Բաժանելիություն

Բաժանելիություն, թվաբանության և թվերի տեսության հիմնական հասկացություններից մեկը՝ կապված բաժանման գործողության հետ։ Բազմությունների տեսության տեսանկյունից ամբողջ թվերի բաժանելիությունը հանդիսանում է հարաբերություն՝ որոշված ամբողջ թվերի բազմության վրա։

Սահմանում

Եթե որևէ $a$ և $b$ ամբողջ թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի $q$ ամբողջ թիվ, որ $bq=a$, ապա ասում են, որ $a$ թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է $b$ թվի վրա կամ՝ $b$ թիվը տրոհում է $a$ թիվը։

Ընդ որում $b$ թիվը կոչվում է $a$ թվի բաժանարար, $a$ թիվը՝ բաժանելին, հանդիսանում է $b$ թվի բազմապատիկ, իսկ $q$ թիվը կոչվում է $a$ թիվը $b$ թվի վրա բաժանելու արդյունքում ստացված քանորդ։

Թեև բաժանելիության հատկությունը սահմանված է ամբողջ թվերի բազմության վրա, սովորաբար դիտարկվում է միայն բնական թվերի բաժանելիությունը։ Մասնավորապես, բնական թվի բաժանարարների քանակի ֆունկցիան հաշվում է նրա միայն դրական բաժանարարները։

Նշանակումներ

• $a\,\vdots \,b$ նշանակում է, որ $a$ թիվը բաժանվում է $b$ թվի վրա, կամ՝ որ $a$ թիվը $b$ թվի բազմապատիկն է։
• $b\mid a$ նշանակում է, որ $b$ թիվը տրոհում է $a$ թիվը, կամ, որ նույնն է՝ $b$ թիվը $a$ թվի բաժանարարն է։

Առնչվող սահմանումներ

• Մեկից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի առնվազն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և նույն թիվը։ Ընդ որում՝ այն բնական թվերը, որոնք ունեն ճիշտ երկու բաժանարար, կոչվում են պարզ, իսկ երկուսից ավելի բաժանարարներ ունեցողները՝ բաղադրյալ թվեր։ Մեկ թիվն ունի միայն մեկ բաժանարար և չի հանդիսանում ո՛չ պարզ, ո՛չ բաղադրյալ։
• $1$-ից մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի գոնե մեկ պարզ բաժանարար։
• Թվի սեփական բաժանարար է կոչվում այդ թվի՝ իրենից տարբեր ցանկացած բաժանարար։ Պարզ թվերն ունեն միայն մեկ սեփական բաժանարար՝ մեկ թիվը։
• Անկախ $a$ ամբողջ թվի՝ $b\neq 0$ ամբողջ թվի վրա բաժանելիությունից, $a$ թիվը միշտ կարելի է մնացորդով բաժանել $b$ թվի վրա, այսինքն՝ ներկայացնել հետևյալ տեսքով.

  $a=b\,q+r,$ որտեղ $0\leqslant r<|b|$:

Այս առնչության մեջ $q$ թիվը կոչվում է թերի քանորդ, իսկ $r$ թիվը՝ $a$ թիվը $b$ թվի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ։ Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միարժեքորեն։

$a$ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է $b$ թվի վրա միայն այն դեպքում, երբ $a$ թիվը $b$ թվի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է 0-ի։

• Ցանկացած թիվ, որի վրա բաժանվում են ինչպես $a$, այնպես էլ $b$ թվերը, կոչվում է նրանց ընդհանուր բաժանարար, այդ թվերից մեծագույնը կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։ Ցանկացած թվազույգ ունի առնվազն երկու ընդհանուր բաժանարար՝ $+1$ և $-1$: Եթե այլ ընդհանուր բաժանարարներ չկան, ապա այդ թվերը կոչվում են փոխադարձ պարզ։
• Երկու $a$ և $b$ ամբողջ թվեր կոչվում են հավասարապես բաժանելի $m$ ամբողջ թվի վրա, եթե և՛ $a$ թիվը, և՛ $b$ թիվը բաժանվում է $m$ թվի վրա, կամ ո՛չ $a$ թիվը, և ո՛չ էլ $b$ թիվը չի բաժանվում նրա վրա։
• Ասում են, որ $a$ թիվը $b$ թվի բազմապատիկ է, եթե $a$ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է $b$ թվի վրա։ Եթե $c$ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է $a$ և $b$ թվերի վրա, ապա այն կոչվում է այդ թվերի ընդհանուր բազմապատիկ։ Այդպիսի ամենափոքր բնական թիվը կոչվում է $a$ և $b$ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։

Հատկություններ

Նշում. այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ $a,\,b,\,c$ ամբողջ թվեր են։

• Ցանկացած ամբողջ թիվ հանդիսանում է զրոյի բաժանարար, և քանորդը հավասար է զրոյի.

$\quad 0\,\vdots \,a:$

• Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է մեկի.

$\quad a\,\vdots \,1:$

• Զրոյի վրա բաժանվում է միայն զրոն.

$a\,\vdots \,0\quad \Rightarrow \quad a=0$, ընդ որում՝ քանորդն այս դեպքում որոշված չէ։

• Մեկը բաժանվում է միայն մեկի վրա.

$1\,\vdots \,a\quad \Rightarrow \quad a=\pm 1:$

• Ցանկացած $a\neq 0$ ամբողջ թվի համար կգտնվի այնպիսի $b\neq a,$ ամբողջ թիվ, որի դեպքում $b\,\vdots \,a:$
• Եթե $a\,\vdots \,b$ և $\left|b\right|>\left|a\right|,$ ապա $a\,=\,0:$ Այստեղից էլ հետևում է, որ եթե $a\,\vdots \,b$ և $a\neq 0,$ ապա $\left|a\right|\geqslant \left|b\right|:$
• Որպեսզի $a\,\vdots \,b,$ անհրաժեշտ է և բավարար, որ $\left|a\right|\vdots \left|b\right|:$
• Եթե $a_{1}\,\vdots \,b,\,a_{2}\,\vdots \,b,\,\dots ,\,a_{n}\,\vdots \,b,$ ապա $\left(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}\right)\,\vdots \,b:$
• Բնական թվերի բաժանելիության առնչությունը հանդիսանում է ոչ խիստ կարգի հարաբերակցություն, և մասնավորաբար, այն
  • անդրադարձական է, այսինքն՝ ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է ինքն իր վրա.$\quad a\,\vdots \,a:$
  • փոխանցական է, այսինքն՝ եթե $a\,\vdots \,b$ և $b\,\vdots \,c,$ ապա $a\,\vdots \,c:$
  • հակասիմետրիկ (հակահամաչափ) է, այսինքն՝ եթե $a\,\vdots \,b$ և $b\,\vdots \,a,$ ապա $a\,=\,b:$

Ամբողջ թվերի համակարգում բավարարվում են այս երեք հատկություններից առաջին երկուսը; օրինակ՝ $2\,\vdots \,-2$ և $-2\,\vdots \,2,$ սակայն $2\neq -2:$

Բաժանարարների քանակը

$n$ բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը, որը սովորաբար նշանակվում է $\tau (n),$ հանդիսանում է բազմապատկական ֆունկցիա, նրա համար ճշմարիտ է Դիրիխլեի ասիմպտոտիկ բանաձևը.

$\sum _{n=1}^{N}\tau (n)=N\ln N+(2\,\gamma -1)N+O\left(N^{\theta }\right):$

Այստեղ $\gamma$-ն՝ Էյլեր — Մասկերոնիի հաստատունն է, իսկ $\theta$-ի համար Դիրիխլեն ստացել է ${\frac {1}{2}}$ արժեքը։ Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, և ներկայումս հայտնի ամենալավ արդյունքն է՝ $\theta ={\frac {131}{416}}$ (2003 թվականին ստացել է Հաքսլին)։ Սակայն, $\theta$-ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այդ բանաձևը կլինի ճշմարիտ, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր չէ, քան ${\frac {1}{4}}$):

Ընդ որում՝ n մեծ թվի միջին բաժանարարն աճում է ինչպես ${\frac {c_{1}n}{\sqrt {\ln n}}}$, ինչը հայտնաբերել է Ա. Կարացուբան։ Մ. Կորոլյովի համակարգչային գնահատմամբ՝ $c_{1}={\frac {1}{\pi }}\prod _{p}\left({\frac {p^{3/2}}{\sqrt {p-1}}}\ln \left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\approx 0{,}7138067$:

Ընդհանրացումներ

Բաժանելիության հասկացությունը ընդհանրացվում է կամայական օղակների վրա, օրինակ՝ գաուսյան ամբողջ թվերը կամ բազմանդամների օղակը։

Տես նաև

• Բաժանում (մաթեմատիկա)
• Մնացորդով բաժանում
• Բաժանելիության հայտանիշներ
• Օղակ (մաթեմատիկա)

Գրականություն

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
• Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6
• Делимость // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 95. — 352 с.

Արտաքին հղումներ

• Տեսանյութ բաժանելիության մասին

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 223)։