Ապոլոնիուսի թեորեմ

Ապոլոնիուսի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան միջնագծի և նրա կողմերի երկարությունների միջև։

Կանաչ + Կապույտ = Կարմիր

Ցանկացած ABC եռանկյան համար, որտեղ AD-ն միջնագիծ է, գոյություն ունի հետևյալ հավասարությունը $AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2})\,$ Ապոլոնիուս

Սա Ստյուարտի թեորեմի մասնավոր դեպք է։ Հավասարասրուն եռանկյան դեպքում այն վերածվում է Պյութագորասի թեորեմի։ Քանի որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվելիս կիսում են իրար, Ապոլոնիուսի թեորեմը համարժեք է զուգահեռագծերի օրենքին։

Թեորեմը իր անունը կրում է հին հույն գիտնական Ապոլլոնիոսի պատվին։

Ապացույց

Ապոլոնիուսի թեորեմի ապացույցը

Այս թեորեմը կարելի է դիտարկել որպես Ստյուարտի թեորեմ մասնավոր դեպք, այն կարելի է ապացուցել վեկտորների միջոցով։ Ստորև բերվում է մեկ այլ ապացույց, որն օգտագործում է կոսինուսների թեորեմը։

Դիցուք a-ն, b-ն և c-ն որևէ եռանկյան կողմերն են, իսկ d-ն a-ին տարված միջնագիծն է։ Միջնագիծը a-ն կբաժանի երկու m = 1/2 a երկարությամբ հատվածների։ a-ի և d-ի միջև ընկած անկյունը նշանակենք θ, իսկ θ′-ով նշանակենք նրա կից անկյունը (հետևաբար, cos θ′ = −cos θ)։ Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից՝ θ և θ′ անկյունների համար.

${\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}$

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանանք

$b^{2}+c^{2}=2m^{2}+2d^{2}\,$

որն էլ որ պահանջվում էր ապացուցել։

Տեսեք նաև

• Ստյուարտի թեորեմ

Աղբյուրներ

• Թեորեմի մասին PlanetMath-ում Արխիվացված 2012-03-30 Wayback Machine