Վիքիպեդիա

«Լայբնիցի շարք»–ի խմբագրումների տարբերություն

Դիտել պատմությունը
← Նախորդ տարբ
Content deleted Content added
ՎիզուալԵլատեքստ
չ Colon֊ը (:, U+003A) փոխարինում եմ հայերեն վերջակետով (։, U+0589)
 
Տող 3.
: <math>1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \frac{1}{17} - \frac{1}{19} + \frac{1}{21} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1}:</math>
 
Այս շարքի զուգամիտությունն անմիջապես հետևում է [[Լայբնիցի թեորեմը նշանահերթափոխ շարքերի զուգամիտության մասին|Լայբնիցի նշանահերթափոխ շարքերի մասին թեորեմից]]:։ Լայբնիցը ցույց տվեց, որ [[շարքի գումար]]ը հավասար է <math>\frac{\pi}{4}:</math> Այս հայտնագործությունը առաջին անգամ ցույց տվեց, որ [[պի թիվ]]ը, որը սկզբնապես սահմանված է երկրաչափության մեջ, Իրականում համընդհանուր մաթեմատիկական հաստատուն է. հետագայում այս փաստը մշտապես նոր հաստատում է գտել:գտել։
 
== Զուգամիտության արագություն ==
Լայբնիցի շարքը զուգամիտում է շատ դանդաղ:դանդաղ։ Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս <math>\pi</math> շարքին զուգամիտության արագությունը՝ բազմապատկած չորսով:չորսով։
{| class="wikitable"
|-
Տող 73.
Լայբնիցի շարքը հեշտությամբ ստացվում է [[Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ|արկտանգենս]]ի՝ [[Թեյլորի շարք]]ի վերլուծմամբ{{sfn |Фихтенгольц|2003|с=401}}.
: <math>\operatorname{arctg} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots </math>
Տեղադրելով <math>x=1,</math> մենք ստանում ենք Լայբնիցի շարքը:շարքը։
 
Արկտանգենսի համար Թեյլորի շարքն առաջին անգամ առաջ բերեց Մաթեմատիկոս Մադխավան, ով Կերալայի աստղագիտության և մաթիմատիկայի դպրոցի հիմնադիրն էր (XIV դար):։ Մեդխավան օգտագործեց շարքը<ref>{{статья |автор=Паплаускас А. Б. |заглавие=Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I |издание=[[Историко-математические исследования]] |место=М. |издательство=Наука |год=1973 |том=XVIII |страницы=104—131}}</ref><ref name=rajag78>{{статья |заглавие=On an untapped source of medieval Keralese Mathematics |издание=[[Archive for History of Exact Sciences]] |ссылка=https://math.mit.edu/classes/18.01/F2011/school-of-kerala.pdf |том=18 |doi=10.1007/BF00348142 |страницы=89—102 |язык=en |тип=journal |автор=C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari |месяц=6 |год=1978 }}</ref> <math>\pi</math> թիվը հաշվելու համար:համար։ Սակայն լայբնիցի շարքը <math>x=1</math>-ով, ինչպես ցույց է տրված վերևում, զուգամիտում է շատ դանդաղ, այդ պատճառով Մեդխավան տեղադրեց <math>x=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> և ստացավ ավելի արագ զուգամիտող շարք{{sfn |Вездесущее число «пи»|2007|с=47}}:։
: <math>\pi = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot3}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)</math>
Առաջին 21 գումարելիների գումարը տալիս է <math>3{,}14159265359</math>, ընդ որում բոլոր նշանները, բացի վերջինից, ճիշտ են<ref name=gupta-pi>{{статья |заглавие=Madhava's and other medieval Indian values of pi |издание=Math. Education |том=9 |номер=3 |страницы=B45—B48 |язык=en |автор=R C Gupta |год=1975}}</ref>:։
 
Մեդխավայի և իր աշակերտների ջանքերը հայտնի չէին Եվրոպայում XVII դարում, և արկտանգենսի վերլուծումը իրենցից անկախ հայտնագործեցին Գրեգորի Ջեյմսը (1671) և [[Լայբնից Գոթֆրիդ|Լայբնիցը]] (1676):։ Այդ պատճառով, որոշ աղբյուրներ առաջարկում են շարքն անվանել «Մադխավա-Լայբնիցի շարք» կամ «Գրեգորի-Լայբնիցի շարք»:։ Գրեգորին, այնուամենայնիվ, աշդ շարքը չէր կապում <math>\pi</math> թվի հետ:հետ։
 
== Զուգամիտության արագացում ==
Լայբնիցի շարքի ևս մեկ ձևափոխություն, որն այն դարձնում է <math>\pi</math> թվի հաշվարկի համար ավելի պիտանի, դա այդ շարքի անդամների զույգ առ զույգ միավորումն է:է։ Արդյունքում ունենում ենք հետևյալ շարքը.
 
:<math>\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(4n+1)(4n+3)}</math>
 
Հաշվարկի հետագա օպտիմալացման համար կարելի է կիրառել [[Էյլեր-Մակլորենի բանաձև]]ը և օգտագործելով [[Թվային ինտեգրում|թվային ինտեգրման]] մեթոդները:մեթոդները։
 
== Տես նաև ==
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/wiki/Լայբնիցի_շարք» էջից