«Խումբ (մաթեմատիկա)»–ի խմբագրումների տարբերություն

'''Խումբ''', արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից, ամենապարզ հանրահաշվական կաոուցվածքը (ստրուկտուրան)։

# <math>G</math>-ի յուրաքանչյուր <math>a</math>-ի համար գոյություն ունի <math>G</math>-ի այնպիսի տարր, որ <math>a \cdot b=b \cdot a=e</math>:։ Օրինակ, եթե <math>G</math>-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է, իսկ բինար գործողությունը՝ գումարումը, ապա կստացվի ամբողջ թվերի խումբ ըստ գումարման (<math>e</math>-ի դերը կկատարի <math>0</math>-ն, <math>b</math>-ինը՝ <math>a</math>-ի հակադիր <math>-a</math> թիվը)։ Եթե <math>G</math>-ն դրական իրական թվերի բազմությունն է, իսկ բինար գործողությունը՝ բազմապատկումը, ապա կստացվի դրական իրական թվերի Խումբ ըստ բազմապատկման (<math>e</math>-ի դերը կկատարի իսկ <math>b</math>-ինը՝ <math>a</math>-ի հակադարձ <math>a^{-1}</math> թիվը)։ Այս երկու Խումբն էլ բավարարում են

# <math>a \cdot b= b \cdot a</math> լրացուցիչ պայմանին յուրաքանչյուր <math>a, b</math> տարրի համար։ Այսպիսի Խմբերը կոչվում են տեղափոխելի կամ [[աբելյան խումբ]]։

Սիմետրիկ (կամ տեղադրությունների) Խմբում որպես տարրեր դիտարկվում են <math> \begin{bmatrix} 12 .... n \\ i_1 i_2 .... i_n \end{bmatrix} </math> աղյուսակներ, որոնց երկրորդ տողում գրված են նույն <math>1, 2 ...., n</math> թվերը, սակայն կամայական հաջորդականությամբ։ Բինար գործողությունը հետևյալն է. եթե <math>k</math> թվի տակ <math>a</math> աղյուսակում գրված է <math>1</math>, իսկ <math>1</math>-ի տակ <math>b</math> աղյուսակում՝ <math>m</math>, ապա <math>a \cdot b</math> աղյուսակում <math>k</math>-ի տակ գրվում է <math>m</math>։

Ուրեմն, արդեն <math>n=3</math> դեպքում սիմետրիկ խումբը աբելյան չէ։ Եթե <math>G</math> խմբի յուրաքանչյուր <math>a</math> տարրին համապատասխանության մեջ է դրված <math>G'</math> խմբի որոշակի <math>\varphi (a)</math> տարր, ընդ որում <math>\varphi (a \cdot b)=\varphi (a) \cdot \varphi (b)</math> <math>G</math>-ի յուրաքանչյուր <math>a, b</math> տարրերի համար, ապա ասում են, որ տրված է <math>\varphi </math> հոմոմորֆիզմ <math>G</math> խմբից <math>G'</math> խումբ։ Օրինակ, յուրաքանչյուր <math>a</math> ամբողջ թվին համապատասխանեցնելով <math>2a</math> թիվը, կստանանք հոմոմորֆիզմ ամբողջ թվերի խմբից (ըստ գումարման) դրական իրական թվերի խումբ (ըստ բազմապատկման), քանի որ <math>2^{a+b}=2^a \cdot2^b</math>։ Բոլոր Խմբերը հոմոմորֆիզմների և նրանց կոմպոզիցիայի հետ կազմում են կատեգորիա (տես Կատեգորիաների տեսություն)։

«Խումբ» հասկացությունը սաղմնավորվել է մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում՝ հիմնականում հանրահաշվում։ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս [[Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ|Ժ. Լագրանժը]] «Մենագրություն հավասարումների հանրահաշվական լուծման մասին» (1771) աշխատությունում առաջին անգամ օգտվել է տեղադրություններից։ Հանրահաշվական հավասարումների լուծման և տեղադրությունների Խմբերի հետագա ուսումնասիրությամբ զբաղվել են [[Նիլս Հենրիկ Աբել|Ն. Աբելը]] (1824) և [[Էվարիստ Գալուա|Է. Գալուան]] (1830)։ Վերջինս մուծել է «Խումբ» (le group) տերմինը՝ չտալով սակայն նրա խիստ սահմանումը։ Երկրաչափությունում Խումբ հասկացությունը ծագել է XIX դ. կեսերին, երբ միասնական Էվկլիդեսյան երկրաչափությանը փոխարինելու եկան բազմաթիվ «երկրաչափություններ», և առաջացավ նրանց ընդհանրության որոշման հարցը։ Այս հարցի վերջնական պատասխանը եղավ գերմ. մաթեմատիկոս [[Ֆելիքս Կլայն|Ֆ. Կլայնի]] «էռլանգենյան ծրագիրը» (1872), որը տարբեր երկրաչափությունների դասակարգման հիմքում դրեց ձևափոխությունների խմբի նկատմամբ ինվարիանտության հասկացությունը։ «Խումբ» գաղափարի առաջացման երրորդ աղբյուրը թվերի տեսությունն է, ուր դեռ [[Լեոնարդ Էյլեր|Լ. Էյլերը]] (1761) ըստ էության օգտվել է մնացքների Խմբից։