«Լեբեգի ինտեգրալ»–ի խմբագրումների տարբերություն

'''Լեբեգի ինտեգրալ''', արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից<ref>Lebesgue, Henri (1904). «Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives». Paris: Gauthier-Villars.</ref>:։ Դիցուք <math>A_1, ...., A_n</math>-ը <math>[a,b]</math> հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն <math>A_1</math> բազմությունները չափելի են (տես [[Բազմության չափ|Չափ բազմության]]), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը <math>[a,b]</math>-ն է:է։

<math>S(x)</math>-ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե <math>A_1</math>-ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է <math>a_1</math>: <math>S(x)</math>-ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է <math>\sum\limits_{i=1}^nQ_i \mu A_i</math> արտահայտությունը և նշանակվում՝ <math>\int_{a}^bS(x)dx</math> (<math>\mu</math>-ն լեբեգյան չափն է):։ Եթե <math>f(x)</math>-ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման <math>\int_{a}^bf(x)dx=\sup_{0 \leqslant S \leqslant f}\int_{a}^bS(x)dx</math>, որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների <math>(0 \leqslant S \leqslant f)</math> դասում:դասում։

Քանի որ կամայական չափելի <math>f(x)</math>-ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ <math>f_1-f_2</math>, ապա <math>f(x)</math>-ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում<math>\int_{a}^bf_1(x)dx-\int_{a}^bf_2(x)dx</math> արտահայտությունը (<math>\infty-\infty</math> դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ <math>\int_{a}^bf(x)dx</math> կամ <math>(L)\int_{a}^bf(x)dx</math>: Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե <math>[a, b]</math>-ն փոխարինվի <math>(a, + \infty), (- \infty, b), (- \infty, \infty)</math> բազմություններով:բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները:ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են:են։ Եթե <math>(L)\int_{a}^bf(x)dx</math> վերջավոր է, ապա <math>f</math>-ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա:ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են:են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս:կատարելիս։ Օրինակ, եթե <math>f_n, g</math> ֆունկցիաները հանրագումարելի են, <math>|f_n| \leqslant g, f_n \to f</math> եթե <math>n \to \infty</math>, ապա <math>f</math>-ը նույնպես հանրագումարելի է և <math>\int_{a}^bf_n(x)dx \to_{n \to \infty} \int_{a}^bf(x)dx </math>: