Էլիպս

Էլիպս

Սահմանում

Էլիպս կոչվում է հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների գումարը տրված երկու
$F_{1}$ և $F_{2}$ կետերից հաստատուն է և մեծ է $F_{1}F_{2}$ հատվածի երկարությունից :

Այդ հաստատունը կնշանակենք 2a-ով: $F_{1}$-ը և $F_{2}$-ը կոչվում են էլիպսի ֆոկուսներ, իսկ $F_{1}F_{2}$ հատվածի երկարությունը կնշանակենք 2c-ով, և կանվանենք ֆոկուսային հեռավորություն : Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես , որ Ox առանցքն անցնի $F_{1}$ և $F_{2}$ կետերով , իսկ Oy առանցքը` $F_{1}F_{2}$ հատվածի միջնակետով : Այս դեպքում , ըստ սահմանման , էլիպսի ցանկացած P(x,y) կետի համար`

P$F_{1}$ + P$F_{2}$ = 2a

Հաշվի առնելով , որ $F_{1}$ կետի կոորդինատներն են $F_{1}$(-c;0) , իսկ $F_{2}$ կետինը $F_{1}$(c;0), երկու կետի հեռավորության բանաձևից ստանում ենք`

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a$

Սա էլ հենց հանդիսանում է էլիպսի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում: Փորձենք այն գրել կամպակտ տեսքով: Դրա համար երկրորդ գումարելին տեղափոխենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմերը բարձրացնենք քառակուսի`

$~(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+(x-c)^{2}+y^{2}$

Պարզեցումներից հետո ստանում ենք`

$~(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$

Քանի որ $~a>c$, ապա $~a^{2}-c^{2}$ > 0 : Նշանակենք $~b^{2}=a^{2}-c^{2}$, ուստի $b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}$ հետևաբար հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը`

$~b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

կամ

$~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

որը կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում : Այստեղ 2a-ն և 2b-ն կոչում են էլիպսի համապատասխանաբար մեծ և փոքր առանցքների երկարություններ, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը` քլիպսի կենտրոն : $e={\frac {c}{a}}$ թիվը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիսիտետ : Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ :