«Ուիլյամ Համիլտոն»–ի խմբագրումների տարբերություն

Առանց խմբագրման ամփոփման
: <math>(*)\qquad q\, =\, a+bi+cj+dk\, , </math>
որտեղ <math>i, j, k</math> - երեք քվատերնիոնյան միավորներ են (<math>i</math>[[կեղծ միավոր]]ի անալոգները<ref>{{книга|автор=[[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]]|заглавие=Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия|место=М.|издательство=Наука|год=1988|страниц=496|isbn=5-02-013741-1}}. - С. 124-126.</ref><ref name="kn">{{книга|автор=Кирпичников С. Н., Новосёлов В. С.|заглавие=Математические аспекты кинематики твёрдого тела|место=Л.|издательство=Изд-во Ленингр. ун-та|год=1986|страниц=252}} - С. 102-109.</ref>։ Ենթադրելով քվատերնիոնների բազմապատկման բաշխականությունը գումարման նկատմամբ, Համիլտոնը ներմուծեց քվատերնիոնների բազմապատկման սահմանումը <math>1, i, j, k</math> բազային միավորների համար, տալով հետևյալ տեսքի [[բազմապատկման աղյուսակ]]{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=206-207}}.
 
<center><math>\begin{matrix}
& \times & \mathbf1 & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
 
===== Քվատերնիոնների տեսության պատմական նշանակությունը =====
XX դարում մի[[քվանտային քնի փորձեր արվեցինմեխանիկա]]յում քվատերնիոն մոդելները կիրառելու [[քվանտայինմի մեխանիկա]]յումքանի փորձեր արվեցին<ref>{{книга|автор=Курочкин Ю. А. |заглавие=Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109|издание=ИФ АН БССР |год=1976}}</ref> և [[հարաբերականության տեսություն]]ում<ref name="ALEX" />։ Քվատերնիոնները ռեալ կիրառություն գտան ժամանակակից [[համակարգչային գրաֆիկա]]յում և խաղերի ծարագրավորման մեջ<ref>{{книга|автор=Побегайло А. П. |заглавие=Применение кватернионов в компьютерной гео­метрии и графике|место=Минск|издательство=Изд-во БГУ |год=2010 |страниц=216 |isbn=978-985-518-281-9 }}</ref>, ինչպես նաև [[հաշվողական մեխանիկա]]յում<ref name="wittenburg">{{книга|автор=Виттенбург Й. |заглавие=Динамика систем твёрдых тел|место=М.|издательство=Мир|год=1980|страниц=292}} - С. 25-26, 34-36.</ref><ref name="pogorelov">{{книга|автор=Погорелов Д. Ю. |заглавие=Введение в моделирование динамики систем тел|место=Брянск|издательство=Изд-во БГТУ|год=1997|страниц=156|isbn=5-230-02435-6}} - С. 22-26, 31-36.</ref>, [[իներցիալ նավագնացություն]]ում և [[կառավարման տեսություն]]ում<ref>{{книга|автор=[[Ишлинский, Александр Юльевич|Ишлинский А. Ю.]] |заглавие=Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация|место=М.|издательство=Наука|год=1976|страниц=672}} - С. 87-103, 593-604.</ref><ref>{{cite web|url=http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|title=Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени|last=Чуб В. Ф.|accessdate=2013-12-09}}</ref>. [[2003 թվական]]ից հրատարակվում է «Հիպերկոմպլեքսային թվերը երկրաչափությունում և ֆիզիկայում» ամսագիրը<ref>[http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»]</ref>։ [[Ֆելիքս Կլայն]]ը կարծիք է հայտնել, որ «քվատերնիոնները լավ են և կիրառելի են իրենց տեղում, բայց և այնպես դրանք չունեն այն նշանակությունը, ինչ սովորական կոմպլեքս թվերը»{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=224 }}։ Կիրառության շատ բնագավառներում գտնվել են ավելի ընդհանուր և գործնական միջոցներ, քան քվատերնիոնները: Օրինակ, մեր օրերում տարածության մեջ շարժումն ուսումնասիրելու համար ավելի հաճախ օգտագործվում է [[Մատրից|մատրիցային հաշվարկը]]{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=229—231 }}։ բայց այնտեղ, որտեղ կարևոր է տալ եռաչափ պտույտ սկալյար պարամետրերի ''փոքրագույն'' քանակության օգնությամբ, Ռոդրիգի - Համիլտոնի պարամետրերի (այսինքն՝ պտույտի կվատերնիոնի չորս բաղադրիչների) կիրառումը շատ հաճախ գերադասելի է լինում:
 
Կիրառության շատ բնագավառներում գտնվել են ավելի ընդհանուր և գործնական միջոցներ, քան քվատերնիոնները: Օրինակ, մեր օրերում տարածության մեջ շարժումն ուսումնասիրելու համար ավելի հաճախ օգտագործվում է [[Մատրից|մատրիցային հաշվարկը]]{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=229—231 }}։ բայց այնտեղ, որտեղ կարևոր է տալ եռաչափ պտույտ սկալյար պարամետրերի ''փոքրագույն'' քանակության օգնությամբ, Ռոդրիգի - Համիլտոնի պարամետրերի (այսինքն՝ պտույտի կվատերնիոնի չորս բաղադրիչների) կիրառումը շատ հաճախ գերադասելի է լինում:
 
Բոլոր դեպքերում, մաթեմատիկայի զարգացման գործում քվատերնիոնների ներդրումն անգնահատելի է: [[Անրի Պուանկարե]]ն գրել է. «Նրանց երևան գալը հզոր զարկ տվեց [[Աբստրակտ հանրահաշիվ|հանրահաշվի]] զարգացմանը, նրանցից ելնելով գիտությունն ընթացավ թվի հասկացության ընդհանրացման ճանապարհով, գալով մատրիցի և գծային օպերատորի կոնցեպցիաներին: Դա եղավ հեղափոխություն [[թվաբանություն]]ում, նման այն բանին, որ կատարեց [[Նիկոլայ Լոբաչևսկի|Լոբաչևսկին]] երկրաչափությունում»{{sfn |Полак Л. С.|1956|с=273 }}:
 
==== Տեսության կիրառություններ ====
«Երրորդ հավելումում» Համիլտոնն իր տեսության հիման վրա կանխագուշակեց ''[[ռեֆրակցիա|ներքին կոնական ռեֆրակցիայի]]'' երևույթը. եթե երկու [[օպտիկական առանցք]]ներով [[բյուրեղ]]ում հատենք առանցքներից մեկին ուղղահայաց հարթ շերտ և այդ շերտի վրա ուղղենք լույսի փունջ այնպես, որ այն բեկվի օպտիկական առանցքին զուգահեռ, ապա շերտից ելքի վրա տեսանելի կլինի լուսատու օղակ (նրա տրամագիծը կախված է շերտի հաստությունից): Համալսարանական ֆիզիկոս Համֆրի Լլոյդի (''Humphrey Lloyd'') կողմից արված փորձերը [[արագոնիտ]]ի հետ այս ենթադրությանը տվեցին փորձառական վավերացում<ref name="gliozzi"/>{{sfn |Стиллвелл Д.|2004|с=387 }}: Այս սենսացիոն հայտնագործությունն ակնառու ցույց տվեց Համիլտոնի մեթոդների արդյունավետությունը, այն նույնիսկ համեմատեցին [[Նեպտուն]]ի հայտնագործման հետ{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=236 }}:
«Երրորդ հավելումում» Համիլտոնն իր տեսության հիման վրա կանխագուշակեց
''ներքին կոնական ռեֆրակցիայի'' երևույթը. եթե երկու [[օպտիկական առանցք]]ներով [[բյուրեղ]]ում հատենք առանցքներից մեկին ուղղահայաց հարթ շերտ և այդ շերտի վրա ուղղենք լույսի փունջ այնպես, որ այն բեկվի օպտիկական առանցքին զուգահեռ, ապա շերտից ելքի վրա տեսանելի կլինի լուսատու օղակ (նրա տրամագիծը կախված է շերտի հաստությունից): Համալսարանական ֆիզիկոս Համֆրի Լլոյդի (''Humphrey Lloyd'') կողմից արված փորձերը [[արագոնիտ]]ի հետ այս ենթադրությանը տվեցին փորձառական վավերացում<ref name="gliozzi"/>{{sfn |Стиллвелл Д.|2004|с=387 }}: Այս սենսացիոն հայտնագործությունն ակնառու ցույց տվեց Համիլտոնի մեթոդների արդյունավետությունը, այն նույնիսկ համեմատեցին [[Նեպտուն]]ի հայտնագործման հետ{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=236 }}:
 
Չնայած այն բանին, որ Համիլտոնի օպտիկական հետազոտություններն ի սկզբանե նպատակ էին հետապնդում ստեղծելու օպտիկական գործիքների հաշվարկման հուսալի հիմնավորված մաթեմատիկական մեթոդներ, նրա փայլուն աշխատանքները տասնամյակների ընթացքում գործնական կիրառություն չէին գտնում{{sfn|Погребысский И. Б.|1966|с=184, 208}}: Միայն հետագայում Համիլտոնի տեսությունը լայն կիրառություն գտավ կիրառական երկրաչափական օպտիկայում և օպտիկական պարագաների տեսության մեջ{{sfn |Полак Л. С.|1956|с=230 }}:
==== Ստացիոնար գործողության սկզբունքը ====
Նկարագրված վարիացիոն մեթոդները, որոնք առաջարկել է Համիլտոնը օպտիկայի խնդիրների համար, շուտով զարգացրեց [[մեխանիկա]]յի ընդհանուր խնդրի կիրառման մեջ, որտեղ դիտարկեց «բնութագրիչ ֆունկցիայի» անալոգը՝ «գլխավոր ֆունկցիան». դա իրենից ներկայացնում է [[Գործողություն (ֆիզիկա)|գործողության]] ինտեգրալ<ref name="lanczos">{{книга|автор=[[Ланцош, Корнелий|Ланцош К.]]|заглавие=Вариационные принципы механики|место=М.|издательство=Мир|год=1965|страниц=408}} — С. 257, 393.</ref>։ [[Դինամիկա (մեխանիկա)|Դինամիկայի]] հիմնական խնդիրն է. հաշվարկել մարմնի կամ մարմինների համակարգի շարժումը գործող ուժերի տրված բաժանման դեպքում։ Ընդ որում մարմինների համակարգի վրա կարող են դրված լինել [[մեխանիկական կապ|կապեր]](ստացիոնար կամ ժամանակի ընթացքում փոփոխվող)։ XVIII դարի վերջում [[Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ|Լագրանժն]] իր «Անալիտիկ մեխանիկայում» ձևակերպեց վարիացիոն սկզբունքի իր տարբերակը<ref name=RUM>{{статья |автор=[[Румянцев, Валентин Витальевич|Румянцев В. В.]] |ref=Румянцев В. В. |заглавие=Леонард Эйлер и вариационные принципы механики. § 4. Принцип Гамильтона и оптико-механическая аналогия |страницы=191—202 |издание=Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. |издательство=Наука |место=М. |год=1988 }}</ref>։ 1834-1835 թվականներին Համիլտոնը «Դինամիկայի ընդհանուր մեթոդի մասին» իր երկու հոդվածներում հրատարակեց վարիացիոն նոր սկզբունք (այժմ հայտնի ինչպես '''[[ստացիոնար գործողության սկզբունք]]''' կամ '''[[Փոքրագույն գործողության սկզբունք|Համիլտոնի սկզբունք]]'''<ref name="rumyancev">{{книга|автор=[[Румянцев, Валентин Витальевич|Румянцев В. В.]] |часть=Гамильтона — Остроградского принцип|заглавие=Математическая энциклопедия. Т. 1|место=М.|издательство=Сов. энциклопедия|год=1977}} — 1152 стб. — Стб. 856—857.</ref>).
 
: <math> \delta \mathcal{S}\, = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t), \mathbf{\dot{q}}(t), t)\ {\rm d}t \, =\, 0\, \, .</math>
 
 
Ընդհանրացված կոորդինատներով գործողությունն ըստ Համիլտոնի ունի այսպիսի տեսք.
 
: <math>S[p, q]\, = \int \big(\sum_i p_i {\rm d}q_i - \mathcal{H}(q, p, t){\rm d}t\big)\, = \int \big(\sum_i p_i \dot q_i -\mathcal{H}(q, p, t)\big) {\rm d}t\, , </math>
 
==== Համլիտոնի կանոնական հավասարումներ ====
[[1835 թվական]]ին Համիլտոնը ստացավ մեխանիկական համակարգերի շարժման հավասարումների նոր ձևակերպում - '''[[Համիլտոնի կանոնական հավասարումներ]]'''{{sfn|Веселовский И. Н.|1974|с=224}}.
 
: <math>\frac{{\rm d}q_{_i}}{{\rm d}t}\;=\;\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{_i}}\, , \qquad \frac{{\rm d}p_{_i}}{{\rm d}t}\;=\;-\, \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{_i}}\, , \qquad i\, \, =\, \, 1, \dots, N\, \, :</math>
 
Կանոնական հավասարումների ստացված համակարգը պարունակում է կրկնակի անգամ շատ [[դիֆերենցիալ հավասարում]]ներ, քան [[Լագրանժի հավասարումներ (հիդրոմեխանիկա)|Լագրանժի]] մոտ, բայց դրանք բոլորը առաջին կարգի են (Լագրանժի մոտ՝ երկրորդ)։
 
== Ծանոթագրություններ ==
{{ծանցանկ|2}}
{{Արտաքին հղումներ}}
 
{{ՎՊԵ}}
{{Արտաքին հղումներ}}
{{DEFAULTSORT:Համիլտոն, Վիլյամ Ռոուեն}}
 
15 055

edits