Ֆունկցիոնալ անալիզի ուսումնասիրության առարկա են հանդիսանում [[Տոպոլոգիական վեկտորական տարածություն |տոպոլոգիական վեկտորական տարածություններն]] ու դրանց արտապատկերումները, որոնց վրա սահմանված են տարբեր տոպոլոգիական և հանրահաշվական պայմաններ{{Sfn|Дьёдонне|1981|p=1|loc=One may give many definitions of «Functional Analysis». Its name might suggest that it contains all parts of mathematics which deal with functions, but that would practically mean all mathematical Analysis. We shall adopt a narrower definition: for us, it will be the study of topological vector spaces and of mappings <math>u: \Omega \to F</math> from a part <math>\Omega</math> of a topological vector space <math>E</math> into a topological vector space <math>F</math>, these mappings being assumed to satisfy various algebraic and topological conditions}}: Ֆունկցիոնալ անալիզում գլխավոր դեր են խաղում ֆունկցիոնալ տարածությունները, դասական օրինակ՝ բոլոր [[Չափելի ֆունկցիա|չափելի ֆունկցիաների]] [[L^p (տարածություն)|<math>L^p</math> տարածությունը]], որի <math>p</math>-րդ աստիճանը ինտեգրելի է՝ այդ դեպքում <math>L^2</math> -ը արդեն անսահմանաչափ տարածություն է ([[Հիլբերտյան տարածություն]]), և անսահման չափելիության տարածությունները ֆունկցիոնալ անալիզին այնքան են հատուկ, որ երբեմն ամբոջ բաժինը սահմանվում է որպես մաթեմատիկայի մաս (անսահմանաչափ տարածություններն ու իրենց արտապատկերումնեն ուսումնասիրող)<ref>{{БСЭ3|Функциональный анализ}}</ref>: Ֆունցիոնալ անալիզի դասական բաժիններում տարածությունների կարևոր ձև են հանդիսանում բանախյան տարածությունները՝ նորմով ծնված, չափելիությամբ լի համարակալված վեկտորական տարածությունները, հետաքրքիր փոձերի վրա հիմնված տարածությունների զագալի մասը հանդիսանում են այսպիսին՝ դրանք բոլորը հիլբերտյան, <math>L^p</math>, [[Հարդիի տարածություն|Հարդիի]], [[Սոբոլևի տարածություն|Սոբոլևի]] տարածություններ են: Ֆունկցիոնալ անալիզում ակրևոր դեր են խաղում բանախյան տարածություններ հանդիսացող կառույցները՝ [[Բանախի վանդակ|բանախյան վանդակները]] և [[Բանախի հանրահաշիվ|բանախյան հանրահաշիվները]] (այդ թվում {{iw|C*-հանրահաշիվ|<math>C^*</math>-հանրահաշիվները|en|C*-algebra}}, [[Նեյմանի հանրահաշիվ|ֆոն Նեյմանի հանրահաշիվները]]):
