«Մասնակից:Dminasyan/Ավազարկղ-մաթ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Առանց խմբագրման ամփոփման
== Կրամերի մեթոդ ==
Բանաձևեր
 
'''Կրամերի մեթոդը''' [[գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ]]ի լուծման մեթոդ է, որում հավասարումների թիվը համընկնում է ոչզրոյական մատրիցայի գործակիցների համակարգի գլխավոր [[մատրիցայի որոշիչ|որոշիչ]]ին, ընդ որում այդպիսի հավասարումների լուծումը գոյություն ունի և միակն է)<ref>{{cite web
H<sub>2</sub>O
| title = Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques
| author = Cramer, Gabriel
| year = 1750
| location = Geneva
|lang=fr
| url = http://www.europeana.eu/resolve/record/03486/E71FE3799CEC1F8E2B76962513829D2E36B63015
| accessdate = 2012-05-18
| publisher = Europeana
| pages = 656–659
}}</ref>։
 
== Մեթոդի նկարագրությունը ==
2մ x 6մ x 3մ = 36 մ <sup>3</sup>
<math>n</math> անհայտով <math>n</math> գծային հավասարումների համակարգի համար
: <math>\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\
\end{cases}</math>
 
համակարգի ոչզրոյական <math> \Delta </math> մատրիցայի որոշիչով, լուծումը գրվում է հետևյալ տեսքով՝
: <math>x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix}
a_{11} & \ldots & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & \ldots & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n-1,1} & \ldots & a_{n-1,i-1} & b_{n-1} & a_{n-1,i+1} & \ldots & a_{n-1,n} \\
a_{n1} & \ldots & a_{n,i-1} & b_n & a_{n,i+1} & \ldots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}</math>
(համակարգի մատրիցայի <math>i</math>-րդ սյունը փոխարինվում է ազատ անդամների սյունքվ)։
Մեկ այլ ձևով Կրամերի կանոնը ձևակերպվում է հետևյալ տեսքով՝ ցանկացած c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, …, c<sub>n</sub> գործակիցների համար իրավացի է հետևյալ հավասարությունը՝
: <math>(c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n)\cdot\Delta = -\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\
c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} & 0\\
\end{vmatrix}</math>
 
Այս ձևով Կրամերի մեթոդը իրավացի է առանց ենթադրության, որ <math>\Delta</math> զրոյից տարբեր է, նույնիսկ անհրաժեշտ չէ, որ համակարգի գործակիցները լինեն ամբողջական շրջանի էլեմենտներ (համակարգի որոշիչը կարող է լինել նույնիսկ գործակիցների շրջանում զրոյի բաժանարար)։ Կարելի է նույնիսկ ընդունել, որ <math>b_1,b_2,...,b_n</math> և <math>x_1,x_2,...,x_n</math>, կամ <math>c_1,c_2,...,c_n</math> կազմված են ոչ թե համակարգի գործակիցների շրջանի էլեմենտներից, այլ այդ շրջանի ինչ որ մոդուլը։ Այս տեսքով Կրամերի բանաձևը օգտագործվում է, օրինակ, Գրամի որոշիչի և Նակայամայի լեմմայի բանաձևերի ապացուցման համար։
2մ x 6մ x 3մ = 36 մ <math>^3</math>
 
== Օրինակ ==
<math> \sqrt[3]{x^2-3x+1} </math>
Իրական գործակիցներով հավասարումների համակարգ՝
: <math>\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\
\end{cases}</math>
 
[[Որոշիչ]]ներ՝
<math> \mbox{abc}_\mathrm{def} </math>
:<math>\Delta=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ </math>
:<math>
\Delta_2=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 \\
\end{vmatrix}</math>
 
Որոշիչներում գործակիցների սյունը համապատասխան անհայտով փոխարինվում է համակարգի ազատ անդամների սյունով:
<math> H_2 O </math>
 
Լուծում՝
<math>a(1 + e^2 / 2)</math>
: <math>x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}</math>
 
Օրինակ՝
<math>A \xleftarrow{n+\mu-1} B \xrightarrow[T]{n\pm i-1} C</math>
: <math>\begin{cases}
2x_1 + 5x_2 + 4x_3 = 30\\
x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 150\\
2x_1 + 10x_2 + 9x_3 = 110\\
\end{cases}</math>
 
Որոշիչներ՝
: <math>\Delta=\begin{vmatrix}
2 & 5 & 4 \\
1 & 3 & 2 \\
2 & 10 & 9 \\
\end{vmatrix}=5,\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\
110 & 10 & 9 \\
\end{vmatrix}=-760,\ \ </math>
 
: <math>
\Delta_2=\begin{vmatrix}
2 & 30 & 4 \\
1 & 150 & 2 \\
2 & 110 & 9 \\
\end{vmatrix}=1350,\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
2 & 5 & 30 \\
1 & 3 & 150 \\
2 & 10 & 110 \\
\end{vmatrix}=-1270.</math>
<math>x_1=-\frac{760}{5}=-152,\ \ x_2=\frac{1350}{5}=270,\ \ x_3=-\frac{1270}{5}=-254</math>
 
== Հաշվարկային բարդություն ==
Կրամերի մեթոդը պահանջում է <math>n\times n</math> չափի <math>n+1</math>-րդ որոշիչի հաշվում։ Գաուսի մեթոդի կիրառման դեպքում որոշիչների հաշվարկի համար գումարման և բազմապատկման գործողությունների պարզ էլեմենտար բարդության մեթոդը ունի <math>O(n^4)</math> կարգ, որը ավելի բարդ է, քան Գաուսի մեթոդով համակարգի ուղիղ լուծման դեպքում։ Այդ իսկ պատճառով, հաշվարկի համար ժամանակի ծախսատարության տեսանկյունից, համարվում է ոչնպատակահարմար։ Սակայն 2010 թվականին ցույց է տրվել, որ Կրամերի մեթոդը կարող է իրականացվել <math>O(n^3)</math> բարդությամբ, որը համեմատելի է Գաուսի մեթոդի բարդությանը]]<ref>''Ken Habgood and Itamar Arel.'' 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)</ref>։
== Գրականություն ==
* ''Ի․Ա․ Մացև''։ Գծային հանրահաշվի հիմունքները։ — 3-րդ հրատ․, վերամշակված, Մոսկվա, «Նաուկա», 1970 թվական — 400 էջ
 
== Տես նաև ==
* [[Գաուսի մեթոդ]]
 
== Ծանոթագրություն ==
{{Ծանցանկ}}
 
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]]
[[Կատեգորիա:Որոշիչներ]]
2278

edits