Զոնոնիստ

Զոնոնիստ, ուռուցիկ բազմանիստ է կետային համաչափությամբ, որի յուրաքանչյուր նիստը կետային համաչափությամբ բազմանկյուն է։ Յուրաքանչյուր զոնոնիստ հնարավոր է համապատասխանորեն նկարագրել որպես եռաչափ տարածությունում գծերի բազմության Մինկովսկու գումար կամ հիպերխորանարդի պրոյեկցիան եռաչափ տարածությունում։ Սկբզնապես զոնոնիստը սահմանվել և ուսումնասիրել է ռուս բյուրեղագետ Ե. Ֆեոդորովը։ Ավելի ընդհանրացված՝ կամայական չափանի տարածության մեջ, հատվածների Մինկովսկու գումարը ձևավորում է բազմանիստ,որը կոչվում է զոնոտոպ։

Զոնոնիստ, որը ծածկում է տարածություններ

Զոնոնիստի ուսումնասիրման հիմնական մոտիվացիան այն է, որ կամայական ցանցի համար Վորոնեի դիագրամը ստեղծում է ուռուցիկ հավասարաչափ բջիջներ, որի բջիջները զոնոնիստ են։ Կամայական զոնոնիստ, որը ձևավորվել է այս ձևով, կարող է ծածկել եռաչափ տարածություն և կոչվում է հիմնական զուգահեռանիստ։ Յուրաքանչյուր հիմնական զուգահեռանիստ կոմբինատորապես հավասար է հետևյալ 5 տեսակներից մեկին՝ շեղանկյունանիստ (ներառյալ խորանարդ), վեցանկյուն պրիզմա, հատված ութանիստ, շեղանկյուն դոդեկաեդր և երկարացված դոդեկաեդր։

Զոնոնիստը Մինկովսկու գումարից

Զոնոտոպը հատվածների Մինկովսկու գումարն է: 16 մուգ կարմիր կետերով (ձախ կողմում) ձևավորվում է 4 ոչ ուռուցիկ բազմությունների (աջ կողմում) Մինկովսկու գումարով: Որից յուրաքանչյուրը կազմված է 2 զույգ կարմիր կետերից: Իրենց ուռուցիկ լրացումները պարունակում են + նշան: Աջ կողմի + նշանը այդ 4 + նշանի գումարի կետն է:

Ընդունենք {v₀, v₁, ...} եռաչափ տարածության վեկտորների հավաքածու։ Յուրաքանչյուր v_i վեկտորի հետ, մենք կարող ենք ասոցացնել {x_iv_i|0≤x_i≤1} հատված։ Վեկտորների Մինկովսկու գումարը {Σx_iv_i|0≤x_i≤1} ձևավորում է զոնոնիստ, և բոլոր այն զոնոնիստերը, որոնք պարունակում են կորդինատային կենտրոնը ունեն այս տեսքը։ Այն վեկտորները,որի միջոցով ստեղծվում է զոնոնիստը կոչվում են զոնոնիստի ծնիչներ: Այս բնութագիրը թույլ է զոնոնիստի սահմանումը գեներացնել բարձր չափերի համար՝ ստանալով զոնոտոպեր։

Յուրաքանչյուր եզրագիծ զուգահեռ է առնվազն մեկ ծնիչի, իսկ երկարությունը հավասար է, այն ծնիչների երկարության գումարին, որոնք իրեն զուգահեռ են։ Այդ պատճառով, ընտրելով իրար ոչ զուգահեռ և հավասար երկարություն ունեցող ծնիչների բազմություն՝ մենք կձևավորենք կամայական կոմիբանտորիկական տեսակի զոնոնիստի հավասարակողմ տարբերակ։

Ընտրելով վեկտորների բազմությունը համաչափության բարձր մակարդակի՝ այս կերպ մենք կարող ենք ձևավորել մաքսիմալ շատ համաչափություն ունեցող զոնոնիստ։ Օրինակ՝ ծնիչներ, որոնք հավասարաչափ են տեղադրված սֆերայի հասարակածի շուրջ՝ իրենց հետ ունենալով զույգեր սֆերայի բևեռներում, ձևավորում են զոնոնիստ զույգանկյուն պրիզմայի տեսքով՝ խորանարդ, վեցանկյուն պրիզմա, ութնանկյուն պրիզմա և այլն։ Ծնիչները, որոնք զուգահեռ են ութանիսիտի կողմերին, ձևավորում են հատած ութանիստ, և ծնիչները, որոնք զուգահեռ են խորանարդի երկար անկյունագծերին, ձևավորում են շեղանկյուն դոդեկաեդր։

Կամայական երկու զոնոնիստի մինկովսկու գումար այլ զոնոնիստ է՝ ձևավորված երկու զոնոնիստերի ծնիչներից։

Զոնոնիստը կարգավորություններից

Կամայական ուռուցիկ բազմանիստի Գաոսյան քարտեզը ցույց է տալիս յուրաքանչյուր երեսի բազմանկյունը միավոր սֆերայի կետի վրա, և ներկայացնում է յուրաքանչյուր բազմանիստի եզրը առանձնացնող երեսների զույգը Մեծ շրջանի աղեղից կապող համապատասխան երկու կետերի։

Զոնոնիստի տեսակներ

զոնոնիստ	նկար	ծնիչների քանակ	կանոնավոր կողմեր	նույնանիստ կողմեր	նման եզրեր	Ուղղահայաց անցումային	Զուգահեռանիստ (տարածք-լցնող)	պարզ
Խորանարդ 4.4.4		3	Այո	Այո	Այո	Այո	Yes	Այո
Վեցանիստ պրիզմա 4.4.6		4	Այո	Ոչ	Ոչ	Այո	Այո	Այո
2n-պրիզմա (n > 3) 4.4.2n		n + 1	Այո	Ոչ	Ոչ	Այո	Ոչ	Այո
Հատած ութանիստ 4.6.6		6	Այո	Ոչ	Ոչ	Այո	Այո	Այո
Հատած կուբոկտաեդր 4.6.8		9	Այո	Ոչ	Ոչ	Այո	Ոչ	Այո
Հատած իկոսիդոդեկանիստ 4.6.10		15	Այո	Ոչ	Ոչ	Այո	Ոչ	Այո
Զուգահեռանիստ		3	Ոչ	Այո	Ոչ	Ոչ	Այո	Այո
Շեղանկյուն դոդեկաեդր V3.4.3.4		4	Ոչ	Այո	Այո	Ոչ	Այո	Ոչ
Բիլինսկի դոդեկաեդր		4	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Այո	Ոչ
Շեղանկյուն իկոսաեդր		5	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Ոչ
Շեղանկյուն եռեսունանիստ V3.5.3.5		6	Ոչ	Այո	Այո	Ոչ	Ոչ	Ոչ
Շեղանկյուն-հեքսագոնալ դոդեկաեդր		5	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Այո	Ոչ
Հատած շեղանկյուն դոդեկաեդռ		7	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Ոչ	Այո