Կլայն-Գորդոնի հավասարում

Կլայն-Գորդոնի հավասարում (երբեմն՝ Կլայն-Ֆոկ-Գորդոնի հավասարում կամ Կլայն-Գորդոն-Ֆոկի հավասարում,Կլայն-Ֆոկի հավասարում), Շրյոդինգերի հավասարման ռելյատիվիստական տարբերակը։

$\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2}}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0$,

Կամ, բնական միավորներով (որտեղ $\hbar =c=1$)՝

$(\square \ -m^{2})\psi =0$,

որտեղ $\square \$-ը դ’Ալամբերի օպերատորն է։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կիրառվում է զանգված ունեցող (հանգստի զանգված) արագ շարժվող մասնիկների համար։ Կիրառելի է սկալյար զանգվածեղ դաշտերի դեպքում։ Կարող է ընդհանրացվել ամբողջ և կիսաամբողջ սպիներով մասնիկների համար։ Բացի այդ, պարզ է, որ այս հավասարումը ալիքային հավասարման ընդհանրացումն է՝ պիտանի զանգված չունեցող սկալյար և վեկտրական դաշտերի նկարագրման համար։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումով նկարագրվող մեխանիկական համակարգերը (իրական կամ երևակայական) կարող են լինել ալիքային հավասարումով նկարագրվող համակարգերի ձևափոխություններ, օրինակ.

• Միաչափ դեպքում՝ առաձգական (Հուկի) տակդիրին ամրացված ձգված ծանր լար։
• Մակրոսկոպիկորեն իզոտրոպ բյուրեղ, որի յուրաքանչյուր ատոմը գտնվում է, բացի հարևան ատոմների հետ կապից, նաև տարածության մեջ ֆիքսված քառակուսի պոտենցիալ փոսում։
• Իրական բյուրեղների դեպքում ավելի իրատեսական է դիտարկել լայնական տատանումների մոդերը, որոնց դեպքում, օրինակ, ատոմների հարևան շերտերը տատանվում են հակափուլով։ Այդպիսի մոդերը (գծային մոտավորությամբ) ենթարկվում են Կլայն-Գորդոնի երկչափ հավասարմանը, որտեղ կոորդինատները շերտերի հարթությունում են։

Հավասարումը, որտեղ վերջին («զանգվածեղ») անդամն ունի սովորականին հակառակ նշան, տեսական ֆիզիկայում նկարագրում է տախիոն։ Հավասարման այսպիսի տարբերակը թույլ է տալիս պարզա մեխանիկական իրագործում։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումն ազատ մասնիկի համար (վերը բերված դեպքը) պարզ լուծում ունի սինուսոիդային հարթ ալիքների տեսքով։

• Դիտողություն. Տարածական ածանցյալները տեղադրելով զրո (ինչը քվանտային մեխանիկայում համապատասխանում է մասնիկի զրո իմպուլսին), Կլայն-Գորդոնի սովորական հավասարման համար կունենանք $\pm mc^{2}/\hbar$ հաճախությամբ հարմոնիկ տատանակ, ինչը համապատասխանում է մասնիկի $m$ զանգվածով որոշվող, հանգստի ոչ զրոյական էներգիային։ Հավասարման տախիոնային տարբերակն այդ դեպքում կայուն չէ, իսկ լուծումն ընդհանուր դեպքում ներառում է անսահմանափակ աճող էքսպոնենտ։

Պատմություն

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը սկզբում, մինչև իր ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը գրելը, գրել է Էրվին Շրյոդինգերը։ Շրյոդինգերը հրաժարվում է այդ հավասարումից, քանի որ չի կարողանում էլեկտրոնի սպինը ընդգրկել դրա մեջ ։ Պարզեցնելով Կլայն-Գորդոնի հավասարումը՝ Շրյոդինգերը գրում է «իր» հավասարումը։

1926 թ., Շրյոդինգերի հավասարման հրապարակումից հետո, Ֆոկը հոդված է գրում մագնիսական դաշտերի դեպքում դրա ընդհանրացման մասին, որտեղ ուժերը կախված են արագությունից, և Շրյոդինգերից անկախ արտածում է այդ հավասարումը։ Ե՛վ Օսկար Կլայնը (նրա աշխատանքը ավելի շուտ է ստեղծվել, բայց հրատարակվել է Ֆոկի հոդվածից հետո), և՛ Վլադիմիր Ֆոկը կիրառել են Կալուցի-Կլայնի մեթոդը։ Ֆոկը նաև ներմուծել է տրամաչափային տեսություն ալիքային հավասարման համար։

Գորդոնի հոդվածը (1926 թ. վերջին) նվիրված էր Քոմփթոնի էֆեկտին։

Արտածում

Ազատ մասնիկի էներգիայի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը հետևյալն է՝

${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E$։

Քվանտացնելով սա, ստանում ենք Շրյոդինգերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումն ազատ մասնիկի համար՝

${\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi$,

որտեղ

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla }$

մեծությունը իմպուլսի օպերատորն է, ∇-ով նշանակված է նաբլա օպերատորը, իսկ

${\hat {E}}=i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}$

իսկ էներգիայի օպերատորն է։

Շրյադինդերի հավասարումը ռելյատիվիստիկորեն կովարիանտ չէ, այսինքն՝ այն հաշվի չի առնում Այնշտայնի հատուկ հարաբերականությունը։

Էներգիան հատուկ հարաբերականությունից՝

${\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E$

Կիրառելով դա և տեղադրելով իմպուլսի և էներգիայի քվանտամեխանիկական օպերատորները, կստանանք

${\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi$

հավասարումը։

Այս արտահայտության հետ աշխատելը աննպատակահարմար է արմատի առկայության պատճառով։ Ուստի Կլայնը և Գորդոնը գործածել են քառակուսի բարձրացրած մեծությունը՝

$\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2}$,

որը, քվանտացվելով, տալիս է

$\left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi$։

Վերջինս հնարավոր է պարզեցնել՝

$-\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi$։

Վերախմբավորելով անդամները՝ ստանում ենք

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$։

Այս հավասարումը հնարավոր է կիրառել ինչպես իրական, այնպես էլ՝ կեղծ արժեքներով դաշտերի համար։

Կիրառելով Մինկովսկու մետրիկական ինվերսիան diag(−c², 1, 1, 1), ստանում ենք

$-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$

կովարիանտ նշանակումներով։ Սա հաճախ կրճատ գրվում է որպես

$(\Box +\mu ^{2})\psi =0,$

որտեղ

$\mu ={\frac {mc}{\hbar }}$

և

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$։

Սա կոչվում է դ'Ալամբերի օպերատոր։

Այս ձևով այն այսօր մեկնաբանվում է որպես ռելյատիվիստական դաշտի հավասարում 0 սպինով մասնիկների համար։ Ավելին, Դիրակի հավասարման ցանկացած լուծում (կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար) ինքնաբերաբար Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծում է հանդիսանում, չնայած Կլայն-Գորդոնի հավասարման ոչ բոլոր լուծումներն են Դիրակի հավասարման լուծում։ Պետք է նշել, որ Կլայն-Գորդոնի հավասարումը շատ նման է Պրոկի հավասարմանը։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը պոտենցիալային դաշտի համար

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կարելի է ընդհանրացնել՝ նկարագրելով որևէ V(ψ) պոտենցիալով դաշտը որպես

$\Box \psi +{\frac {\partial {}V}{\partial \psi }}=0$։

Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծումն ազատ մասնիկի համար

Ազատ մասնիկի համար Կլայն-Գորդոնի

$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi$

հավասարման լուծումը կարելի է փնտրել, ինչպես հաստատուն գործակիցներով ցանկացած գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար հարթ ալիքների վերադրման (այսինքն՝ ցանկացած վերջավոր կամ անվերջ գծային կոմբինացիայի) տեսքով՝

$\psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)},$

այդպիսի ամեն ալիք տեղադրելով հավասարման մեջ, ստանում ենք պայման $\mathbf {k}$-ի և $\omega$-ի համար.

$-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}$։

Ինչպես հեշտ է նկատել, հարթ ալիքը նկարագրում է որոշակի էներգիայիով և իմպուլսով մաքուր վիճակ (այսինքն, համապատասխան օպերատորների սեփական ֆունկցիա է)։ Էներգիան և իմպուլսը (այսինքն, այդ օպերատորների սեփական արժեքները), կարելի է հաշվել, ինչպես ոչ ռելյատիվիստական մասնիկի համար.

$\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k}$

$\langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E}}|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega$։

Գտնված $k$ և $\omega$ առնչությունը այդ դեպքում նորից տալիս է ոչ զրոյական զանգվածով ռելյատիվիստական մասնիկի էներգիայի և իմպուլսի միջև կապի հավասարումը.

$\langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}$։

Ընդ որում պարզ է, որ միջին մեծությունների համար առնչությունը կիրակականա ոչ միայն որոշակի էներգիայով և իմպուլսով վիճակների համար, այլև նրանց ցանկացած վերադրման, այսինքն Կլայն-Գորդոնի հավասարման ցանկացած լուծման համար (ինչը, մասնավորապես, ապահովում է այդ առնչության իրականացումը դասական սահմանում)։

Զանգված չունեցող մասնիկների համար կարող ենք վերջին հավասարման մեջ տեղադրել $m=0$։ Այդ դեպքում զանգված չունեցող մասնիկների համար կստանանք դիսպերսիայի օրենքը (էներգիայի և իմպուլսի առնչությունը)

$\langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}$

տեսքով։ Կիրառելով խմբային արագության $\mathbf {v} _{gr}=\partial \omega /\partial \mathbf {k} \$ բանաձևը դժվար չէ ստանալ էներգիան և իմպուլսը արագության հետ կապող սովորական ռելյատիվիստական բանաձևեր. սկզբունքորեն այդ նույն արդյունքին կարելի է հասնել՝ պարզապես հաշվելով համիլտոնյանի կոմուտատորը կոորդինատի հետ, բայց Կլայն-Գորդոնի դեպքում բախվում ենք համիլտոնյանը բացահայտ տեսքով գրելու դժվարությանը (ակնհայտ է միայն համիլտոնյանի քառակուսին)։

Գործողություն

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը հնարավոր է ներկայացնել վարիացիաների եղանակով՝ գործողությունը ներկայացնելով որպես

${\mathcal {S}}=\int \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\partial _{\nu }\psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x$,

որտեղ ψ-ն Կլայն-Գորդոնի դաշտն է, m-ը՝ դրա զանգվածը։ ψ-ի կոմպլեքս համալուծը ${\bar {\psi }}$ է։ Եթե սկալյար դաշտը իրական արժեքով է ընտրվում, ապա ${\bar {\psi }}=\psi$։ Կիրառելով հիլբերտյան էներգիայի և իմպուլսի թենզորը Լագրանժյան խտության (ինտեգրալի մեծությունը) հանդեպ, կարող ենք արտածել սկալյար դաշտի էներգիայի և իմպուլսի թենզորը։ Այն կլինի

$T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\psi }}\psi$։

Էլեկտրամագնիսական փոխազդեցություն

Տրամաչափային ինվարիանտի ճանապարհով որևէ դաշտ էլեկտրամագնիսականության հետ փոխազդեցության մեջ դնելու համար պետք է ածանցյալի օպերատորները փոխարինել տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալի օպերատորներով։ Այս դեպքում Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կդառնա

$D_{\mu }D^{\mu }\phi =-(\partial _{t}-ieA_{0})^{2}\phi +(\partial _{i}-ieA_{i})^{2}\phi =m^{2}\phi$

բնական միավորներով, որտեղ A-ն վեկտորական պոտենցիալն է։ Հնարավոր է ավելացնել ավելի բարձր կարգով անդամներ, օրինակ

$D_{\mu }D^{\mu }\phi +AF^{\mu \nu }D_{\mu }\phi D_{\nu }(D_{\alpha }D^{\alpha }\phi )=0$։

Այս անդամները 3+1 չափողականություններում չեն վերանորմավորվում։

Դաշտի հավասարումը լիցքավորված սկալյար դաշտի համար բազմապատկվում է i-ով, ինչը նշանակում է, որ դաշտը կոմպլեքս է։ Լիցքավորված լինելու համար դաշտը պետք է ունենա երկու բաղադրիչներ՝ իրական և կեղծ մասեր, որոնք շրջելի են մեկը մյուսի հանդեպ։

Լիցքավորված սկալյարի համար գործողությունը չլիցքավորված սկալյարի կովարիանտ տարբերակն է՝

$S=\int _{x}\left(\partial _{\mu }\phi ^{*}+ieA_{\mu }\phi ^{*}\right)\left(\partial _{\nu }\phi -ieA_{\nu }\phi \right)\eta ^{\mu \nu }=\int _{x}|D\phi |^{2}$։

Գրավիտացիոն փոխազդեցություն

Ընդհանուր հարաբերականության մեջ ներառելով գրավիտացիայի էֆեկտը՝ Կլայն-Գորդոնի հավասարման համար կունենանք (մետրիկ սիգնատուրով)

${\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \end{aligned}}$

կամ դրա համարժեքը՝

${\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$,

որտեղ g^αβ-ն մետրիկ թենզորի ինվերսիան է, այսինքն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալ դաշտը, g-ն մետրիկ թենզորի դետերմինանտն է, ∇_μ-ն կովարիանտ ածանցյալն է, Γ^σ_μν-ն՝ Քրիստոֆելի սիմվոլը, այսինքն՝ գրավիտացիոն ուժային դաշտը։

Տես նաև

• Դիրակի հավասարում
• Շրյոդինգերի հավասարում
• Մաքսվելի հավասարումներ
• Դաշտի քվանտային տեսություն

Արտաքին հղումներ

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/k055480 "Klein–Gordon equation"], Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., "Klein–Gordon equation", MathWorld.
• Linear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
• Introduction to nonlocal equations.