Խումբ (մաթեմատիկա)

Խումբ, արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից, ամենապարզ հանրահաշվական կաոուցվածքը (ստրուկտուրան)։

Կամայական ֆիզիկական բնույթի տարրերի $G$ բազմությունը կոչվում է խումբ, եթե $G$-ում սահմանված է բինար գործողություն, այսինքն տարրերի յուրաքանչյուր $(a,b)$ զույգին համապատասխանության մեջ է դրված $G$-ի երրորդ՝ $a\cdot b$ տարրը, ընդսմին բավարարվում են հետևյալ պայմանները.

1. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\qquad G$-ի յուրաքանչյուր $a,b,c$ տարրերի համար,
2. $G$-ում գոյություն ունի այնպիսի $e$ տարր, որ $a\cdot e=e\cdot a=a\qquad G$-ի յուրաքանչյուր $a$-ի համար,
3. $G$-ի յուրաքանչյուր $a$-ի համար գոյություն ունի $G$-ի այնպիսի տարր, որ $a\cdot b=b\cdot a=e$։ Օրինակ, եթե $G$-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է, իսկ բինար գործողությունը՝ գումարումը, ապա կստացվի ամբողջ թվերի խումբ ըստ գումարման ($e$-ի դերը կկատարի $0$-ն, $b$-ինը՝ $a$-ի հակադիր $-a$ թիվը)։ Եթե $G$-ն դրական իրական թվերի բազմությունն է, իսկ բինար գործողությունը՝ բազմապատկումը, ապա կստացվի դրական իրական թվերի Խումբ ըստ բազմապատկման ($e$-ի դերը կկատարի իսկ $b$-ինը՝ $a$-ի հակադարձ $a^{-1}$ թիվը)։ Այս երկու Խումբն էլ բավարարում են
4. $a\cdot b=b\cdot a$ լրացուցիչ պայմանին յուրաքանչյուր $a,b$ տարրի համար։ Այսպիսի Խմբերը կոչվում են տեղափոխելի կամ աբելյան խումբ։

Սիմետրիկ (կամ տեղադրությունների) Խմբում որպես տարրեր դիտարկվում են ${\begin{bmatrix}12....n\\i_{1}i_{2}....i_{n}\end{bmatrix}}$ աղյուսակներ, որոնց երկրորդ տողում գրված են նույն $1,2....,n$ թվերը, սակայն կամայական հաջորդականությամբ։ Բինար գործողությունը հետևյալն է. եթե $k$ թվի տակ $a$ աղյուսակում գրված է $1$, իսկ $1$-ի տակ $b$ աղյուսակում՝ $m$, ապա $a\cdot b$ աղյուսակում $k$-ի տակ գրվում է $m$։

Օրինակ, եթե $a={\begin{bmatrix}123\\213\end{bmatrix}}$, $b={\begin{bmatrix}123\\312\end{bmatrix}}$, ապա $a\cdot b={\begin{bmatrix}123\\132\end{bmatrix}}$, իսկ $b\cdot a={\begin{bmatrix}123\\321\end{bmatrix}}$։

Ուրեմն, արդեն $n=3$ դեպքում սիմետրիկ խումբը աբելյան չէ։ Եթե $G$ խմբի յուրաքանչյուր $a$ տարրին համապատասխանության մեջ է դրված $G'$ խմբի որոշակի $\varphi (a)$ տարր, ընդ որում $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$ $G$-ի յուրաքանչյուր $a,b$ տարրերի համար, ապա ասում են, որ տրված է $\varphi$ հոմոմորֆիզմ $G$ խմբից $G'$ խումբ։ Օրինակ, յուրաքանչյուր $a$ ամբողջ թվին համապատասխանեցնելով $2a$ թիվը, կստանանք հոմոմորֆիզմ ամբողջ թվերի խմբից (ըստ գումարման) դրական իրական թվերի խումբ (ըստ բազմապատկման), քանի որ $2^{a+b}=2^{a}\cdot 2^{b}$։ Բոլոր Խմբերը հոմոմորֆիզմների և նրանց կոմպոզիցիայի հետ կազմում են կատեգորիա (տես Կատեգորիաների տեսություն)։

«Խումբ» հասկացությունը սաղմնավորվել է մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում՝ հիմնականում հանրահաշվում։ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժ. Լագրանժը «Մենագրություն հավասարումների հանրահաշվական լուծման մասին» (1771) աշխատությունում առաջին անգամ օգտվել է տեղադրություններից։ Հանրահաշվական հավասարումների լուծման և տեղադրությունների Խմբերի հետագա ուսումնասիրությամբ զբաղվել են Ն. Աբելը (1824) և Է. Գալուան (1830)։ Վերջինս մուծել է «Խումբ» (le group) տերմինը՝ չտալով սակայն նրա խիստ սահմանումը։ Երկրաչափությունում Խումբ հասկացությունը ծագել է XIX դ. կեսերին, երբ միասնական Էվկլիդեսյան երկրաչափությանը փոխարինելու եկան բազմաթիվ «երկրաչափություններ», և առաջացավ նրանց ընդհանրության որոշման հարցը։ Այս հարցի վերջնական պատասխանը եղավ գերմ. մաթեմատիկոս Ֆ. Կլայնի «էռլանգենյան ծրագիրը» (1872), որը տարբեր երկրաչափությունների դասակարգման հիմքում դրեց ձևափոխությունների խմբի նկատմամբ ինվարիանտության հասկացությունը։ «Խումբ» գաղափարի առաջացման երրորդ աղբյուրը թվերի տեսությունն է, ուր դեռ Լ. Էյլերը (1761) ըստ էության օգտվել է մնացքների Խմբից։

Խմբերի տեսության վերջնական նպատակն է բոլոր խմբային բինար գործողությունների նկարագրությունը։ Այն բաղկացած է երկու մեծ բաժիններից՝ աբելյան և ոչ աբելյան Խմբերի տեսությունից։ Վերջինիս բուռն զարգացող ճյուղերից են վերջավոր Խմբերի տեսությունը, Խմբերի կոմբինատոր տեսությունը, Խմբերի ներկայացումների տեսությունը ևն։ Մեծ հետաքրքրություն են ներկայացնում լրացուցիչ կառուցվածքով օժտված Խմբերը (տոպոլոգիական Խումբ, Լիի խումբ, աբելյան բազմաձևությունները ևն)։ Խմբերի տեսությունը լայն կիրառություններ ունի ինչպես մաթեմատիկայում, այնպես էլ այլ բնագավառներում՝ քվանտային մեխանիկայում, բյուրեղագիտությունում։

Տես նաև

• Կատեգորիաների տեսություն
• Գաուլայի խումբ

Գրականություն

• Կուրոշ Ա., Բարձրագույն հանրահաշվի դասընթաց, Ե., 1965։
• Холл M., Teopия rpyпп, пep. c англ., M., 1962.
• Kyрош А., Teopия rpyпп, 3 изд., доп., M.,1967.

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Խումբ (մաթեմատիկա)» հոդվածին։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 101)։