«Դիֆերենցիալ հավասարումներ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
Տող 100.
:: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0</math>
== Լուծումների գոյությունը ==
Դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելը նման չէ հանրահաշվական հավասարումներ լուծելուն։ Բացի այն, որ նրանց լուծումները հաճախ պարզ չեն, այլև հարց է՝ արդյոք դրանք եզակի են, կամ առհասարակ գոյություն ունե՞ն։
Առաջին կարգի սկզբնական խնդիրների համար, Պիանոյի գոյության թեորեմը տալիս է պայմանների բազմությունը, երբ լուծում գոյություն ունի։ xy հարթության յուրաքանչյուր կետի համար {\displaystyle (a,b)}(a,b), սահմանեք որոշ ուղղանկյուն մակերես {\displaystyle Z}Z, այնպիսին, որ {\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}Z=[l,m]\times [n,p] և {\displaystyle (a,b)}(a,b) ընդգրկված է {\displaystyle Z}Z-ի մեջ։ If we are given a differential equation {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y)}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x,y) and the condition that {\displaystyle y=b}y=b when {\displaystyle x=a}x=a, then there is locally a solution to this problem if {\displaystyle g(x,y)}g(x,y) and {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}}{\frac {\partial g}{\partial x}} are both continuous on {\displaystyle Z}Z. This solution exists on some interval with its center at {\displaystyle a}a. The solution may not be unique. (See Ordinary differential equation for other results.)
However, this only helps us with first order initial value problems. Suppose we had a linear initial value problem of the nth order:
{\displaystyle f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)}f_{n}(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+f_{0}(x)y=g(x)
such that
{\displaystyle y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\cdots }y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\cdots
For any nonzero {\displaystyle f_{n}(x)}f_{{n}}(x), if {\displaystyle \{f_{0},f_{1},\cdots \}}\{f_{0},f_{1},\cdots \} and {\displaystyle g}g are continuous on some interval containing {\displaystyle x_{0}}x_{0}, {\displaystyle y}y is unique and exists.[14]
==
== Վերնագրի տեքստ ==
==
== Վերնագրի տեքստ ==
==
== Վերնագրի տեքստ ==
==
== Վերնագրի տեքստ ==
==
==
==
==
== Գրականություն ==
# [[:ru:Математическая энциклопедия|Математическая энциклопедия, M.: Советская энциклопедия, 1977]]
| |||