«Լապլասի օպերատոր»–ի խմբագրումների տարբերություն

չ
փոխարինվեց: Իր մեջ ներառ → ներառ oգտվելով ԱՎԲ
No edit summary
չ (փոխարինվեց: Իր մեջ ներառ → ներառ oգտվելով ԱՎԲ)
'''[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր''' ('''լապլասիան,''' դելտա օպերատոր), [[Մաթեմատիկա|մաթեմատիկականմաթեմատիկա]]կան գործողություն, [[Դիֆֆերենցում|դիֆֆերենցման]] օպերատոր, որն ազդում է [[Գծային տարածություն|գծային տարածության]] հարթ [[Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիաների]] վրա: Նշանակվում է<math>\ \Delta</math> տառով:
 
[[Nn-չափանի տարածություն|n-չափանի տարածությունում]]ում <math>F\ </math> ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>:
: [[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտիգրադիենտ]]ի և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>:
: [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում]] Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>:
: Լապլասի օպերատորը [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] է:
 
== Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում ==
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
</math>
 
=== Սֆերիկ կոորդինատներ ===
</math>
:: Այն դեպքում, երբ<math>\ f=f(r)</math> n-չափանի տարածության մեջ է՝
:: <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math>
 
=== Պարաբոլական կոորդինատներ ===
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
</math>
 
=== Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ ===
Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝
:: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.</math>
 
== Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն ==
 
:: <math>\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)</math>,
:: իսկ ''f'' ֆունկցիայի [[Գրադիենտ|գրադիենտիգրադիենտ]]ի բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
:: <math>(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.</math>
:: [[Լապլաս-Բելտրամի օպերատոր|Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը]]ը <math>X</math>-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
:: <math>\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).</math>
<math>\Delta f</math>-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ:
 
== Կիրառություն ==
Լապլլասի օպերատորի օգնությամբ հեշտորեն գրվում է [[Լապլասի հավասարում|Լապլասի]], [[Պուասոնի հավասարում|Պուասոնի]] և [[Ալիքայինալիքային հավասարում|ալիքային հավասարումները]]ները:
 
Ֆիզիկայում Լապլասի օպերատորը հաճախակի օգտագործվում է [[Էլեկտրադինամիկա|էլեկտրադինամիկայումէլեկտրադինամիկա]]յում, [[Քվանտայինքվանտային մեխանիկա|քվանտային մեխանիկայում]]յում:
 
== Վարիացիա և ընդհանրացում ==
* [[Դալամբերի օպերատոր|Դալամբերի]] օպերատոր՝ [[Հիպերբոլականհիպերբոլական հավասարումներ|հիպերբոլական հավասարումների]]ի համար Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում: Իր մեջ ներառում է ըստ ժամանակի երկրորդ կարգի ածանցյալ:
* [[Լապլասի վեկտորական օպերատոր|Լապլասի վեկտորական օպերատոր՝]] վեկտորական արգումենտի առկայության դեպքում Լապլասի օպերատորի ընդհանրացում: