Բերտրանի պոստուլատ

Բերտրանի պոստուլատը թեորեմ է, ըստ որի կամայական ամբողջ թվի համար $n>3$, գոյություն ունի նվազագույնը մեկ այնպիսի պարզ թիվ $p$, որ

$n<p<2n-2$

Մեկ այլ բանաձև, որտեղ $p_{n}$-ը $n$-րդ պարզ թիվն է և $n\geq 1$

$p_{n+1}<2p_{n}$

Այս պնդումը առաջին անգամ առաջարկել է Ջոզեֆ Բերտրանը (1822-1900) 1845 թվականին։ Բերտրանը ստուգել է այն [2, 3 × 10⁶] բոլոր թվերի համար։ Նրա պնդումը վերջնականորեն ապացուցվել է Չեբիշևի (Chebyshev) (1821-1894) կողմից 1852 թվականին։ Այժմ պոստուլատը հայտնի է նաև որպես Բերտրան-Չեբիշևի թեորեմ կամ Չեբիշևի թեորեմ։ Չեբիշևի թեորեմը կարելի է ներկայացնել $\scriptstyle \pi (x)\,$ ֆունկցիայի միջոցով, որտեղ $\scriptstyle \pi (x)\,$-ը $\scriptstyle x\,$-ը չգերազանցող պարզ թվերի քանակն է։

$\pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1,\,$ բոլոր $\,x\geq 2.\,$

1919 թվականին Ռամանուջանը (1887-1920) օգտագործել է գամմա ֆունկցիան՝ ավելի պարզ ապացույց գտնելու համար, որից առաջացել են Ռամանուջանյան պարզ թվերը։ 1932 թվականին Էրդյոշը (Erdős) (1913-1996) հրապարակել է նմանատիպ ապացույց՝ օգտագործելով բինոմական գործակիցները և Չեբիշևի ֆունկցիան՝

$\vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\ln(p)$, որտեղ p ≤ x։

Էրդյոշի թեորեմ

1934 թվականին Էրդյոշը ապացուցել է, որ կամայական բնական k թվի համար գոյություն ունի այնպիսի N բնական թիվ, որ բոլոր n > N թվերի համար գոյություն ունեն առնվազն k պարզ թվեր, որոնք ընկած են n-ի և 2n-ի միջև։ Համարժեք մի պնդում ապացուցել է Ռամանուջանը 1919 թվականին։

Պարզ թվերի թեորեմից (մինչև x ընկած պարզ թվերի քանակը մոտավորապես հավասար է x/ln(x)-ի) հետևում է, որ եթե x-ի փոխարեն տեղադրենք 2x, ապա անվերջ մեծ x-երի համար մինչև x ընկած պարզ թվերի քանակը հավասար է մինչև 2x ընկած պարզ թվերի քանակի կեսին։ Այս պատճառով անվերջ մեծ n բնական թվերի համար n-ից մինչև 2n ընկած պարզ թվերի քանակը հավասար է n/ln(n), որը շատ ավելի մեծ թիվ է, քան պնդում է Բերտրանի պոստուլատը։ Այսպիսով, Բերտրանի պոստուլատը ավելի թույլ թեորեմ է, քան պարզ թվերի թեորեմը։

Նմանատիպ, թեև չլուծված խնդիր է Լեժանդրի վարկածը, որը պնդում է, որ կամայական n բնական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի p պարզ թիվ, որը բավարարում է հետևյալ պայմանին․ n² < p < (n + 1)²։ Այս վարկածն ապացուցելիս պարզ թվերի թեորեմը չի օգնում, քանի որ անվերջ մեծ x-երի համար x²/ln(x²)-ը հավասար է (x + 1)²/ln((x + 1)²)-ին։

Ավելի լավ արդյունքներ

Պարզ թվերի թեորեմից հետևում է, որ կամայական իրական $\epsilon >0$ թվի համար գոյություն ունեն այնպիսի $n_{0}>0$ և $p$ պարզ թվեր, որ բոլոր $n>n_{0}$ համար տեղի ունի $n<p<(1+\epsilon )n$ անհավասարումը։ Հեշտությամբ կարելի է ապացուցել, որ

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\epsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\epsilon ,$

որից հետևում է, որ $\pi ((1+\epsilon )n)-\pi (n)$ արտահայտությունը ձգտում է անվերջության։

Ոչ ասիմպտոտային սահմանները նույնպես ապացուցված են։ 1952 թվականին Ջիտսուրո Նագուրան (Jitsuro Nagura) ապացուցել է, որ n ≥ 25-ի համար գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որը ընկած է n-ի և (1 + 1/5)n-ի միջև։

1976 թվականին Լոուել Շոնֆելդը (Lowell Schoenfeld) ցույց է տվել, որ n ≥ 2010760-ի համար միշտ գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որ ընկած է n-ի և (1 + 1/16597)n-ի միջև։

1998 թվականին Պիեր Դուսարտը (Pierre Dusart) իր դոկտորական թեզում լավացրեց այդ արդյունքը՝ ցույց տալով, որ k ≥ 463, p_k+1 ≤ (1 + 1/(ln²p_k))p_k-ի, և, մասնավորապես, x ≥ 3275-ի համար գոյություն ունի այնպիսի պարզ թիվ, որը ընկած է $x$-ի և (1 + 1/(2ln²x))x-ի միջև։

Բեյքերը, Հարմանը և Պինցը ապացուցեցին, որ բոլոր մեծ $x$-երի համար գոյություն ունի գոնե մեկ պարզ թիվ, որն ընկած է $[x,\,x+O(x^{21/40})]$ միջակայքում։

Բերտրանի պոստուլատի ընդհանրացումները ստացվում են նաև պարզ մեթոդներով։ 2006 թվականին Մ․ Էլ Բախռաուին (M. El Bachraoui) ապացուցել է, որ գոյություն ունի պարզ թիվ 2n-ի և 3n-ի միջև։ 2011 թվականին Էնդի Լուն (Andy Loo) ապացուցեց, որ գոյություն ունի պարզ թիվ 3n-ի և 4n-ի միջև։ Ավելին, նա ապացուցեց, որ երբ n-ը ձգտում է անվերջության, 3n-ի և 4n-ի միջև գոյություն ունեցող պարզ թվերի քանակը նույնպես ձգտում է անվերջության՝ ընդհանրացնելով Էրդյոշի ու Ռամանուջանի ստացած արդյունքները։ Այս ապացույցներից ոչ մեկը չի պահանջում խորը անալիզի գիտելիքներ։