Վիքիպեդիա

«Բաժանելիություն»–ի խմբագրումների տարբերություն

Դիտել պատմությունը
← Նախորդ տարբՀաջորդ տարբ →
Content deleted Content added
ՎիզուալԵլատեքստ
Հետ է շրջվում 7059411 խմբագրումը, որի հեղինակն է՝ Lusine Avetisyan A (քննարկում) մասնակիցը
Պիտակ՝ Հետ շրջել
No edit summary
Տող 1.
'''ԲաժանելիությունըԲաժանելիություն''', հանրահաշվի[[թվաբանություն|թվաբանության]] և [[թվերի տեսության՝տեսություն|թվերի բաժանմանտեսության]] գործողությանհիմնական հետհասկացություններից մեկը՝ կապված հիմնական[[Բաժանում հասկացություններից(մաթեմատիկա)|բաժանման է։գործողության]] հետ: [[Բազմությունների տեսություն|Բազմությունների տեսության]] տեսակետիցտեսանկյունից ամբողջ թվերի բաժանելիությունը ամբողջհանդիսանում թվերիէ բազմության[[Հարաբերություն վրա(բազմությունների տեսություն)|հարաբերություն]]՝ որոշված հարաբերություն[[Ամբողջ է։թիվ|ամբողջ թվերի]] բազմության վրա:
 
== Սահմանում ==
Եթե որևէ a և b թվերի համար գոյություն ունի այնպիսի q թիվ, որ a=bq, ապա ասում են, որ a թիվը բաժանվում է b֊ի, կամ b֊ն բաժանում է a֊ն։▼
Այդ դեպքում b թիվը կոչվում է a թվի բաժանարար, a բաժանելին bթվի բազմապատիկն է, իսկ q թիվը կոչվում է բաժանումից ստացված քանորդ<ref>Թվերի տեսություն</ref>։
 
▲Եթե որևէ <math>a</math> և <math>b</math> [[ամբողջ թիվ|ամբողջ թվերի]] համար գոյություն ունի այնպիսի <math>q</math> ամբողջ թիվ, որ a=<math>bq=a</math>, ապա ասում են, որ <math>a</math> թիվը '''առանց մնացորդի բաժանվում է''' b֊ի,<math>b</math> կամթվի b֊նվրա բաժանումկամ՝ <math>b</math> թիվը '''տրոհում է''' a֊ն։<math>a</math> թիվը:
== Այլ սահմանումներ ==▼
* [[1 (թիվ)|մեկից]] մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի նվազագունը երկու բաժանարար՝ մեկը և այդ թիվն ինքը։ Ընդ որում, ճիշտ երկու բաժանարար ունեցող բնական թվերը կոչվում են [[պարզ թիվ|պարզ]], իսկ երկուսից ավելի բաժանարար ունեցողները՝ [[բաղադրյալ թիվ|բաղադրյալ]]: Մեկն ունի միայն մեկ բաժանարար և համարվում է ոչ պարզ, ոչ բաղադրյալ թիվ։▼
* 1-ից մեծ ցանկացած բնական թիվ ունի գոնե մեկ պարզ բաժանարար։▼
* Թվի ''սեփական բաժանարար'' կոչվում է այդ թվից տարբեր իր ցանկացած բաժանարարը։ Պարզ թիվն ունի մեկ սեփական բաժանարար՝ 1-ը։▼
* Անկախ <math>a</math> ամբողջ թվի բաժանելիությունից <math>b\ne 0</math> թվի վրա, ''a'' թիվը միշտ կարելի է [[Մնացորդով բաժանում|բաժանել ''b''-ի մնացորդով]], այսինքն՝ ներկայացնել▼
<math>a=b\,q + r,</math> տեսքով <math>0 \leqslant r < |b|</math>:▼
Այստեղ <math>q</math> թիվը կոչվում է [[թերի քանորդ]], իսկ ''r'' թիվը՝ — <math>a</math>-ն <math>b</math>-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ։ Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միանշանակորեն։▼
* Յուրաքանչյուր թիվ, որի վրա բաժանվում են և <math>a</math> և <math>b</math> թվերը, կոչվում է նրանց '''ընդհանուր բաժանարար'''; դրանցից մեծագույնը՝ [[ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար]]: [[Ամբողջ թիվ|Ամբողջ թվերի]] ցանկացած զույգ ունի նվազագույնը երկու ընդհանուր բաժանարար՝ +1 և -1 : Եթե այլ ընդհանուր բաժանարար չունեն, ապա այդ թվերը կոչվում են փոխադարձաբար պարզ թվեր։▼
 
Ընդ որում <math>b</math> թիվը կոչվում է <math>a</math> թվի '''[[Բաժանարար|բաժանարար]]''', <math>a</math> թիվը՝ '''[[բաժանելին]]''', հանդիսանում է <math>b</math> թվի '''բազմապատիկ''', իսկ <math>q</math> թիվը կոչվում է <math>a</math> թիվը <math>b</math> թվի վրա բաժանելու արդյունքում ստացված '''[[Բաժանում (մաթեմատիկա)|քանորդ]]''':
=== Նշանակումներ ===▼
* <math>a\,\vdots\, b</math> նշանակում է, որ <math>a</math> թիվը բաժանվում է <math>b</math>-ի վրա կամ <math>a</math> թիվը ''բազմապատիկ '' է <math>b</math>-ին։▼
* <math>b\mid a</math> կամ <math>b\setminus a</math> նշանակում է, որ <math>b</math> -ն ''բաժանում է'' <math>a</math>-ն, կամ որ նույնն է՝ <math>b</math> — ն <math>a</math> -ի բաժանարար է։▼
 
Թեև բաժանելիության հատկությունը սահմանված է [[Ամբողջ թվերի բազմություն|ամբողջ թվերի բազմության]] վրա, սովորաբար դիտարկվում է միայն [[Բնական թիվ|բնական թվերի]] բաժանելիությունը: Մասնավորապես, բնական թվի [[Բաժանարարների քանակ|բաժանարարների քանակի]] [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիան]] հաշվում է նրա միայն դրական բաժանարարները:
== Հատկություններ ==▼
: ''Դիտողություն .'' այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ <math>a,\,b,\,c</math> թվերն ամբողջ են:▼
 
▲=== Նշանակումներ ===
* Ցանկացած ամբողջ թիվ [[0 (թիվ)|զրոյի]] բաժանարար է և քանորդը հավասար է 0-ի։▼
▲* <math>a\,\vdots\, b</math> նշանակում է, որ <math>a</math> թիվը '''բաժանվում է''' <math>b</math>-ի թվի վրա, կամ՝ կամոր <math>a</math> թիվը ''բազմապատիկ '' է <math>b</math>-ին։ թվի '''բազմապատիկն է''':
:<math>\quad0\,\vdots\,a</math>▼
 
▲* <math>b\mid a</math> կամ <math>b\setminus a</math> նշանակում է, որ <math>b</math> -նթիվը ''բաժանում'տրոհում է''' <math>a</math>-ն թիվը, կամ, որ նույնն է՝ <math>b</math> —թիվը ն <math>a</math> -իթվի բաժանարար'''բաժանարարն է։է''':
* Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է 1-ի.▼
:<math>\quad a\,\vdots\,1</math>▼
 
▲== ԱյլԱռնչվող սահմանումներ ==
* 0-ի վրա բաժանվում է միայն 0-ն .▼
▲* [[1 (թիվ)|մեկիցՄեկից]] մեծ յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի նվազագունըառնվազն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և այդնույն թիվն ինքը։թիվը: Ընդ որումորում՝ այն բնական թվերը, որոնք ունեն ճիշտ երկու բաժանարար ունեցող բնական թվերը, կոչվում են '''[[պարզ թիվ|պարզ]]''', իսկ երկուսից ավելի բաժանարարբաժանարարներ ունեցողները՝ '''[[բաղադրյալ թիվ|բաղադրյալ]]''' թվեր: ՄեկնՄեկ թիվն ունի միայն մեկ բաժանարար և համարվումչի էհանդիսանում ոչո՛չ պարզ, ոչո՛չ բաղադրյալ թիվ։:
:<math>a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0</math>,▼
▲* <math>1</math>-ից մեծ ցանկացածյուրաքանչյուր բնական թիվ ունի գոնե մեկ [[պարզ բաժանարար։բաժանարար]]:
ընդ որում քանորդն այս դեպքում որոշված չէ։▼
▲* Թվի '''սեփական բաժանարար'' կոչվում' է կոչվում այդ թվիցթվի՝ իրենից տարբեր իր ցանկացած բաժանարարը։բաժանարար: Պարզ թիվնթվերն ունիունեն միայն մեկ սեփական բաժանարար՝ 1-ը։մեկ թիվը:
▲* Անկախ <math>a</math> ամբողջ թվի բաժանելիությունիցթվի՝ <math>b\ne 0</math> ամբողջ թվի վրա բաժանելիությունից, ''<math>a''</math> թիվը միշտ կարելի է [[Մնացորդով բաժանում|մնացորդով բաժանել ''<math>b''-ի</math> մնացորդովթվի վրա]], այսինքն՝ ներկայացնել հետևյալ տեսքով.
▲*: <math>a=b\,q + r,</math> տեսքովորտեղ <math>0 \leqslant r < |b|</math>:
▲Այստեղ: Այս առնչության մեջ <math>q</math> թիվը կոչվում է [[Թերի քանորդ|'''թերի քանորդ''']], իսկ ''<math>r''</math> թիվը՝ — <math>a</math>-ն թիվը <math>b</math>-ի թվի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ։'''մնացորդ''': Ինչպես քանորդը, այնպես էլ մնացորդը որոշվում են միանշանակորեն։միարժեքորեն:
: <math>a</math> թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է <math>b</math> թվի վրա միայն այն դեպքում, երբ <math>a</math> թիվը <math>b</math> թվի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է 0-ի:
▲* ՅուրաքանչյուրՑանկացած թիվ, որի վրա բաժանվում են ևինչպես <math>a</math>, ևայնպես էլ <math>b</math> թվերը, կոչվում է նրանց '''ընդհանուր բաժանարար''';, դրանցիցայդ մեծագույնը՝թվերից մեծագույնը կոչվում է '''[[ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար]]: [[Ամբողջ թիվ|Ամբողջամենամեծ թվերիընդհանուր բաժանարար]]''': ցանկացածՑանկացած զույգթվազույգ ունի նվազագույնըառնվազն երկու ընդհանուր բաժանարար՝ <math>+1</math> և <math>-1 </math>: Եթե այլ ընդհանուր բաժանարարբաժանարարներ չունենչկան, ապա այդ թվերը կոչվում են փոխադարձաբար'''[[Փոխադարձ պարզ թվեր։թվեր|փոխադարձ պարզ]]''':
* Երկու <math>a</math> և <math>b</math> ամբողջ թվեր կոչվում են '''հավասարապես բաժանելի''' <math>m</math> ամբողջ թվի վրա, եթե և՛ <math>a</math> թիվը, և՛ <math>b</math> թիվը բաժանվում է <math>m</math> թվի վրա, կամ ո՛չ <math>a</math> թիվը, և ո՛չ էլ <math>b</math> թիվը չի բաժանվում նրա վրա:
* Ասում են, որ <math>a</math> թիվը <math>b</math> թվի '''բազմապատիկ''' է, եթե <math>a</math> թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է <math>b</math> թվի վրա: Եթե <math>c</math> թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է <math>a</math> և <math>b</math> թվերի վրա, ապա այն կոչվում է այդ թվերի '''ընդհանուր բազմապատիկ''': Այդպիսի ամենափոքր բնական թիվը կոչվում է <math>a</math> և <math>b</math> թվերի '''[[Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ|ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ]]''':
 
▲== Հատկություններ ==
* Մեկը բաժանվում է միայն 1-ի.▼
▲: ''Դիտողություն Նշում.'' այս բաժնի բոլոր բանաձևերում ենթադրվում է, որ <math>a,\,b,\,c</math> թվերն ամբողջ թվեր են:
:<math>1\,\vdots\,a\quad\Rightarrow\quad a = \pm 1</math>
▲* Ցանկացած ամբողջ թիվ հանդիսանում է [[0 (թիվ)|զրոյի]] բաժանարար է, և քանորդը հավասար է 0-ի։զրոյի.
 
▲: <math>\quad0\,\vdots\,a:</math>
* Ցանկացած <math>a \ne 0</math> ամբողջ թվի համար գոյություն ունի այնպիսի <math>b \ne a </math> թիվ, որի համար <math>b\,\vdots\,a </math>▼
▲* Ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է 1-իմեկի.
* Եթե <math>a\,\vdots\,b</math> և <math>\left|b\right| > \left|a\right|,</math> ապա <math>a\,=\,0:</math> Այստեղից հետևում է, որ եթե <math>a\,\vdots\,b</math> և <math>a \ne 0</math> ապա <math>\left|a\right| \geqslant \left|b\right|:</math>▼
▲: <math>\quad a\,\vdots\,1:</math>
* Որպեսզի <math>a\,\vdots\,b</math> անհրաժեշտ է և բավարար, որ <math>\left|a\right| \vdots \left|b\right|: </math>▼
▲* 0-իԶրոյի վրա բաժանվում է միայն 0-ն զրոն.
* Եթե <math>a_1\,\vdots\,b,\,a_2\,\vdots\,b,\,\dots,\,a_n\,\vdots\,b,</math> ապա <math>\left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right)\,\vdots\,b.</math>▼
▲: <math>a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0</math>, ընդ որումորում՝ քանորդն այս դեպքում որոշված չէ։չէ:
* Բաժանելիության հայտանիշը.▼
▲* Մեկը բաժանվում է միայն 1-իմեկի վրա.
** [[Ռեֆլեքսիվություն|ռեֆլեքսիվ է]], այսինքն՝ ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է իր վրա. <math>\quad a\,\vdots\,a </math>▼
▲: <math>a1\,\vdots\,0a\quad\Rightarrow\quad a = 0\pm 1:</math>,
** [[Տրանզիտիվություն|տրանզիտիվ է]], այսինքն՝ եթե <math>a\,\vdots\,b</math> և <math>b\,\vdots\,c,</math> ապա <math>a\,\vdots\,c </math>▼
▲* Ցանկացած <math>a \ne 0</math> ամբողջ թվի համար գոյություն ունիկգտնվի այնպիսի <math>b \ne a ,</math> ամբողջ թիվ, որի համարդեպքում <math>b\,\vdots\,a :</math>
** [[Հակասիմետրիկ հարաբերություն|հակասիմետրիկ է]], այսինքն՝ եթե <math>a\,\vdots\,b</math> և <math>b\,\vdots\,a,</math> ապա կամ <math>a\,=\,b,</math> կամ <math>a\,=\,-b:</math>▼
▲* Եթե <math>a\,\vdots\,b</math> և <math>\left|b\right| > \left|a\right|,</math> ապա <math>a\,=\,0:</math> Այստեղից էլ հետևում է, որ եթե <math>a\,\vdots\,b</math> և <math>a \ne 0,</math> ապա <math>\left|a\right| \geqslant \left|b\right|:</math>
▲* Որպեսզի <math>a\,\vdots\,b,</math> անհրաժեշտ է և բավարար, որ <math>\left|a\right| \vdots \left|b\right|: </math>
▲* Եթե <math>a_1\,\vdots\,b,\,a_2\,\vdots\,b,\,\dots,\,a_n\,\vdots\,b,</math> ապա <math>\left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right)\,\vdots\,b.:</math>
* Բնական թվերի բաժանելիության առնչությունը հանդիսանում է [[Կարգի հարաբերակցություն|ոչ խիստ կարգի հարաբերակցություն]], և մասնավորաբար, այն
▲** [[ՌեֆլեքսիվությունԱնդրադարձականություն|ռեֆլեքսիվ էանդրադարձական]] է, այսինքն՝ ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է ինքն իր վրա. <math>\quad a\,\vdots\,a :</math>
▲** [[ՏրանզիտիվությունՓոխանցականություն|տրանզիտիվ էփոխանցական]] է, այսինքն՝ եթե <math>a\,\vdots\,b</math> և <math>b\,\vdots\,c,</math> ապա <math>a\,\vdots\,c :</math>
▲** [[Հակասիմետրիկ հարաբերությունառնչություն|հակասիմետրիկ է(հակահամաչափ)]] է, այսինքն՝ եթե <math>a\,\vdots\,b</math> և <math>b\,\vdots\,a,</math> ապա կամ <math>a\,=\,b,</math> կամ <math>a\,=\,-b:</math>
:: Ամբողջ թվերի համակարգում բավարարվում են այս երեք հատկություններից առաջին երկուսը; օրինակ՝ <math>2\,\vdots\,-2</math> և <math>-2\,\vdots\,2,</math> սակայն <math>2 \ne -2:</math>
 
== Բաժանարարների քանակը ==
<math>n</math> բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը, որը սովորաբար նշանակվում է՝է <math>\tau(n),</math>, մուլտիպլիկատիվհանդիսանում (արտադրյալային)է [[բազմապատկական ֆունկցիա|բազմապատկական էֆունկցիա]], նրա համար ճիշտճշմարիտ է Դիրիխլեյի[[Դիրիխլեի]] [[Ասիմպտոտիկ գնահատական|ասիմպտոտիկ]] բանաձևը.▼
 
: <math>\sum_{n=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right),:</math>▼
▲<math>n</math> բնական թվի դրական բաժանարարների քանակը սովորաբար նշանակվում է՝ <math>\tau(n)</math>, մուլտիպլիկատիվ (արտադրյալային) ֆունկցիա է, նրա համար ճիշտ է Դիրիխլեյի բանաձևը
 
Այստեղ <math>\gamma</math>-ն՝ [[Էյլեր — Մասկերոնիի հաստատունն]] է, իսկ <math>\theta</math>-ի համար Դիրիխլեն ստացել է <math>\frac{1}{2}</math> արժեքը: Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, և ներկայումս հայտնի ամենալավ արդյունքն է՝ <math>\theta=\frac{131}{416}</math> (2003 թվականին ստացել է Հաքսլին): Սակայն, <math>\theta</math>-ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այդ բանաձևը կլինի ճշմարիտ, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր չէ, քան <math>\frac{1}{4}</math>)<ref>{{книга |автор=А. А. Бухштаб |заглавие=Теория чисел |место=М. |издательство=Просвещение |год=1966 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu}}</ref><ref>{{книга|заглавие=Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия|часть=Аналитическая теория чисел|год=1977—1985|автор=И. М. Виноградов|язык=ru}}</ref><ref>{{MathWorld|DirichletDivisorProblem|Dirichlet Divisor Problem}}</ref>:
▲: <math>\sum_{n=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right),</math>
 
Ընդ որում՝ n մեծ թվի միջին բաժանարարն աճում է ինչպես <math>\frac{c_1 n}{\sqrt{\ln n}}</math>, ինչը հայտնաբերել է Ա. Կարացուբան<ref name="Arnold">{{книга|автор=В. И Арнольд|заглавие=Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа|место=М.|издательство=МЦНМО|год=2005|страниц=72|страницы=70}}</ref>: Մ. Կորոլյովի համակարգչային գնահատմամբ՝ <math>c_1=\frac{1}{\pi}\prod_p \left(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}} \ln\left(1+\frac{1}{p}\right)\right)\approx 0{,}7138067</math>:
որտեղ <math>\gamma</math> -ն Էյլեր-Մասկերոնի հաստատունն է, իսկ <math>\theta</math> -ի համար Դիրիխլեն ստացել է <math>\frac{1}{2}</math> արժեքը։
 
== Ընդհանրացումներ ==
Այս արդյունքը բազմակի մշակվել է, այժմ հայտնի լավագույն արդյունքն է՝ <math>\theta=\frac{131}{416}</math> (ստացվել է 2003 թ.)
Բաժանելիության հասկացությունը ընդհանրացվում է կամայական [[օղակ (մաթեմատիկա)|օղակների]] վրա, օրինակ՝ [[գաուսյան ամբողջ թվեր]]ը կամ [[բազմանդամների օղակ]]ը:
 
Սակայն, <math>\theta</math> -ի փոքրագույն արժեքը, որի դեպքում այս բանաձևը ճիշտ է, հայտնի չէ (ապացուցված է, որ այն փոքր է, քան <math>\frac{1}{4}</math>)
 
== Տես նաև ==
* [[Բաժանում (մաթեմատիկա)]]
{{տես|Բաժանելիության հայտանիշներ}}
{{տես|* [[Մնացորդով բաժանում}}]]
▲* [[Բաժանելիության հայտանիշը.հայտանիշներ]]
* [[Օղակ (մաթեմատիկա)]]
 
== Ծանոթագրություններ ==
Տող 63 ⟶ 68՝
 
== Գրականություն ==
* ''Виноградов И. М.'' [http://math.ru/lib/book/djvu/vinogradov.djvu Основы теории чисел.] М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
* ''{{книга |автор=Воробьев &nbsp;Н. &nbsp;Н.'' [|заглавие=Признаки делимости |ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a39.htm Признаки|серия=Популярные делимости]лекции по математике |том=38 |издание=4-е изд.- |место=М.: |издательство=Наука, |год=1988 т.38|страниц=94 |isbn=5-02-013731-6 }}
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |место = М. |издательство = Педагогика |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Делимость |страницы = 95}}
 
== Արտաքին հղումներ ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=SqJG-5qiaJ0&feature=channel_video_title Տեսանյութ բաժանելիության մասին]
{{Արտաքին հղումներ}}
 
[[Կատեգորիա:Թվերի տեսություն]]
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկական հարաբերություններ]]
[[Կատեգորիա:Թվաբանություն]]
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/wiki/Բաժանելիություն» էջից