«Մաթեմատիկա»–ի խմբագրումների տարբերություն

Մ․ թ․ ա․ 600 և 300&nbsp; [[Հին հույներ]]ը սկսել էին մաթեմատիկայի համակարգված ուսումնասիրություն իրենց իսկ՝ [[Հունական մաթեմատիկա]]յով։յով<ref>"''[https://books.google.am/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA1&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140108012454/http://books.google.am/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA1&dq&hl=en |date=January 8, 2014 }}''". Thomas Little Heath (1981). {{isbn|0-486-24073-8}}</ref>։

''Մաթեմատիկա'' բառը սկիզբ է առնում [[հին հունարեն]] μάθημα (''máthēma'') բառից, որ նշանակաում է "այն, ինչ սերտած է",<ref>{{cite web |title=mathematic |publisher=[[Online Etymology Dictionary]] |url=http://www.etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0 |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130307093926/http://etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0 |archivedate=March 7, 2013 |df=mdy-all }}</ref> "այն, ինչ պետք է իմանալ", հետևաբար նաև "ուսում" և "գիտություն", և ժամանակակից հունարենով պարզապես "դաս"։ ''máthēma'' բառը ծագում է μανθάνω (''manthano''), ժամանակակից հունարենով՝ μαθαίνω (''mathaino'') բառից, երկուսն էլ նշանակում են "սովորել"։ Հունաստանում "մաթեմատիկա" բառն ավելի նեղ տեխնիկական "մաթեմատիկական ուսումնասիրություն" իմաստն ունի և ուներ նույնիսկ Դասական ժամանակաշրջանում։ժամանակաշրջանում<ref>Both senses can be found in Plato. {{LSJ|maqhmatiko/s|μαθηματική|ref}}</ref>։ Դրա ածականը՝ {{lang|grc|μαθηματικός}} (''mathēmatikós'') բառը, ունի "ուսմանը վերաբերող" կամ "աշխատասեր" իմաստները. այն հետագայում նաև "մաթեմատիկական" իմաստը ստացավ։ Մասնավորապես, {{lang|grc|μαθηματικὴ τέχνη}} (''mathēmatikḗ tékhnē''), {{lang-la|ars mathematica}}, նշանակում է "մաթարվեստ":

Լատիներենում և անգլերենում մինչ 1700-ականները ''մաթեմատիկա'' տերմինը ավելի շուտ "աստղագիտություն" էր նշանակում, քան "մաթեմատիկա". իմաստն աստիճանաբար փոխվեց ներկայիս նշանակությանը մոտավորապես 1500-ից 1800-ականներին։ Սա հանգեցրեց մի քանի սխալ թարգմանությունների․ վառ օրինակ է [[Ավրելիոս Օգոստինիոս|Սուրբ Օգոստինիոսի]]` աստղագետներին ուղղված տխրահռչակ նախազգուշացումը, որ քրիստոնjաները պետք է հեռու մնան ''մաթեմատիկայից'', նկատի ունենալով աստղագիտությունը, որը սխալմամբ հասկացվել էր որպես մաթեմատիկոսների դատապարտում։դատապարտում<ref name="Boas">{{cite book | title=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr. | publisher=Cambridge University Press | author=Boas, Ralph | authorlink=Ralph P. Boas Jr. | year=1995 | orig-year=1991 | pages=257 | chapter-url=https://books.google.am/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257 | chapter=What Augustine Didn't Say About Mathematicians}}</ref>։

[[Արիստոտել]]ը մաթեմատիկան սահմանում էր որպես «քանակի գիտություն», և այս սահմանումը գերակշռում էր մինչ 18-րդ դարը։դարը<ref name=Franklin>James Franklin, "Aristotelian Realism" in ''Philosophy of Mathematics'', ed. A.D. Irvine, [https://books.google.am/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104#v=onepage&q&f=false p. 104] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150906134402/https://books.google.am/books?id=mbn35b2ghgkC&pg=PA104 |date=September 6, 2015 }}. Elsevier (2009).</ref>։ 19-րդ&nbsp;դարից սկսած, երբ մաթեմատիկայի ուսումնասիրությունը խիստ աճեց և սկսեց վերաբերել այնպիսի աբստրակտ թեմաների, ինչպես [[խմբերի տեսություն]]ը և [[պրոյեկտիվ երկրաչափություն]]ն են, որոնք քանակի և չափման հետ հստակ առնչություն չունեն, մաթեմատիկոսներն ու փիլիսոփաները սկսեցին բազում նոր սահմանումներ առաջարկել։առաջարկել<ref name="Cajori">{{cite book |title=A History of Mathematics |publisher=American Mathematical Society (1991 reprint) |author=Cajori, Florian |authorlink=Florian Cajori |year=1893 |pages=[https://books.google.am/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 285–86] |isbn=0-8218-2102-4}}</ref>։ Այս սահմանումներից որոշները ընդգծում են մաթեմատիկայի դեդուկտիվ բնույթը, որոշները՝ վերացականությունը, որոշներն էլ ընդգծում են մաթեմատիկայի կոնկրետ թեմաներ։ Այսօր նույնիսկ մաթեմատիկոսների շրջանակում մաթեմատիկայի սահմանման միասնական կարծիք գոյություն չունի։չունի<ref name="Mura">{{cite journal |title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences |author=Mura, Roberta |journal=Educational Studies in Mathematics |date=Dec 1993 |volume=25 |issue=4 |pages=[https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01273907 375–385] |ref=harv |doi=10.1007/BF01273907 |jstor=3482762}}</ref>։ Նույնիսկ միասնական կարծիք չկա՝ մաթեմատիկան արդյոք արվեստ է, թե գիտություն<ref name="Runge">{{cite book |title=[[Iris Runge]]: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry |publisher=Springer |author1=Tobies, Renate |author2=Helmut Neunzert |lastauthoramp=yes |year=2012 |page=[https://books.google.am/books?id=EDm0eQqFUQ4C&pg=PA9 9] |isbn=3-0348-0229-3 |quote=[I]t is first necessary to ask what is meant by ''mathematics'' in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.}}</ref>: Շատ պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսներ հետաքրքրված չեն մաթեմատիկայի սահմանմամբ կամ համարում են, որ անհնար է այն սահմանել։<ref name=Mura/> Ոմանք պարզապես ասում են․ «Մաթեմատիկան այն է, ինչ մաթեմատիկոսներն անում են<ref name=Mura/>:»

Մաթեմատիկայի սահմանման երեք առաջատար տեսակներն են՝ [[լոգիցիզմ]], [[ինտուիցիոնիզմ]] և [[Ֆորմալիզմ (մաթեմատիկա)|ֆորմալիզմ]], որոնցից յուրաքանչյուրը պատկանում է փիլիսոփայական մտածողության տարբեր դպրոցների։դպրոցների<ref name=Snapper>{{Cite journal |doi=10.2307/2689412 |title=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism |journal=Mathematics Magazine |date=September 1979 |first=Ernst |last=Snapper |volume=52 |issue=4 |pages=207–16 |id= |jstor=2689412 |postscript=. |ref=harv}}</ref>։ Երեքն էլ լուրջ խնդիրներ ունեն, ոչ մեկը լայն տարածում չի ստացել, և հաշտեցումը թվում է անհնար։<ref name=Snapper/>

Մաթեմատիկայի վաղ սահմանումը տրամաբանական տերմիններով տրվել է [[Բենջամին Պերս]]ի «Գիտություն, որ անհրաժեշտ եզրակացություններ է անում» գրքում (1870)։<ref name="Peirce">{{cite book |title=Linear Associative Algebra |author=Peirce, Benjamin |authorlink=Benjamin Peirce |year=1882 |page=1 |url=https://books.google.am/books?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150906135700/https://books.google.am/books?id=De0GAAAAYAAJ&pg=PA1#v=onepage&q&f=false |archivedate=September 6, 2015 |df=mdy-all }}</ref>։ [[Բերտրան Ռասել|Բերտրան Ռասելը]] և [[Ալֆրեդ Նորթ Ուայտհեդ|Ալֆրեդ Նորթ Ուայտհեդը]] ''[[Principia Mathematica]]'' աշխատությունում առաջադրեցին փիլիսոփայական ծրագիր, հայտնի որպես [[լոգիցիզմ]], և փորձեցին ապացուցել, որ մաթեմատիկական բոլոր հասկացությունները, պնդումները և սկզբունքները կարող են սահմանվել և ապացուցվել [[ձևական տրամաբանություն|ձևական տրամաբանության]] տերմիններով։ Մաթեմատիկայի տրամաբանական սահմանումը Ռասելինն է․ «Ողջ Մաթեմատիկան ձևական տրամաբանություն է» (1903)։<ref name="Russell">Bertrand Russell, ''The Principles of Mathematics,'' [https://books.google.am/books?id=kj0a_aV2mxIC&pg=PA5#v=onepage&q&f=false p. 5] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150906132941/https://books.google.am/books?id=kj0a_aV2mxIC&pg=PA5 |date=September 6, 2015 }}. University Press, Cambridge (1903)</ref>։

Մաթեմատիկայի ֆորմալիստական սահմանումները այն ներկայացնում են սիմվոլներով և գործողություններ կատարելու կանոններով։ [[Հասկել Կարի]]ն մաթեմատիկան սահմանել էր պարզ՝ որպես «ֆորմալ համակարգերի գիտություն»։<ref name="Curry">{{cite book |title=Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics |publisher=Elsevier |author=Curry, Haskell |authorlink=Haskell Curry |year=1951 |page=[https://books.google.am/books?id=tZHrBQgp1bkC 56] |isbn=0-444-53368-0}}</ref>։ [[Ֆորմալ համակարգ]]ը սիմվոլների կամ ''տողերի'' և տողերից բանաձևեր կազմելու որոշ ''կանոնների'' բազմություն է։ Ֆորմալ համակարգերում ''աքսիոմ'' բառը հատուկ իմաստ ունի, որը տարբեր է «ինքնին ակնհայտ ճշմարտություն» սովորական իմաստից։ Ֆորմալ համակարգերում աքսիոմը տվյալ համակարգում ներառված տողերի կոմբինացիա է՝ առանց համակարգի կանոնների օգտագործման անհրաժեշտության։

Գերմանացի մաթեմատիկոս [[Կառլ Գաուս]]ը մաթեմատիկան անվանել է «Գիտությունների թագուհի»։<ref name="Waltershausen"/> Բոլորովին վերջերս [[Մարկուս դյու Սուտոյ]]ը մաթեմատիկան անվանել է «Գիտության թագուհի&nbsp;... գիտական հայտնագործությունների գլխավոր շարժիչ ուժը»։<ref>{{Cite episode |title=Nicolas Bourbaki |url=http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |access-date=26 October 2017 |series=A Brief History of Mathematics |first=Marcus |last=du Sautoy |station=BBC Radio 4 |date=25 June 2010 |time=min. 12:50 |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20161216050402/http://www.bbc.co.uk/programmes/b00stcgv |archivedate=December 16, 2016 |df=mdy-all }}</ref>։ Լատիներեն «Regina Scientiarum» բնօրինակում, ինչպես նաև գերմաներեն «Königin der Wissenschaften» տարբերակի դեպքում ''գիտություն'' բառը նշանակում է «գիտելիքի դաշտ», որը «գիտություն» բառի սկզբնական իմաստն էր անգլերենում: Այս իմաստով մաթեմատիկան նաև գիտելիքի դաշտ է։ Բեկոնի մեթոդի, որը հակադրում էր բնական գիտությունը [[սխոլաստիկա|սխոլաստիկային]] (Առաջին սկզբունքներում ներկայացված Արիստոտելի մեթոդ), զարգացմանը հետևեց «Գիտության» իմաստի սահմանափակումը ''[[բնական գիտության]]''։ Էմպիրիկ փորձարկումների և դիտարկումների դերը մաթեմատիկայում, համեմատած բնական գիտությունների՝ կենսաբանության, քիմիայի կամ ֆիզիկայի, աննշան է։ [[Ալբերտ Այնշտայն]]ը հայտարարել է. «Քանի որ մաթեմատիկայի օրենքներն իրականությանն են վերաբերում, դրանք հավաստի չեն. քանի որ դրանք ճշգրիտ են, ապա դրանք չեն վերաբերում իրականությանը<ref name=certain>Einstein, p. 28. The quote is Einstein's answer to the question: "How can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" This question was inspired by [[Eugene Wigner]]'s paper "[[The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences]]".</ref>»:

Շատ փիլիսոփաներ կարծում են, որ մաթեմատիկան փորձով հնարավոր չէ հերքել, և ուստի, ըստ [[Կարլ Փոփեր]]ի սահմանման, այն գիտություն չէ։չէ<ref>{{cite book |title=Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists |author1=Shasha, Dennis Elliot |author2=Lazere, Cathy A. |publisher=Springer |year=1998 |page=228}}</ref>։ Այնուամենայնիվ, 1930-ականներին [[Գյոդելի ոչ լրիվության թեորեմ]]ը շատ մաթեմատիկոսների համոզեց, որ մաթեմատիկան չի կարելի սեղմել մինչև միայն տրամաբանության, և Կարլ Փոփերը եզրակացրեց, որ "մաթեմատիկայի տեսությունների մեծ մասը, ինչպես [[ֆիզիկա]]ն և [[կենսաբանություն]]ը, [[հիպոթեզ|հիպոթետիկա]] –[[դեդուկցիա| դեդուկցիոն]] են։ Հետևաբար մաքուր մաթեմատիկան ավելի մոտ է բնական գիտություններին, որոնց հիպոթեզները ենթադրություններ են։"<ref>Popper 1995, p. 56</ref> Այլ մտածողներ, մասնավորապես [[Իմրե Լակատոս]]ը, հերքելիության տարբերակը կիրառել են հենց մաթեմատիկայում։{{cn|date = October 2017}}

Որոշ մաթեմատիկոսներ վերաբերում են միայն այն բնագավառին, որն այն առաջացրել է։ Սակայն, շատ հաճախ, մի բնագավառում առաջացած մաթեմատիկան օգտակար է դառնում շատ ոլորտներում և միանում է մաթեմատիկական հասկացությունների ընդհանուր ֆոնդին։ Հաճախ տարբերակում են [[մաքուր մաթեմատիկա]]ն և [[կիրառական մաթեմատիկա]]ն։ Այնուամենայնիվ, մաքուր մաթեմատիկայի թեմաները հաճախ կիրառություններ են ունենում, օրինակ [[թվերի տեսություն]]ը [[կրիպտոգրաֆիա]]յում։ Այս կարևոր փաստը, որ նույնիսկ «մաքրագույն» մաթեմատիկան հաճախ գործնական կիրառություն է ունենում, այն է, որ [[Յուջին Վիգներ]]ը անվանել էր «<nowiki/>[[Մաթեմատիկայի անտրամաբանական արդյունավետություն]]<nowiki/>»"։<ref>{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |ref=harv |bibcode=1960CPAM...13....1W |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archivedate=February 28, 2011 |df=mdy-all }}</ref>։ Ինչպես հետազոտությունների բոլոր ոլորտներում, գիտելիքի պայթյունը գիտության դարում հանգեցրեց մասնագիտացման՝ այժմ մաթեմատիկայում հաշվվում են հարյուրավոր մասնագիտական բնագավառներ և վերջին [[մաթեմատիկական առարկայական դասակարգում]]ը 46&nbsp;էջ է զբաղեցնում։զբաղեցնում<ref>{{cite web |url=http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |title=Mathematics Subject Classification 2010 |format=PDF |date= |accessdate=November 9, 2010 |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110514091144/http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classification2010.pdf |archivedate=May 14, 2011 |df=mdy-all }}</ref>։ Կիրառական մաթեմատիկայի որոշ բնագավառներ միաձուլվել են արտաքին համապատասխան ավանդույթների հետ և դարձել են ինքնուրույն գիտության ճյուղ, ներառյալ [[վիճակագրություն|վիճակագրությունը]], [[գործողությունների հետազոտություն]]ը և [[կոմպյուտերային գիտություն]]։

Մաթեմատիկայով զբաղվածների համար մաթեմատիկան որոշակի գեղագիտական գրավչություն ունի։ Շատ մաթեմատիկոսներ խոսում են մաթեմատիկայի ''էլեգանտության'', ներքին [[էսթետիկա]]յի և ներքին [[Գեղեցկություն|գեղեցկության]] մասին։ Պարզությունն ու ընդհանրությունը գնահատվում են։ Պարզ և էլեգանտ մաթեմատիկական ապացույցում, ինչպիսին Էվկլիդեսի պարզ թվերի անվերջ լինելու ապացույցը և Ֆուրյեի արագ ձևափոխության էլեգանտ հաշվարկային մեթոդը, որ արագացնում է հաշվարկը, գեղեցկություն կա։ [[Գոդֆրի Հարոլդ Հարդի]]ն իր ''[[Մաթեմատիկոսի ներողությունը]]'' գրքում այն համոզմունքն է արտահայտում, որ այս էսթետիկական նկատառումները բավարար են մաքուր մաթեմատիկան ուսումնասիրության հիմնավորման համար։ Նա մաթեմատիկական էսթետիկային նպաստող չափանիշներ սահմանեց՝ նշանակալիություն, անսպասելիություն, անխուսափելիություն և տնտեսություն։ տնտեսություն<ref>{{cite book |title=A Mathematician's Apology |author=Hardy, G.H. |publisher=Cambridge University Press |year=1940 |isbn=0-521-42706-1}}</ref>։ Մաթեմատիկոսները հաճախ ձգտում են գտնել հատկապես էլեգանտ ապացույցներ։ ապացույցներ<ref>{{cite book |title=Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy |author1=Gold, Bonnie |author2=Simons, Rogers A. |publisher=MAA |year=2008}}</ref><ref>{{cite book |title=Proofs from ''The Book'' |last1=Aigner |first1=Martin |last2=Ziegler |first2=Günter&nbsp;M. |authorlink2=Günter M. Ziegler |publisher=Springer |year=2001 |isbn=3-540-40460-0}}</ref>։ [[Զվարճալի մաթեմատիկա]]յի հանրայնությունը ևս մի ապացույց է, որ մաթեմատիկակական խնդիրներ լուծելը հաճելի զբաղմունք է։

Այսօր օգտագործվող մաթեմատիկական նշագրումների մեծ մասը մինչ 16-րդ դարը դեռևս հայտնագործված չէր։չէր<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |title=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |publisher= |accessdate=September 14, 2014 |deadurl=no |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160220073955/http://jeff560.tripod.com/mathsym.html |archivedate=February 20, 2016 |df=mdy-all }}</ref>։ Մինչ այդ, մաթեմատիկան գրված էր բառերով, ինչը սահմանափակում էր մաթեմատիկական հայտնագործությունը։հայտնագործությունը<ref>Kline, p. 140, on [[Diophantus]]; p. 261, on [[Franciscus Vieta|Vieta]].</ref>։ Այսօր օգտագործվող նշագրումներից մեծ մասը [[Լեոնարդ Էյլեր]]ի (1707–1783) ստեղծածն է։ Ժամանակակից նշագրումները մասնագետների համար մաթեմատիկան դարձնում են ավելի հեշտացված, բայց սկսնակները վհատվում են դրանց տեսքից։ Ըստ [[Բարբարա Օուկլեյ]]ի՝ սա կարելի է բացատրել մաթեմատիկական գաղափարների ''աբստրակտ'' և ավելի ''կոդավորված'' լինելով։լինելով<ref>Oakley 2014, p. 16: "Focused problem solving in math and science is often more effortful than focused-mode thinking involving language and people. This may be because humans haven't evolved over the millennia to manipulate mathematical ideas, which are frequently more abstractly encrypted than those of conventional language."</ref>։ Ի տարբերություն բնական լեզվի, որտեղ մարդիկ կարող են բառին (օրինակ՝ ''կով'') համապատասխան ֆիզիկական օբյեկտ հավասարեցնել, մաթեմատիկական սիմվոլները աբստրակտ են, չունեն որևէ ֆիզիկական անալոգ։անալոգ<ref>Oakley 2014, p. 16: "What do I mean by abstractness? You can point to a real live ''cow'' chewing its cud in a pasture and equate it with the letters ''c–o–w'' on the page. But you can't point to a real live ''plus sign'' that the symbol '+' is modeled after – the idea underlying the plus sign is more ''abstract''."</ref>։ Մաթեմատիկական սիմվոլներն ավելի խիստ են կոդավորված, քան սովորական բառերը, այսինքն՝ մեկ սիմվոլը կարող է կոդավորել տարբեր գործողություններ կամ գաղափարներ։գաղափարներ<ref>Oakley 2014, p. 16: "By ''encryptedness'', I mean that one symbol can stand for a number of different operations or ideas, just as the multiplication sign symbolizes repeated addition."</ref>։

[[Մաթեմատիկական ապացույց]]ը հիմնականում խստության հարց է։ Մաթեմատիկոսները ցանկանում են, որ իրենց թեորեմները հետևեն աքսիոմներից համակարգված փաստարկների միջոցով։ Սպասվելիք խստության մակարդակը մաթեմատիկայում ժամանակի ընթացքում փոփոխվել է։ Հույները մանրամասն փաստարկներ էին պահանջում, սակայն [[Իսահակ Նյուտոն]]ի ժամանակ կիրառվող մեթոդներն ավելի թույլ էին։ Նյուտոնի կողմից օգտագործվող սահմանումներում ծառացած խնդիրները 19-րդ&nbsp;դարում հանգեցրին մանրակրկիտ ուսումնասիրության և ֆորմալ ապացույցի վերափոխման։ Մաթեմատիկայի մի քանի ընդհանուր սխալների պատճառը խստության հասկացության սխալ ընկալումն է։ Այսօր մաթեմատիկոսները շարունակում են վիճել [[կոմպյուտերային ապացույց]]ների վերաբերյալ։ Քանի որ խոշոր հաշվարկները դժվար է ստուգել, այդպիսի ապացույցները դժվար է ստուգել, այդպիսի ապացույցները չեն կարող խիստ լինել։լինել<ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, {{isbn|0-7167-1953-3}}. p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).</ref>։

[[Աքսիոմ]]ի ավանդական իմաստն էր՝ «ինքնին ակնհայտ ճշմարտություն», բայց այն խնդրահարույց է։է<ref>"The method of 'postulating' what we want has many advantages; they are the same as the advantages of theft over honest toil." [[Bertrand Russell]] (1919), ''Introduction to Mathematical Philosophy'', New York and London, [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Quotations/Russell.html p. 71.] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150620162751/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Quotations/Russell.html |date=June 20, 2015 }}</ref>։ Ֆորմալ մակարդակում աքսիոմը պարզապես սիմվոլների տող է, որը ներքին իմաստ ունի միայն [[աքսիոմատիկ համակարգ|աքսիոմատիկ համակարգից]] դուրս բերվող բոլոր բանաձևերի համատեքստում։ [[Հիլբերտի ծրագիր]]ը նպատակ էր դրել մաթեմատիկան ամբողջությամբ դնել աքսիոմատիկ բազիսի վրա, սակայն [[Գյոդելի ոչ լրիվության թեորեմ]]ի համաձայն, յուրաքանչյուր (բավականաչափ հզոր) աքսիոմատիկ համակարգ [[անկախություն (մաթեմատիկական տրամաբանություն)|անլուծելի]] բանաձևեր; ուստի մաթեմատիկայի վերջնական [[աքսիոմատիզացում]]ն անհնար է։ Այնուամենայնիվ մաթեմատիկան հաճախ պատկերացնում են որպես որոշակի աքսիոմատիզացմամբ [[բազմությունների տեսություն]], այն իմաստով, որ յուրաքանչյուր մաթեմատիկական պնդում կամ ապացույց կարելի է ներկայացնել բազմությունների տեսության բանաձևի միջոցով։միջոցով<ref>Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, {{isbn|0-486-61630-4}}. p. 1, "Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects."</ref>։

[[Մաթեմատիկայի հիմունքներ]]ը հստակեցնելու համար մշակվել են [[մաթեմատիկական տրամաբանություն]] և [[բազմությունների տեսություն]] ճյուղերը։ Մաթեմատիկական տրամաբանությունը ներառում է [[տրամաբանություն |տրամաբանության]] մաթեմատիկական ուսումնասիրությունը և ձևական տրամաբանության կիրառումը մաթեմատիկայի այլ բնագավառներում; բազմությունների տեսությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է, որ բազմություններ կամ օբյեկտների հավաքածուներ է ուսումնասիրում։ [[Կատեգորիաների տեսություն]]ը, որ աբստրակտ մոտեցմամբ զբաղվում է [[մաթեմատիկական կառուցվածք]]ներով և դրանց միջև եղած կապերով, դեռևս զարգացման փուլում է։ «Հիմունքների ճգնաժամը» արտահայտությունը նկարագրում է մոտավորապես 1900–1930 թվականներին տեղի ունեցած մաթեմատիկայի խիստ հիմքերի փնտրտուկը։փնտրտուկը<ref>Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, ''A History of Mathematics'', Oxford University Press, 2005.</ref>։ Մաթեմատիկայի հիմունքների վերաբերյալ որոշ անհամաձայնություններ շարունակում են մնալ նաև այսօր։ Հիմունքների ճգնաժամը ժամանակին առաջացել է մի շարք հակասությունների պատճառով, ներառյալ Կանտորի տեսության և Բրաուեր-Հիլբերտի հակասությունները։

[[Տեսական ինֆորմատիկա]]ն ներառում է հաշվարկելիության տեսությունը, [[բարդությունների տեսություն]]ը, և [[ինֆորմացիոն տեսություն]]ը։ Հաշվարկելիության տեսությունը ուսումնասիրում է կոմպյուտերների տարբեր տեսական մոդելների, այդ թվում ամենահայտնի մոդելի՝ Թյուրինգի մեքենաների սահմանափակումները։ Բարդությունների տեսությունը ուսումնասիրում է կոմպյուտերի վրա խնդիրների լուծման ծախսատարությունը, որոշ պրոբլեմների լուծումն այնքան ժամանակ և հիշողություն են պահանջում, որ իրականում նրանց լուծումը կարող է անիրականալի լինել։ Այդպիսի պրոբլեմներից ամենահայտնին "[[P = NP հատընտիրի պրոբլեմ]]ն" է [[Հազարամյակի մրցանակային խնդիրներ]]ի ցանկից։ցանկից<ref>[https://www.webcitation.org/5Qj76uCbF?url=http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute], P=NP, claymath.org</ref>։ Ի վերջո, Ինֆորմացիոն տեսությունը գործ ունի տվյալների քանակի հետ, որը կարող է պահվել տվյալ կրիչի վրա, և հետևաբար գործ ունի [[տվյալների սեղմում]] և [[Էնտրոպիա (ինֆորմացիոն տեսություն)|էնտրոպիա]] հասկացությունների հետ։