«Բազմություն»–ի խմբագրումների տարբերություն

Ավելացվել է 3945 բայտ ,  1 տարի առաջ
Առանց խմբագրման ամփոփման
Բազմությունների տեսության հիմնադիր [[Գեորգ Կանտոր]]ը իր ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre''ի սկզբում բազմության հետևյալ սահմանումն է տվել<ref>"Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." [http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm]</ref>:
{{quote|A set is a gathering together into a whole of definite, distinct objects of our perception [Anschauung] and of our thought – which are called elements of the set.}}
== Առընչություններ բազմությունների միջև ==
[[Պատկեր:Venn A subset B.svg|thumb|Էյլերի դիագրամ <math>A \subset B</math>համար]]
<math>A</math> և <math>B</math> երկու բազմությունները կարող են միմյանց հետ տարբեր առընչություն ունենալ
* <math>A</math>ընդգրկում <math>B</math>, եթե <math>A</math>-ի յուրաքանչյուր անդամը պատկանում է նաև <math>B</math>բազմությանը։
*:<math>A \subseteq B \Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \in B</math>
* <math>A</math> ընդգրկում է <math>B</math>, եթե <math>B</math>պատկանում է <math>A</math>:
*:<math>A \supseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A</math>
* <math>A</math>հավասար է <math>B</math>, եթե <math>A</math> և <math>B</math> ընդգրկում են մեկը մյուսին:
*:<math>A = B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)</math>
** Ցանկացած բազմության համար <math>A = A</math>
** Եթե <math>A = B</math>, ապա <math>B = A</math>
** Եթե <math>A = B</math>, <math>B = C</math>, ապա <math>A = C</math>.
* <math>A</math> խստորեն պատկանում է <math>B</math>, եթե <math>A</math>պատկանում է <math>B</math>, բայց նրան հավասար չէ:
*:<math>A \subset B \Leftrightarrow (A \subseteq B) \land (A \neq B)</math>
* <math>A</math> խստորեն պատկնում է <math>B</math>, եթե <math>B</math> խստորեն պատկանում է <math>A</math>:
*:<math>A \supset B \Leftrightarrow B \subset A</math>
* <math>A</math> և <math>B</math> չեն հատվում,եթե ընդհանուր անդամներ չունեն։
*:<math>A</math> և <math>B</math> չեն հատվում <math>\Leftrightarrow \forall a \in A\colon a \notin B</math>
* <math>A</math> և <math>B</math> գտնվում են ընդհանուր վիճակում, եթե գոյություն ունի անդամ, որ պատկանում է միայն <math>A</math>բազմությանը, անդամ, որ պատկանում է միայն <math>B</math>-ին և անդամ, որ պատկանում է երկուսին էլ։
*:<math>A</math> և <math>B</math> գտնվում են ընդհանուր վիճակում <math>\Leftrightarrow</math> <math> \exists a,b,c\colon (a \in A) \land (a \notin B) \land (b \in B) \land (b \notin A) \land (c \in A) \land (c \in B)</math>
 
== Գործողություններ բազմությունների հետ ==
[[Պատկեր:Venn0001.svg|thumb|Վենի դիագրամ <math>A \cap B</math>համար]]
[[Պատկեր:Venn0111.svg|thumb|Վենի դիագրամ <math>A \cup B</math>համար]]
[[Պատկեր:Venn0100.svg|thumb|Վենի դիագրամ <math>A \setminus B</math>համար]]
[[Պատկեր:Venn0110.svg|thumb|Վենի դիագրամ <math>A \triangle B</math>համար]]<br />
 
* հատում․
*:<math>A\cap B:=\{x\mid x\in A\land x\in B\}</math>.
* միավորում․
*:<math>A\cup B:=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}</math>.
: Если множества <math>A</math> и <math>B</math> не пересекаются, то <math>A\cap B=\varnothing</math>. Их объединение обозначают также: <math>A+B=A\cup B</math>.
* տարբերություն․
*:<math>A\setminus B:=A\cap\overline B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}</math>.
* համաչափ տարբերություն․
*:<math>A\bigtriangleup B\equiv A\;\;\!\!\dot-\;\;\!\!B:=</math>
*:: <math>(A\cup B)\setminus(A\cap B)=A\cap\overline B+\overline A\cap B = </math>
*::: <math> = \{x\mid(x\in A\land x\notin B)\lor(x\notin A\land x\in B)\}</math>.
* դեկարտյան կանմ ուղիղ արտադրյալ․
*:<math>A\times B=\{(a,\;b)\mid a\in A,\;b\in B\}</math>.
 
[[Պատկեր:Venn1110.svg|thumb|Վենի դիագրամ <math>(A \cap B)^\complement</math>համար]]
 
:
 
<br />
 
Բազմության [[էլեմենտ(մաթեմատիկա)|տարրեր]] կամ անդամներ կարող են լինել՝ թվեր, մարդիկ, այբուբենի տառեր, ուրիշ բազմություններ և այլն։ Բազմությունները պայմանականորեն նշանակվում են [[մեծատառեր]]ով։ ''A'' և ''B'' բազմությունները հավասար են [[այն և միայն այն]] դեպքում, երբ նրանք բաղկացած են ճիշտ նույն էլեմենտներից<ref name="Stoll">
4703

edits