«Նյոթերի թեորեմ»–ի խմբագրումների տարբերություն

չ
Բոտ: կոսմետիկ փոփոխություններ
չ (Բոտ: կոսմետիկ փոփոխություններ)
 
[[Պատկեր:Noether.jpg|thumb|Էմմի Նյոթերը գերմանացի հեղինակավոր մաթեմատիկոս էր, հայտնի [[աբստրակտ հանրահաշիվ|աբստրակտ հանրահաշվում]] և [[տեսական ֆիզիկա]]յում իր ներդրումներով։]]
'''Նյոթերի թեորեմը''' պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ [[սիմետրիա (ֆիզիկա)|սիմետրիայի]] համապատասխանում է որոշակի [[պահպանման օրենք]].
* [[Ժամանակ]]ի համասեռությանը համապատասխանում է [[էներգիայի պահպանման օրենք]]ը։
* [[Տարածություն|Տարածության]] համասեռությանը համապատասխանում է [[իմպուլսի պահպանման օրենք]]ը։
* Տարածության [[Իզոտրոպություն|իզոտրոպությանը]] համապատասխանում է [[իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք]]ը։
* [[Տրամաչափային սիմետրիա]]յին համապատասխանում է [[Լիցքի պահպանման օրենք|էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը]] և այլն։
 
Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է [[գործողություն (ֆիզիկա)|գործողության]] [[ֆունկցիոնալ]] ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է [[լագրանժյան]]ի [[ինվարիանտ (ֆիզիկա)|ինվարիանտությունը]] ձևափոխությունների որոշ [[Լիի խումբ|անընդհատ խմբի]] նկատմամբ։
== Ձևակերպում ==
=== Դասական մեխանիկա ===
<math>g^s(q_i)</math> [[դիֆեոմորֆիզմ]]ների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի [[առաջին ինտեգրալ]], որը հավասար է
: <math>I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}</math>։
 
: <math>g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)</math>
տեսքն ունի, իսկ <math>L(q,\; \dot q,\; t)</math> Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն
: <math>\frac{d}{ds}L(\vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t),\; \dot {\vec q_0} + s \dot {\vec \psi} (\vec q,\; t),\; t) = 0</math>, եթե <math>s=0</math>։
Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի ''առաջին ինտեգրալ'', որը հավասար է
: <math>I = \left( \vec \psi (\vec q,\; t);\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right) = \sum^n_{i=1}\psi_i (\vec q,\; t) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}</math>։
=== Դաշտի տեսություն ===
 
Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով [[ազատության աստիճաններ]]ով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են [[Գրավիտացիոն դաշտ|գրավիտացիոն]] և [[էլեկտրամագնիսական դաշտ|էլեկտրամագնիսական]] դաշտերը։
Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է <math>n</math> պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են <math>k</math> կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա
: <math>S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k</math>
տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների <math>g^s</math> խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է
: <math>J^\mu = \left( \frac{d}{ds} g^s A^i \right) \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A^i)},</math>
վեկտորը, որը կոչվում է ''Նյոթերի հոսքի վեկտոր''։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների. <math>\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}</math>։
Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ
: <math>\ \partial_\mu J^\mu = 0,</math>
այդ պատճառով <math>J</math> հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ ''ժամանակ'' կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա <math>J</math> հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը [[կոմպակտություն (մաթեմատիկա)|կոմպակտ չէ]], այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի [[էներգիա-իմպուլսի թենզոր]]ը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։
 
=== Դիֆերենցիալ հավասարումներ ===
Դիցուք ունենք <math>S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x</math> գործողության ֆունկցիոնալով [[վարիացիոն խնդիր]]։ Այստեղ <math>L</math>-ը [[լագրանժյան]]ն է. <math>x</math>-ն՝ անկախ փոփոխականներ, <math>u</math>-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ <math>x</math>-ից։ <math>L</math> կարող է կախված լինել նաև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։
 
Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի [[դիֆերենցիալ հավասարումներ]]ի, որոնք կարելի է գրել
<math>\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q</math>
<math>\mathrm{Div} \vec P =0</math>
 
տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ <math>\mathrm{Div}</math>-ն լրիվ [[դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիա]] ([[լրիվ ածանցյալ]]ներով դիվերգենցիալ) է ըստ <math>x</math>-ի։ <math>\vec P</math>-ն <math>u</math>-ի, <math>x</math>-ի և ըստ <math>x</math>-ի <math>u</math>-ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։
''Պահպանման տրիվալ օրենքներ'' են կոչվում այն պահպանման օրենքները,
 
 
* Համակարգի [[իմպուլսի պահպանման օրենք|իմպուլսի պահպանումը]] բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե ''X'' առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով <math>p_x</math> իմպուլսը պահպանվում է։
* [[Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք|Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը]] բխում է տարածության [[պտույտ]]ների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
* [[Էներգիայի պահպանման օրենք|Էներգիայի պահպանումը]] ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։
 
{{ծանցանկ}}
 
== Գրականություն ==
* Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
* Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с., 1983 г.
 
== Արտաքին հղումներ ==
* [http://arxiv.org/pdf/physics/0503066 Նյոթերի հոդվածներն անգլերեն թարգմանությամբ]
* [[Ջոն Բաես]]ի [http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html հոդվածը Նյոթերի թեորեմի մասին] {{ref-en}}
* Nina Byers, [http://www.physics.ucla.edu/~cwp/articles/noether.asg/noether.html E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws]
* [http://www.mathpages.com/home/kmath564/kmath564.htm Նյոթերի թեորեմը] MathPages կայքում {{ref-en}}
* [http://arxiv.org/abs/hep-th/0602190 Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem]. {{ref-en}}
281 469

edits