Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմ

Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմ, մաթեմատիկական բանաձև, որը վեկտորական դաշտի հոսքը փակ մակերևույթով արտահայտում է դաշտի դիվերգենցիայի ինտեգրալով ըստ ծավալի, որը սահմանափակված է այդ մակերևույթով.

$\iiint _{\mathcal {V}}\mathrm {div} \,{\vec {F}}\cdot {\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {S}}}{\vec {F}}\cdot {\rm {d}}{\vec {S}}$

կամ^[1]

$\iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {S}}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS$ ,

այսինքն՝ որոշակի V ծավալով տարածվող F վեկտորական դաշտի դիվերգենցիայի ինտեգրալը հավասար է տվյալ ծավալը սահմանափակող S մակերևույթով վեկտորի հոսքին։

Բանաձևն օգտագործվում է ծավալային ինտեգրալը փակ մակերևույթով ինտեգրալի վերածելու համար։ Օստոգրադսկու աշխատության մեջ բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ.

$\int \left({\frac {dP}{dx}}\right)+\left({\frac {dQ}{dy}}\right)+\left({\frac {dR}{dz}}\right)\times \omega =\int \left(Pcos\lambda +cos\mu +Rcos\nu \right)\cdot s$

որտեղ $\omega$ -ն և s-ը համապատասխանաբար ծավալային և մակերեսային դիֆերենցիալներն են, $\omega =d\omega$ -ն ծավալային տարրն է, s=dS-ը՝ մակերևույթային տարրը։ P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z)-ը ֆունկցիաներ են, որոնք իրենց մասնակի ածանցյալների հետ միասին անընդհատ են մակերևույթի առաջին կարգի փակ մակերեսում, որը սահմանափակված է փակ հարթ մակերևույթով։

Գաուս-Օստոգրադսկու ընդհանրացված դեպքը Ստոքսի բանաձևն է^[2]։

Պատմություն խմբագրել

Առաջին անգամ թեորեմը առաջարկվել է Լագրանժի կողմից։ 1762 թ. ձայնի տեսության մասին իր աշխատության մեջ Լագրանժը դիտարկում է թեորեմի մասնակի դեպքը^[3]։

Եռակի ինտեգրալը մակերեսայինի վերածելու ընդհանուր մեթոդն առաջին անգամ ցույց է տվել Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսը (1813, 1830 թթ.)՝ էլեկտրադինամիկայի խնդիրների օրինակի վրա^[4].:

1826 թ. Միխայիլ Օստրոգրադսկին դուրս բերեց բանաձևն ընդհանուր տեսքով՝ այն ներկայացնելով թեորեմի տեսքով (հրատարակվել է 1831 թ.)։ Բանաձևի ընդհանրացումը բազմաչափ դեպքի համար Օստոգրադսկին հրապարակեց 1834 թ.^[4]։ Այս բանաձևի օգնությամբ Օստոգրադսկին գտավ պարամետրով ածանցյալի և փոփոխական սահմանով n-րդ կարգի ինտեգրալի միջև արտահայտությունը և ստացավ բանաձև n-րդ կարգի ինտեգրալի վարիացիայի համար։

Անգլալեզու գրականության մեջ այս բանաձևն անվանում են նաև դիվերգենցիայի թեորեմ անգլ.՝ divergence theorem, երբեմն՝ Գաուսի բանաձև կամ Գաուս-Օստոգրադսկու բանաձև (թեորեմ)։

Ծանոթագրություններ խմբագրել

↑ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
↑ Stewart, James (2008), "Vector Calculus", Calculus: Early Transcendentals (6 ed.), Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-495-01166-8:
↑ Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Ձանի բնույթի և տարածման նոր հետազոտություններ), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 - 172. Գիրքն առցանց՝ "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151-316; на страницах 263-265։ Մասերով ինտեգրելու միջոցով Լագրանժը ձևափոխում է եռակի ինտեգրալները՝ դարձնելով կրկնակի
↑ ^4,0 ^4,1 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150-151.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից (հ․ 2, էջ 704)։

[1] M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[2] Stewart, James (2008), "Vector Calculus", Calculus: Early Transcendentals (6 ed.), Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-495-01166-8:

[3] Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Ձանի բնույթի և տարածման նոր հետազոտություններ), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 - 172. Գիրքն առցանց՝ "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151-316; на страницах 263-265։ Մասերով ինտեգրելու միջոցով Լագրանժը ձևափոխում է եռակի ինտեգրալները՝ դարձնելով կրկնակի

[A-4] 4,0 ^4,1 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150-151.

[1]

[2]

[3]

[4]