«Գրաֆների տեսություն»–ի խմբագրումների տարբերություն

չ
Colon֊ը (:, U+003A) փոխարինում եմ հայերեն վերջակետով (։, U+0589)
չ (→‎Հղումներ: մանր-մունր oգտվելով ԱՎԲ)
չ (Colon֊ը (:, U+003A) փոխարինում եմ հայերեն վերջակետով (։, U+0589))
'''Գրաֆը''' սահմանվում է որպես կարգավոր զույգ <math>G=(V,E)</math>, որտեղ V-ն '''գագաթների''' (կամ հանգույցների) բազմությունն է, իսկ E-ն՝ '''կողերի''' (գծերի), որոնք V բազմության երկու տարրանոց ենթաբազմություններ են (այսինքն, կողը բնութագրվում է որպես երկու տարբեր գագաթների չկարգավորված զույգ)։ Գրականությունում հանդիպող այլ սահմանումներից տարբերելու համար այսպես սահմանվող գրաֆները երբեմն կոչում են ''չկողմնորոշված'' և ''հասարակ'' գրաֆներ։
 
Կողին պատկանող գագաթները կոչվում են այդ գագաթի ''ծայրակետեր'':։ Հաճախ <math>\{u, v\}</math> կողը կրճատ նշանակում են <math>uv</math>-ով։
 
Երբեմն E բազմությունը սահմանվում է որպես (իրարից տարբեր) գագաթների չկարգավորված զույգերի մուլտիբազմություն։ Այսպես սահմանվող օբյեկտները կոչվում են '''մուլտիգրաֆներ''':։ Գագաթների միևնույն զույգի միջև մեկից ավելի կողերը կոչվում են '''պատիկ''' կողեր։ Եթե թույլատրվում են նաև այնպիսի կողեր, որոնց երկու ծայրերն էլ միանում են միևնույն գագաթին (առաջացնելով ''օղակ''), այդ դեպքում ասում են, որ գործ ունենք '''պսևդոգրաֆի''' հետ։
 
Սովորաբար V և E բազմությունները ընդունվում են վերջավոր։ Հակառակ դեպքում գործ ունենք '''անվերջ գրաֆների''' հետ, որոնց համար վերջավոր գրաֆների բազմաթիվ հատկություններ տեղի չունեն։ Գրաֆի '''կարգը''' գագաթների բազմության հզորությունն է։ Որևէ գագաթի '''աստիճանը''' այդ գագաթին միացած կողերի քանակն է։ Պսևդոգրաֆների դեպքում, երբ որևէ կողի երկու ծայրերն էլ միացած են միևնույն գագաթին, այդպիսի կողերը (օղակները) հաշվվում են երկու անգամ։
Գրաֆները հաճախ ներկայացվում են հարթության վրա պատկերի միջոցով։ Յուրաքանչյուր գագաթի համար պատկերվում է կետ կամ շրջան, իսկ կողերը ներկայացվում են գագաթները միացնող կորերով։ Ուղղորդված գրաֆների դեպքում կորերի մի ծայրում պատկերվում են սլաքներ։
 
Ակնհայտորեն, միևնույն գրաֆը կարելի է պատկերել տարբեր ձևերով, և ընդհանուր դեպքում դժվար է ճանաչել, թե երբ են տարբեր պատկերները համապատասխանում միևնույն գրաֆին։ Գրաֆների գեղեցիկ կամ հարմար պատկերումը գրաֆների տեսության բարդագույն խնդիրներից է։ Մշակված են մի շարք որակի չափանիշներ (կողերի հատումների թիվը, համաչափությունը, գագաթների հեռավորությունը իրենցով չանցնող կողերից և այլն), ինչպես նաև բազմաթիվ պատկերման ալգորիթմներ<ref>[http://www.graphdrawing.org/ Գրաֆների պատկերում (անգլերեն)]</ref>:։
 
Այն գրաֆները, որոնք հնարավոր է պատկերել հարթության վրա այնպես, որ կողերը չհատվեն, կոչվում են [[''հարթ'' գրաֆներ|հարթ գրաֆներ]]:։ Ընդհանուր դեպքում, կողերի հատումների նվազագույն քանակը, որին կարելի է հասնել գրաֆը հարթության վրա պատկերելիս, կոչվում է գրաֆի [[խաչումների թիվ]]<ref>[[Խաչումների թիվ|Խաչումների թվի]] մասին [http://mathworld.wolfram.com/GraphCrossingNumber.html Wolfram MathWorld-ում]</ref>:։ Հարթ գրաֆների խաչումների թիվը հավասար է զրոյի։ Հարթ գրաֆների հետազոտությունը, ինչպես տրված գրաֆի խաչումների թիվը հաշվելը գրաֆների տեսության հայտնի խնդիրներից են։ Գրաֆների պատկերման խնդիրները այլ մակերևույթների վրա (օրինակ՝ տոռերի) ուսումնասիրում է ''տոպոլոգիական գրաֆների տեսությունը'':։
 
==Գրաֆների տեսության խնդիրներ==
[[Պատկեր:Petersen Wagner minors.svg|thumb|360px| [[Պետերսենի գրաֆ]]ը հարթ չէ։ Այն պարունակում է ինչպես ''K''<sub>5</sub> մինոր (ձախից), այնպես էլ ''K''<sub>3,3</sub> մինոր (աջից): Պետերսենի գրաֆը պատկերված է փոքր գագաթներով և սև կողերով։ Դեղին գույնով նշված են մինորները։]]
 
Գրաֆների տեսության հետաքրքիր խնդիրներից է ''ենթագրաֆների իզոմորֆիզմի խնդիրը'', երբ տրված գրաֆում անհրաժեշտ է պարզել որոշակի [[ենթագրաֆ]]ի գոյությունը։ Այս խնդիրները կարևորվում են այն պատճառով, որ գրաֆների բազմաթիվ հատկանիշներ (հարթ լինելը, երկկողմանի լինելը և այլն) ''ժառանգական'' են ենթագրաֆների նկատմամբ, այսինքն տրված գրաֆը բավարարում է այդ հատկությանը այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա բոլոր ենթագրաֆները ևս բավարարում են նույն հատկությանը։ Սակայն, որոշակի ենթագրաֆների գոյությունը պարզելը հաճախ բարդ խնդիր է։ Մասնավորապես, տրված գրաֆում ամենամեծ [[լրիվ|լրիվ գրաֆ]] ենթագրաֆի գտնելը [[NP-լրիվ խնդիր]] է<ref>Մեծագույն լրիվ ենթագրաֆի հզորությունը կոչվում է clique number: Ավելի մանրամասն՝ [http://mathworld.wolfram.com/CliqueNumber.html Wolfram MathWorld: Clique Number]</ref>:։
 
Նման խնդիրներ դրվում են նաև [[ծնված ենթագրաֆ]]ների համար։ Այս խնդիրներն էլ հաճախ բարդ են։ Օրինակ, տրված գրաֆում մեծագույն [[անկախ բազմություն]] գտնելու խնդիրը (այսինքն, մեկուսացված գագաթներով ծնված ենթագրաֆ գտնելը) նույնպես NP-լրիվ է։
 
Հայտնի խնդիր է տրված գրաֆում որոշակի մինորների գոյության հարցը։ H գրաֆը կոչվում է G գրաֆի [[մինոր (գրաֆների տեսություն)|'''մինոր''']], եթե այն ստացվում է G-ից գագաթներ և կողեր հեռացնելով, ինչպես նաև կողեր [[կծկելով]]:։ Գրաֆների շատ հատկանիշներ ժառանգական են մինորների նկատմամբ, որոնցից թերևս ամենահայտնին գրաֆի հարթ լինելու պայմանն է։ [[Վագների թեորեմ]]ը պնդում է, որ գրաֆը հարթ է այն և միայն դեպքում, երբ այն չի պարունակում <math>K_{3,3}</math> [[լրիվ երկկողմանի գրաֆ]]ը և <math>K_5</math> լրիվ գրաֆը որպես մինոր։
 
=== Գրաֆների ներկումներ ===
[[Պատկեր:Petersen graph 3-coloring.svg|thumb|right|[[Պետերսենի գրաֆ]]ի ճիշտ գագաթային ներկում 3 գույներով։ Ավելի քիչ գույներով ճիշտ ներկում կառուցել հնարավոր չէ]]
Գրաֆների տեսության բազմաթիվ խնդիրներում գրաֆի տարբեր տարրերին (կող, գագաթ և այլն) համապատասխանեցվում են ''գույներ'' կամ թվեր։ Այդպիսի արտապատկերումները գրաֆի տարրերից թվերին կոչվում են [[գրաֆների ներկումներ|'''ներկումներ''']]:։
==== Գագաթային ներկումներ ====
''Ճիշտ գագաթային ներկման'' դեպքում գագաթներին համապատասխանեցվում են գույներ (թվեր) այնպես, որ հարևան գագաթների գույները լինեն տարբեր։ Ակնհայտորեն, բոլոր գրաֆները ունեն այդպիսի ներկումներ, քանի որ կարելի է ամեն գագաթին համապատասխանեցնել մի նոր վվգույն։ Սակայն խնդիր է առաջանում գտնել գույների ամենափոքր թիվը, որոնցով կարելի է ապահովել ճիշտ գագաթային ներկում։ Այդ թիվը կոչվում է գրաֆի [[քրոմատիկ թիվ]]:։ Դրա որոշումը NP-լրիվ խնդիր է<ref>[[քրոմատիկ թիվ|Քրոմատիկ թվի]] մասին [http://mathworld.wolfram.com/ChromaticNumber.html Wolfram MathWorld-ում]</ref>, սակայն հայտնի են բազմաթիվ գնահատականներ։ Օրինակ, ըստ [[Բրուքսի թեորեմ]]ի<ref>[[Բրուքսի թեորեմ]]ը [http://mathworld.wolfram.com/BrooksTheorem.html Wolfram MathWorld-ում]</ref>, գրաֆի քրոմատիկ թիվը չի գերազանցում գրաֆի առավելագույն աստիճանը, բացառությամբ [[ցիկլ (գրաֆների տեսություն)|ցիկլերի]] և լրիվ գրաֆների։
 
[[Պատկեր:World map with four colours.svg|thumb|Աշխարհի քարտեզը ներկված չորս գույներով․ հարևան երկրները տարբեր գույներով են։ [[Չորս գույների թեորեմ]]ի համաձայն, ցանկացած քարտեզ ունի այսպիսի ներկում]]
 
==== Կողային ներկումներ ====
Երբ գագաթների փոխարեն ներկվում են կողերը և պահանջ է դրվում, որ կից կողերը ունենան տարբեր գույներ, այդպիսի ներկումը կոչվում է ''ճիշտ կողային ներկում'':։ Ճիշտ կողային ներկման դեպքում նվազագույն գույների քանակը կոչվում է գրաֆի [[քրոմատիկ դաս]], որը հաշվելը ևս NP-լրիվ խնդիր է։ [[Վիզինգի թեորեմ]]ի համաձայն, քրոմատիկ դասը կարող է հավասար լինել գրաֆի առավելագույն աստիճանին, կամ դրանից մեծ լինել ճիշտ մեկով։
 
Գրաֆի ճիշտ կողային ներկումը համարժեք է գրաֆի [[կողային գրաֆ]]ի ճիշտ գագաթային ներկմանը։
 
Ինչպես գագաթային, այնպես էլ կողային ներկումների համար սահմանվում են '''ցուցակային ներկումներ''', երբ յուրաքանչյուր գագաթի (կողի) համապատասխանեցվում է գույների ցուցակ, որտեղից անհրաժեշտ է ընտրել գույներ այնպես, որ ստացված ներկումը լինի ճիշտ։ [[Կողային ցուցակային ներկման հիպոթեզ]]ի համաձայն, ցանկացած օղակ չպարունակող մուլտիգրաֆի համար կողային ցուցակային քրոմատիկ թիվը պետք է հավասար լինի գրաֆի քրոմատիկ դասին։ Այս խնդիրը ևս լուծված չէ<ref>[[Կողային ցուցակային ներկման հիպոթեզ]]ը [http://www.openproblemgarden.org/?q=node/2110 Open Problem Garden-ում]</ref>:։
 
==== Տոտալ ներկումներ ====
Ներկումը կոչվում է ''տոտալ'', երբ ներկվում են ինչպես գագաթները, այնպես էլ կողերը։ Այս ոլորտի ամենահայտնի խնդիրը [[տոտալ ներկման հիպոթեզ]]ն է, որը ձևակերպվել է Վիզինգի և Բեհզադի կողմից 1965 թ․ և մինչ այժմ լուծված չէ<ref>[[Տոտալ ներկման հիպոթեզ]]ը [http://www.openproblemgarden.org/op/behzads_conjecture Open Problem Garden-ում]</ref>:։
 
=== Շրջանցումներ ===
[[Պատկեր:Konigsberg bridges.png|thumb|Քյոնիգսբերգ քաղաքի քարտեզը Էյլերի ապրած ժամանակաշրջանում, որտեղ հստակ երևում են յոթ կամուրջները]]
Գրաֆների տեսության առաջացումը կապվում է [[Էյլեր]]ի 1741 թվականին տպագրած հոդվածի հետ, որտեղ քննարկվում էր հետևյալ խնդիրը․ հնարավո՞ր է անցնել Քյոնիգսբերգ քաղաքի (այժմ՝ [[Կալինինգրադ]], [[Ռուսաստան]]) 7 կամուրջներով, յուրաքանչյուրով ճիշտ մեկ անգամ<ref>[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E053.html The Euler Archive] Էյլերի հոդվածի բնօրինակ տեքստը [[լատիներեն]]ով և մի շարք օգտակար հղումներ</ref>:։ Էյլերը ցույց տվեց, որ դա հնարավոր չէ։ Եթե քաղաքի գետերով բաժանված հատվածները դիտարկվեն որպես գրաֆի գագաթներ, իսկ կամուրջները՝ կողեր, ապա այս խնդիրը համարժեք է գրաֆում այնպիսի շղթայի գոյությանը, որն անցնում է բոլոր կողերով ճիշտ մեկ անգամ։ Այդպիսի շղթան կոչվում է '''Էյլերյան շղթա''':։ Ըստ [[Էյլերի թեորեմ]]ի, Քյոնիգսբերգին համապատասխանող գրաֆում այդպիսի շղթա չի կարող գոյություն ունենալ։ Գրաֆում Էյլերյան շղթայի, ինչպես նաև էյլերյան ցիկլի (երբ շրջանցման սկիզբն ու վերջը համընկնում են) գոյությունը կարելի է պարզել բազմանդամային ժամանակում։
 
Էապես ավելի բարդ խնդիր է [[Համիլտոնյան ցիկլ]]ի գոյության խնդիրը։ Այս դեպքում պահանջվում է, որ ցիկլը անցնի յուրաքանչյուր գագաթով ճիշտ մեկ անգամ։ Գրաֆում համիլտոնյան ցիկլի գոյության համար հայտնի են բազմաթիվ բավարար պայմաններ։ Սակայն ընդհանուր դեպքում խնդիրը NP-լրիվ է նույնիսկ հարթ գրաֆների համար, որոնց առավելագույն աստիճանը երեք է<ref>{{citation
| pages = 47–63
| title = Proc. 6th ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '74)
| year = 1974}}.</ref>:։
 
== Ծանոթագրություններ ==