հանդիսանում է հիպերբոլի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Երկրորդ գումարելին տանենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմը բարձրացնենք քառակուսի,

$(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}\pm 4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+(x-c)^{2}+y^{2}$

Պարզ ձևափոխություններից հետո ստանում ենք `

$(c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})$

Քանի որ ( ըստ եռանկյան անահավասարության) $c>a$, ապա $c^{2}-a^{2}>0$: Նշանակելով $b^{2}=c^{2}-a^{2}$, կստանանք

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

Կամ

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, (2)

որը կոչվում է հիպերբոլի կանոնական հավասարում։ Ինչպես և էլիպսի դեպքում, կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը (2)-ին բավարարող ցանկացած $M(x;y)$ կետ բավարարում է նաև (1)-ին։

$Ox$ առանցքը կոչվում է հիպերբոլի իրական առանցք $Oy$-ը` կեղծ առանցք։ $2a$-ն և $2b$-ն կոչվում են հիպերբոլի իրական և կեղծ առանցքների երկարություններ։ $w={\frac {c}{a}}$ -ն (որտեղ՝ $w=\varepsilon$) կոչվում է հիպորբոլի էքսցենտրիսիտետ։ Էլիպսի և հիպերբոլի համար $x=-{\frac {a}{w}}$ (որտեղ՝ $w=\varepsilon$) և x = ${\frac {a}{w}}$ (որտեղ՝ $w=\varepsilon$) ուղիղները կոչվում են դիրեկտրիստներ։

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Հիպերբոլ» հոդվածին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 6, էջ 415)։