«Սեղան (երկրաչափություն)»–ի խմբագրումների տարբերություն

Առանց խմբագրման ամփոփման
չ (+{{անաղբյուր}})
 
Սեղանները կարող են լինել հավասարասրուն և ուղղանկյուն։ Հավասարասրուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքները (կողմնային կողերը) հավասար են միմյանց։ Իսկ ուղղանկյուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքներից մեկը ուղղահայաց է հիմքերին։
== Варианты определения ==
Существует и другое определение трапеции.
 
Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны<ref>[http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo8.htm Вся элементарная математика]</ref><ref>[http://mathworld.wolfram.com/Trapezoid.html Wolfram MathWorld]</ref>. Согласно этому определению, [[параллелограмм]] и [[прямоугольник]] — частные случаи трапеции. Приведённые ниже формулы верны для обоих определений трапеции.
 
== Связанные определения ==
 
=== Элементы трапеции ===
[[Պատկեր:Трапеция и диагонали.png|thumb|300px|right|Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой]]
 
* Параллельные противоположные стороны называются '''основаниями''' трапеции.
* Две другие стороны называются '''боковыми сторонами'''.
* Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется '''[[Средняя линия трапеции|средней линией]]''' трапеции.
 
=== Виды трапеций ===
* Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется '''равнобедренной''' трапецией (реже '''равнобокой'''<ref>{{Книга|автор=Коллектив авторов|заглавие=Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы|ссылка=https://books.google.com/books?id=YRmFAQAAQBAJ|издательство=Litres|год=2015-09-03|страницы=82|страниц=482|столбцы=|isbn=9785457410022}}</ref> или '''равнобочной'''<ref>{{Книга|автор=М. И. Сканави|заглавие=Элементарная математика|ссылка=https://books.google.com/books?id=6EX6AgAAQBAJ&pg=PA437|издательство=|год=2013|страницы=437|страниц=611|isbn=9785458254489}}</ref> трапецией).
* Трапеция, имеющая [[Прямой угол|прямые]] углы при боковой стороне, называется '''прямоугольной'''.
<gallery>
Trapezoid2 1.png|Равнобедренная трапеция
Trapezoid1.png|Прямоугольная трапеция
</gallery>
 
== Общие свойства ==
{{Mainref|<ref>{{книга | заглавие = Четырёхугольники | ссылка =http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html
}}</ref>}}
* Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
* Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
* (Обобщённая [[теорема Фалеса]]). Параллельные прямые, пересекающие стороны [[угол|угла]], отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
* В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
* Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен <math>\frac{2xy}{x+y}</math> [[Среднее гармоническое|среднему гармоническому]] длин оснований трапеции (формула Буракова).
* Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
* Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их [[wikt:полуразность|полуразности]].
* Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, [[Подобие треугольников|подобные]].
* Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
* Если отношение оснований равно <math>K</math>, то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно <math>K^2</math>.
* Высота трапеции определяется формулой:
:: <math> h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>
: где <math> b </math> — большее основание, <math> a </math> — меньшее основание, <math> c </math> и <math> d </math> — боковые стороны.
* Диагонали трапеции <math> d_1</math> и <math> d_2 </math> связаны со сторонами соотношением:
:: <math>d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 </math>
: Их можно выразить в явном виде:
:: <math> d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
:: <math> d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
: Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
:: <math>a=\sqrt{\frac{(c^2-d_1^2)^2-(d^2-d_2^2)^2}{2(c^2-d^2+d_1^2-d_2^2)}}</math>
:: <math>b=\sqrt{\frac{(c^2-d_2^2)^2-(d^2-d_1^2)^2}{2(c^2-d^2-d_1^2+d_2^2)}}</math>
:: а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
:: <math>c=\sqrt{\frac{a(d_2^2-b^2)+b(d_1^2-a^2)}{a+b}}</math>
:: <math>d=\sqrt{\frac{a(d_1^2-b^2)+b(d_2^2-a^2)}{a+b}}</math>
: Если же известна высота <math> h </math>, то
:: <math>d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}</math>
:: <math>d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}</math>
 
== Свойства и признаки равнобедренной трапеции ==
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
* прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
* высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
* углы при любом основании равны;
* сумма противоположных углов равна 180°;
* длины диагоналей равны;
* вокруг этой трапеции можно описать окружность;
* вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого [[антипараллелограмм]]а.
 
Кроме того
* если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
 
== Вписанная и описанная окружность ==
{{Нет ссылок|В этом разделе|дата=6 июля 2015}}
* Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно [[Вписанная окружность|вписать]] [[окружность]]. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
* В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
* Если трапеция равнобедренная, то около неё можно [[Описанная окружность|описать]] [[окружность]].
* Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:{{нет АИ|6|07|2015}}
:: <math>R=\frac{bcd_1}{4\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d_1)}}=\sqrt{\frac{ab+c^2}{4-\left ( \frac{b-a}{c}\right )^2}}</math>
: где <math>p=\frac 12 (b+c+d_1) \, , \, c</math> — боковая сторона, <math>b</math> — бо́льшее основание, <math>a</math> — меньшее основание, <math> d_1=d_2 </math> — диагонали равнобедренной трапеции.
* Если <math>a+b=2c </math>, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
:: <math>r=\frac h2=\frac{\sqrt{ab}}{2}</math>
* Если в трапецию [[Вписанная окружность|вписана]] [[окружность]] с радиусом <math>r</math>, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — <math>v</math> и <math>w</math> — то <math>r = \sqrt{vw}</math>.
 
== Սեղանի մակերեսը ==
4703

edits