Գաուս-Զեյդելի մեթոդ

Գաուս-Զեյդելի մեթոդը (Զեյդելի մեթոդ, Լիբմանի պրոցես, հաջորդական փոխարինումների մեթոդ) հանդիսանում է դասական իտերացիոն մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում։ Այն անվանվում է ի պատիվ Զեյդելի և Գաուսի։

Խնդրի դրվածքը

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը՝

$A{\vec {x}}={\vec {b}}$, где $A=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{array}}\right),\quad {\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)$

կամ

$\left\{{\begin{array}{rcl}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{array}}\right.$

և ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է լուծել այն Գաուս-Զեյդելի մեթոդով։

Մեթոդը

Մեթոդի էությունը պարզաբանելու համար առաջադրանքը գրենք հետևյալ տեսքով՝

$\left\{{\begin{array}{lcr}a_{11}x_{1}&=&-a_{12}x_{2}-a_{13}x_{3}-\ldots -a_{1n}x_{n}+b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=&-a_{23}x_{3}-\ldots -a_{2n}x_{n}+b_{2}\\\ldots &&\\a_{(n-1)1}x_{1}+a_{(n-1)2}x_{2}+\ldots +a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1}&=&-a_{(n-1)n}x_{n}+b_{n-1}\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{n(n-1)}x_{n-1}+a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{array}}\right.$

Այստեղ $j$-րդ հավասարումում մենք աջ մաս տեղափոխեցինք բոլոր այն $x_{i}$ անդամները, որտեղ բավարարում էր $i>j$ պայմանը։ Այս գրառումը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով՝

$(\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}=-\mathrm {U} \,{\vec {x}}+{\vec {b}},$

որտեղ ընդունված նշանակումներով $\mathrm {D}$-ն մատրից է, որում գլխավոր անկյունագծի վրա գրված են $A$ մատրիցի համապատասխան անդամները, իսկ մնացած անդամները զրոներ են, այնինչ $\mathrm {U}$ և $\mathrm {L}$ մատրիցները պարունակում են $A$ մատրիցի վերևի և ներքևի եռանկյունային մասերը, որոնց գլխավոր անկյունագծի վրա զրոներ են։ Գաուս-Զեյդելի մեթոդում իտերացիոն պրոցեսը ստեղծվում է հետևյալ բանաձևով՝

$(\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}^{(k+1)}=-\mathrm {U} {\vec {x}}^{(k)}+{\vec {b}},\quad k=0,1,2,\ldots$

համապատասխան ${\vec {x}}^{(0)}$ սկզբնական մոտարկման ընտրությամբ։

Գաուս-Զեյդելի մեթոդը կարելի է դիտարկել որպես Յակոբիի մեթոդի մոդիֆիկացիա։ Մոդիֆիկացիայի հիմնական գաղափարը կայանում է նրանում, որ այստեղ ${\vec {x}}^{(i)}$ նոր արժեքները օգտագործվում են անմիջապես ստանալուց հետո, այնինչ Յակոբիի մեթոդում այն չի օգտագործվում մինչև հաջորդ իտերացիան՝

$\left\{{\begin{array}{ccccccccccc}{x_{1}}^{(k+1)}&=&c_{12}{x_{2}^{(k)}}&+&c_{13}x_{3}^{(k)}&+&{\ldots }&+&c_{1n}{x_{n}}^{(k)}&+&d_{1}\\{x_{2}}^{(k+1)}&=&c_{21}{x_{1}^{(k+1)}}&+&c_{23}x_{3}^{(k)}&+&{\ldots }&+&c_{2n}{x_{n}}^{(k)}&+&d_{2}\\\ldots &&&&&&&&&&\\{x_{n}}^{(k+1)}&=&c_{n1}{x_{1}^{(k+1)}}&+&c_{n2}{x_{2}^{(k+1)}}&+&{\ldots }&+&c_{n(n-1)}{x_{n-1}}^{(k+1)}&+&d_{n}\end{array}}\right.,$

որտեղ

$c_{ij}={\begin{cases}-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}},&j\neq i,\\0,&j=i.\end{cases}}\quad d_{i}={\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\quad i=1,\ldots ,n.$

Այսպիսով, $i$-րդ կոմպոնենտի $(k+1)$-րդ մոտարկման հաշվարկը կատարվում է

$x_{i}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{i-1}c_{ij}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=i}^{n}c_{ij}x_{j}^{(k)}+d_{i},\quad i=1,\ldots ,n$

բանաձևով։

Օրինակ, $n=3$-ի դեպքում`

$x_{1}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{1-1}c_{1j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=1}^{3}c_{1j}x_{j}^{(k)}+d_{1}$, այսինքն $x_{1}^{(k+1)}=c_{11}x_{1}^{(k)}+c_{12}x_{2}^{(k)}+c_{13}x_{3}^{(k)}+d_{1},$

$x_{2}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{2-1}c_{2j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=2}^{3}c_{2j}x_{j}^{(k)}+d_{2}$, այսինքն $x_{2}^{(k+1)}=c_{21}x_{1}^{(k+1)}+c_{22}x_{2}^{(k)}+c_{23}x_{3}^{(k)}+d_{2},$

$x_{3}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{3-1}c_{3j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=3}^{3}c_{3j}x_{j}^{(k)}+d_{3}$, այսինքն $x_{3}^{(k+1)}=c_{31}x_{1}^{(k+1)}+c_{32}x_{2}^{(k+1)}+c_{33}x_{3}^{(k)}+d_{3}:$

Զուգամիտության պայման

Բերենք զուգամիտության մեթոդի բավարար պայման։

Թեորեմ. Դիցուկ $\|\mathrm {A} _{2}\|<1$, որտեղ $\mathrm {A} _{2}=-(\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}\,\mathrm {U} ,\quad (\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}$ մատրիցն հակադարձ է $(\mathrm {L} +\mathrm {D} )$ մատրիցին։ Այդ դեպքում ցանկացած ${\vec {x}}^{(0)}$ սկզբնական մոտարկման ընտրության դեպքում՝ Գաուս-Զեյդելի մեթոդը զուգամիտում է, մեթոդի զուգամիտության արագությունը հավասար է երկրաչափական պրոգրեսիայի զուգամիտության արագությանը $q=\|\mathrm {A} _{2}\|$ հայտարարով, ճիշտ է $\|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0)}-{\vec {x}}\|$ գնահատման սխալը։

Դադարեցման պայմանը

Զեյդելի պրոցեսի իտերացիայի ավարտի պայմանը անհրաժեշտ $\varepsilon$ ճշգրտության դեպքում կրճատ ձևով ունի այսպիսի տեսք՝

$\parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \leq \varepsilon$

Իտերացիոն պրոցեսի առավել ճշգրիտ պայմանը ունի այսպիսի տեսք՝

$\parallel Ax^{(k)}-b\parallel \leq \varepsilon$

և պահանջում է ավելի շատ հաշվարկներ։ Այն բավականին հարմար է կտրտված մատրիցների համար։

Իրականացման օրինակ C++ - ում

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

// Ավարտի պայման
bool converge(double xk[10], double xkp[10], int n, double eps)
{
	double norm = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		norm += (xk[i] - xkp[i]) * (xk[i] - xkp[i]);
	return (sqrt(norm) < eps);
}

double okr(double x, double eps)
{
	int i = 0;
	while (eps != 1)
	{
		i++;
		eps *= 10;
	}
	int okr = pow(double(10), i);
	x = int(x * okr + 0.5) / double(okr);

	return x;
}

bool diagonal(double a[10][10], int n)
{
	int i, j, k = 1;
	double sum;
	for (i = 0; i < n; i++) {
		sum = 0;
		for (j = 0; j < n; j++) sum += a[i][j];
		sum -= a[i][i];
		if (sum > a[i][i]) 
		{
			k = 0; 
			cout << a[i][i] << " < " << sum << endl;
		}
		else
		{
			cout << a[i][i] << " > " << sum << endl;
		}
		

	}

	return (k == 1);

}

int main()
{
	setlocale(LC_ALL, "");

	double eps, a[10][10], b[10], x[10], p[10];
	int n, i, j, m = 0;
	int method;
	cout << "Մուտքագրել քառակուսի մատրիցի չափը՝ ";
	cin >> n;
	cout << "Մուտքագրել հաշվարկի ճշտությունը՝ ";
	cin >> eps;
	cout << "Մուտքագրել А մատրիցն՝ " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
		for (j = 0; j < n; j++)
		{
			cout << "A[" << i << "][" << j << "] = ";
			cin >> a[i][j];
		}
	cout << endl << endl;
	cout << " Ձեր А մատրիցն՝ " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		for (j = 0; j < n; j++)
			cout << a[i][j] << " ";
		cout << endl;
	}

	cout << endl;

	cout << "Լրացրեք ազատ անդամների սյունը՝ " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << "В[" << i + 1 << "] = ";
		cin >> b[i];
	}

	cout << endl << endl;

	/*
	Քայլ մեթոդ, որտեղ։
	a[n][n] - մատրիցի գործակիցներն են
	x[n], p[n] - Ընթացիկ և նախորդ լուծումները
	b[n] - Աջ մասերի սյունը
	Բոլոր թվարկված զանգվածները իրական են և
	պետք է որոշված լինեն հիմնական ծրագրում,
	ինչպես նաև x[n] մասիվում անհրաժեշտ է լրացնել սկզբնական
	սյան լուծումի մոտարկումը (օրիակ, բոլորը զրոներ)
	*/

	for (int i = 0; i < n; i++)
		x[i] = 1;

	cout << "Անկյունագծային գերակշռություն՝ " << endl;
	if (diagonal(a, n)) {
		do
		{
			for (int i = 0; i < n; i++)
				p[i] = x[i];
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				double var = 0;
				for (int j = 0; j < i; j++)
					var += (a[i][j] * x[j]);
				for (int j = i + 1; j < n; j++)
					var += (a[i][j] * p[j]);
				x[i] = (b[i] - var) / a[i][i];
			}
			m++;
		} while (!converge(x, p, n, eps));

		cout << "Համակարգի լուծում՝" << endl << endl;
		for (i = 0; i < n; i++) cout << "x" << i << " = " << okr(x[i], eps) << "" << endl;
		cout << "Իտերացիա՝ " << m << endl;
	}
	else {
		cout << "Չի կատարվում անկյունագծերի գերակշռություն։" << endl;
	}

	system("pause");
	return 0;
}

Իրականացման օրինակ Python - ում

from math import sqrt
import numpy as np

def seidel(A, b, eps):
    n = len(A)
    x = [.0 for i in range(n)]

    converge = False
    while not converge:
        x_new = np.copy(x)
        for i in range(n):
            s1 = sum(A[i][j] * x_new[j] for j in range(i))
            s2 = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i + 1, n))
            x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i][i]

        converge = sqrt(sum((x_new[i] - x[i]) ** 2 for i in range(n))) <= eps
        x = x_new

    return x

Տես նաև

• Երկրաչափական պրոգրեսիա
• Պարզ իտերացիայի մեթոդ
• Յակոբիի մեթոդ
• Բանախի թեորեմ
• Իտերացիայի մեթոդ

Արտաքին հղումներ

• https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/iterative-methods-for-solving-iaxi-ibi-gauss-seidel-method
• https://www3.nd.edu/~zxu2/acms40390F12/Lec-7.3.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/Gauss-SeidelMethod.html