Լոգարիթմական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկ , ստորև ներկայացված են լոգարիթմական ֆունկցիաների ինտեգրալների ցանկերը։ Անորոշ ինտեգրալների համար ինտեգրման հաստատունը բաց է թողնված։
Հաշվի առնել, որ բոլոր դեպքերում x > 0 {\displaystyle x>0} ։
Ինտեգրալների ցանկ
խմբագրել
∫ ln a x d x = x ln a x − x {\displaystyle \int \ln ax\;dx=x\ln ax-x} ∫ ln ( a x + b ) d x = ( a x + b ) ln ( a x + b ) − a x a {\displaystyle \int \ln(ax+b)\;dx={\frac {(ax+b)\ln(ax+b)-ax}{a}}} ∫ ( ln x ) 2 d x = x ( ln x ) 2 − 2 x ln x + 2 x {\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x} ∫ ( ln x ) n d x = x ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k n ! k ! ( ln x ) k {\displaystyle \int (\ln x)^{n}\;dx=x\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\frac {n!}{k!}}(\ln x)^{k}} ∫ d x ln x = ln | ln x | + ln x + ∑ k = 2 ∞ ( ln x ) k k ⋅ k ! {\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}} ∫ d x ( ln x ) n = − x ( n − 1 ) ( ln x ) n − 1 + 1 n − 1 ∫ d x ( ln x ) n − 1 ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ x m ln x d x = x m + 1 ( ln x m + 1 − 1 ( m + 1 ) 2 ) ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}} ∫ x m ( ln x ) n d x = x m + 1 ( ln x ) n m + 1 − n m + 1 ∫ x m ( ln x ) n − 1 d x ( m ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}} ∫ ( ln x ) n d x x = ( ln x ) n + 1 n + 1 ( n ≠ − 1 ) {\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)}}} ∫ ln x n d x x = ( ln x n ) 2 2 n ( n ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {\ln {x^{n}}\;dx}{x}}={\frac {(\ln {x^{n}})^{2}}{2n}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 0{\mbox{)}}} ∫ ln x d x x m = − ln x ( m − 1 ) x m − 1 − 1 ( m − 1 ) 2 x m − 1 ( m ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}} ∫ ( ln x ) n d x x m = − ( ln x ) n ( m − 1 ) x m − 1 + n m − 1 ∫ ( ln x ) n − 1 d x x m ( m ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}} ∫ x m d x ( ln x ) n = − x m + 1 ( n − 1 ) ( ln x ) n − 1 + m + 1 n − 1 ∫ x m d x ( ln x ) n − 1 ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ d x x ln x = ln | ln x | {\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|} ∫ d x x n ln x = ln | ln x | + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( n − 1 ) k ( ln x ) k k ⋅ k ! {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}} ∫ d x x ( ln x ) n = − 1 ( n − 1 ) ( ln x ) n − 1 ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}} ∫ ln ( x 2 + a 2 ) d x = x ln ( x 2 + a 2 ) − 2 x + 2 a tan − 1 x a {\displaystyle \int \ln(x^{2}+a^{2})\;dx=x\ln(x^{2}+a^{2})-2x+2a\tan ^{-1}{\frac {x}{a}}} ∫ x x 2 + a 2 ln ( x 2 + a 2 ) d x = 1 4 ln 2 ( x 2 + a 2 ) {\displaystyle \int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln(x^{2}+a^{2})\;dx={\frac {1}{4}}\ln ^{2}(x^{2}+a^{2})} ∫ sin ( ln x ) d x = x 2 ( sin ( ln x ) − cos ( ln x ) ) {\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))} ∫ cos ( ln x ) d x = x 2 ( sin ( ln x ) + cos ( ln x ) ) {\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))} ∫ e x ( x ln x − x − 1 x ) d x = e x ( x ln x − x − ln x ) {\displaystyle \int e^{x}\left(x\ln x-x-{\frac {1}{x}}\right)\;dx=e^{x}(x\ln x-x-\ln x)} ∫ 1 e x ( 1 x − ln x ) d x = ln x e x {\displaystyle \int {\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {1}{x}}-\ln x\right)\;dx={\frac {\ln x}{e^{x}}}} ∫ e x ( 1 ln x − 1 x ln 2 x ) d x = e x ln x {\displaystyle \int e^{x}\left({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x\ln ^{2}x}}\right)\;dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}} ∫ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ln x d x ⋅ ⋅ ⋅ d x = x n n ! ( ln x − ∑ k = 1 n 1 k ) + ∑ k = 0 n − 1 C k x k k ! {\displaystyle \int \cdot \cdot \cdot \int \ln x\;dx\cdot \cdot \cdot \;dx={\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln \,x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}}
Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.։ Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб։ «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8 .
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae , 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , 1964. ISBN 0-486-61272-4 Ինտեգրալների աղյուսակներ
խմբագրել
Ինտեգրալների հաշվում
խմբագրել