Բաբելոնյան մաթեմատիկա

Այս հոդվածը մաթեմատիկայի պատմության մաս է կազմում:

Ընդհանուր տեղեկություններ

Բաբելոնյան թագավորությունը ձևավորվել է մ.թ.ա. II հազարամյակի սկզբին, որը գտնվում է ժամանակակից Իրաքի տարածքում՝ փոխարինելով Շումերին և Աքքադին և ժառանգելով նրանց զարգացած մշակույթը։ Այն գոյություն է ունեցել մինչև մ.թ.ա 539 թվականը։

Բաբելոնացիները գրել են սեպագրեր կավե աղյուսների վրա, որոնք զգալի թվով հասել են մեզ (ավելի քան 500 000 սեպագրեր, որոնցից մոտ 400-ը կապված են մաթեմատիկայի հետ)։ Հետևաբար մենք ունենք բավականին պատկերացում բաբելոնյան պետության գիտնականների մաթեմատիկական գիտելիքների վերաբերյալ։ Նշենք, որ բաբելոնացիների մշակույթի արմատները հիմնականում գալիս են շումերականների մշակույթից. սեպագրային նամակներ, հաշվելու կարգ և այլն։

Բաբելոնյան մաթեմատիկական տեքստերը հիմնականում կրթական բնույթ են կրում։ Դրանցից երևում է, որ բաբելոնյան հաշվարկման տեխնիկան շատ ավելի առաջադեմ էր, քան եգիպտականըՙ ինչպես նաև լուծվող խնդիրների շրջանակը էապես ավելի լայն էր։ Այդտեղ կային քառակուսային հավասարումների, երկրաչափական պրոգրեսիաների լուծման վերաբերող խնդիրներ։ Որոշման չափով կիրառվել են համամասնությունները, միջին թվաբանականը, տոկոսները։ Պրոգրեսիաների հետ աշխատելու մեթոդները ավելի խորքային էին, քան եգիպտացիներինը։

Բաբելոնյան տեքստերում, ինչպես եգիպտականներում է, տրվում է միայն որոշման ալգորիթմը (կոնկրետ օրինակներ)՝ առանց մեկնաբանությունների և ապացույցների։ Այնուամենայնիվ, ալգորիթմների վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ բաբելոնացիների շրջանում զարգացած ընդհանուր մաթեմատիկական տեսությունը անկասկած գոյություն է ունեցել։

Համարակալում

Շումերացիները և բաբելոնացիները օգտագործում էին վեց տասնորդական թվային համակարգը։ Նրանք գրել են մեր նման՝ ձախից աջ։ 60 թվանշանների գրառումը յուրահատուկ էր։ Թվերի համար կար ընդամենը երկու նիշ, որոնք նշանակեցին Մ (միավոր) և Տ (տասնյակ)։ Հետագայում հայտնվեց զրոյի հատուկ նիշը։ 1-ից 9-ը թվերը ներկայացված էին այսպես՝ Մ, ՄՄ, ... ՄՄՄՄՄՄՄՄՄ։ Իսկ դրանից հետո Տ, ՏՄ, … ՏՏՏՏՏՄՄՄՄՄՄՄՄՄ (59)։ Նմանապես արձանագրված են ֆրակցիաները։ 1/2, 1/3 և 2/3 հայտնի ֆրակցիաների համար հատուկ սիմվոլներ են եղել։

Հույն և միջնադարյան եվրոպացի մաթեմատիկոսները (այդ թվում` Կոպեռնիկոսը) օգտագործեցին Բաբելոնյան 60-ական համակարգը` ֆրանկցաիների մասերը նշանակելու համար։ Սրա շնորհիվ մենք ժամը բաժանում ենք 60 րոպեի, իսկ րոպեները` 60 վայրկյանի:Պետք է նշել, որ Հին Բաբելոնում, հակառակ տարածված կարծիքի, ժամեր, րոպեներ և վայրկյաններ չեն օգտագործվել։ Դրանց փոխարեն օգտագործվել է «կրկնակի ժամ»՝ 120 ժամվա տևողությամբ, ինչպես նաև «ժամանակային աստիճան»՝ 1/360 օր տեւողությամբ (այսինքն չորս րոպե) և «երրորդ մասը»՝ 3¹⁄₃ վայրկյանի տրողությամբ (ինչպես ժամանակակից հրեական օրացույցում)։

Ժամանակակից գիտական գրականության մեջ օգտագործվում է բաբելոնյան թվերի կոմպակտ գրառումը, օրինակ՝

4,2,10; 46,52

ՀԵտագայում այն ստացավ հետևյալ տեսքը՝ 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600:

Թվաբանություն և հանրահաշիվ

Բաբելոնացիների թվաբանությունը զգալիորեն զարգացած էր, նրանք ունեին աղյուսակների ծանրակշիռ հավաքածու։ Այդ աղյուսակները ընդգրկեց բազմապատկման աղյուսակները (առանձին բազմապատկելու համար 1 ... 20, 30 ... 50), քառակուսիների, խորանարդների, քառակուսի և խորանարդ արմատների և այլնի հաշման աղյուսակները։ Աղյուսակներից մեկը օգնեց գտնել n ցուցիչը, եթե բանանաձևը տրվում էր հետևյալ կերպ՝ $2^{n}$ (այս երկուական լոգարիթմները օգտագործվում են վարկի տոկոսների հաշվարկի համար)։ Բաբելոնցիները m/n ամբողջ թվերի բաժանումը փոխարինել են բազմապատկման՝ m ×(1/n) եւ 1/n գտնելու համար օգտագործել են վեր նշված աղյուսակները։

Գծային և քառակուսային հավասարումների լուծումը տրվեց նույնիսկ Համմուրաբիի դարաշրջանում (նա ղեկավարում էր մ.թ.ա. 1793-1750): Այդ ժամանակ օգտագործել են նաև երկրաչափական տերմինաբանությունը (մարմնի ab-ն կոչվում է մակերես, abc-ն՝ ծավալը և այլն)։ Միանդամների շատ նշաններ շումերացիներից էին եկել, որոնցից կարելի է եզրակացություն անել հնագույն ալգորիթմենրի վերաբերյալ։ Օգտագործել են հատուկ տառեր անհայտները նշանակելու համար։ Հանդիպում ենք նաև քառակուսային և գժային հավասարումների համակարգերի։ Քառակուսի արմատները հաշվարկելու համար բաբելոնացիները հայտնաբերեցին հատուկ բանաձևեր։ Քառակուսային արմատը ներկայացրեցին արտահայտության տեսքով՝ $a=n^{2}+r$, ապա ստացան $x_{0}=n+{\frac {r}{2n}}$: Ապա կիրառվեց նաև Նյուտոնի մեթոդը՝

$x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$:

Այս մեթոդով շատ արագ կարողանում էին ստանալ պատասխաններ։ Օրինակ ${\sqrt {5}}$ համար, երբ$a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4}}=2{,}25,$, մենք ստանում ենք մի շարք մոտարկումներ՝ $x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779$:

Վերջիվերջո բոլոր մեթոդները և գոևծողությունները՝ բացառությամբ վերջինի, ճիշտ են։

Երկրաչափություն

Երկրաչափության մեջ դիտարկվել են նույն մարմինները, որոնք որ Եգիպտոսում, դրան ավելացրած շրջանային սեգմենտը և հատած կոնը։ Նախնական տեքստերում $\pi =3$, սակայն հաջորդ տեքստերում հանդիպում ենք, որ 25/8 = 3,125 (եգիպտացիների շրջանում 256/81 ≈ 3,1605): Հանդիպում ենէ նաև մի անսովոր կանոնի, ըստ որի շրջանի մակերսը հավասար է $\pi ^{2}R^{2}/3$: Առաջին անգամ հանդիպում ենք Պյութագորասի թեորեմին (նույնիսկ Համմուրաբի տակ). այն տրվել է հատուկ աղյուսակների միջոցով և լայնորեն օգտագործվում է տարբեր խնդիրների լուծման մեջ։ Բաբելոնացիները կարողացան հաշվարկել բազմանկյունների մակերեսները. ըստ երեւույթին, նրանք ծանոթ էին նմանության սկզբունքին։ Չկարգավորված քառանկյունների մակերեսների համար օգտագործում էին նույն մոտավոր բանաձևը, որը օգտագործվում էր Եգիպտոսում՝ $S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$:Բաբելոնյան մաթեմատիկայից սկսվում է անկյունների աստիճանների րոպեների և վայրկյանների սովորական չափումը (այս միավորների ներդրումը հնագույն մաթեմատիկայի մեջ սովորաբար վերագրվում է Գիպսիկլեին, մ.թ.ա. II դար)։

Պատմական ազդեցություն

Բաբելոնյան մաթեմատիկոսների և աստղագետների զգալի ձեռքբերումները դարձել են հաջորդ քաղաքակրթությունների գիտության հիմքը և առաջին հերթին Հին Հունաստանի քաղաքակրթության գիտական հիմքը։ Սակայն Բաբելոնի մաթեմատիկայի հարուստ տեսական հիմքը ոչ թե ամբողջական բնույթ էր կրում, նվազեցվել է մի շարք տարբեր մեթոդներ, այդտեղ բացակայում էին ապացույցները։ Մաթեմատիկայի համակարգված մոտեցումը միայն հույների շրջանում դրսևորվեց։

Գրականություն

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с.
• Веселовский И. Н. Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. — М.: Академия наук СССР, 1955. — В. 5. — С. 241—304..
• Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — 344 с. Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., 1968.
• Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ.
  • Том I. (1960). Том II. (1963)
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
• Friberg J. Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics. World Scientific, 2005.
• Friberg J. Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics. World Scientific, 2007.

Արտաքին հղումներ

• Mesopotamian Mathematics Արխիվացված 2018-02-20 Wayback Machine (անգլ.)
• O’Connor, J. J. and Robertson, E. F., An overview of Babylonian mathematics, MacTutor History of Mathematics, (December 2000).

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Բաբելոնյան մաթեմատիկա» հոդվածին։