Անտի-դե Սիտերի տարածություն

Անտի-դե Սիտերի տարածություն, անտի-դե Սիտերի տարածաժամանակ, անտի-դե Սիտերի բազմաձևություն, մաքսիմալ սիմետրիկ Լորենցյան բազմաձևություն՝ բացասական սկալյար կորությամբ։ Անտի-դե Սիտերի տարածաժամանակն Էյնշտեյնի հավասարուﬓերի լուծուﬓ է բացասական կոսմոլոգիական հաստատունի առկայությամբ՝ երբ գրավիտացիայի այլ տիպի աղբյուրները բացակայում են (Էյնշտեյնի վակուումային հավասարուﬓեր՝ բացասական կոսմոլոգիական հաստատունի առկայությամբ)։

(1 + 1)-չափողականությամբ անտի-դե Սիտերի բազմաձևություն՝ ներդրված էվկլիդյան (1 + 2)-չափանի տարածության մեջ. Այն իրենից ներկայացնում է հիպերբոլոիդ։

Մաթեմատիկական սահմանումը և հատկությունները

Անտի-դե Սիտերի տարածությունը կարելի է սահմանել տարածաժամանակի կամայական չափողականության դեպքում։ $(D+1)$-չափանի անտի-դե Սիտերի տարածության մետրիկական թենզորը որշվում է հետևյալ գծային էլեմենտի միջոցով՝

$ds^{2}=g_{ik}dx^{i}dx^{k}=e^{-2y/a}\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }-dy^{2},$

որտեղ բոլոր կոորդինատներն ունեն $-\infty <y<+\infty$ փոփոխման տիրույթ, $\eta _{\mu \nu }=\mathrm {diag} (1,-1,\dots ,-1)$ իրենից ներկայացնում $D$-չափանի Մինկովսկու մետրիկա, $\mu ,\nu =0,1,\dots ,D-1$ , իսկ $i,k$ ինդեքսները ընդունում են արժեքներ $0$-ից $D$։ $y$ կոորդինատի փոխարեն հաճախ օգտագործում են հետևյալ կերպ սահմանված $z$ կոորդինատը՝ $z=ae^{y/a},0<z<\infty$, քանի որ այս կոորդինատի միջոցով անտի-դե Սիտերի տարածության գծային էլեմենտը գրվում է կոնֆորմ հարթ տեսքով՝

$ds^{2}=\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}\left(\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }-dz^{2}\right)$:

Գծային էլեմենտի այս տեսքին համապատսխան կոորդինատները կոչվում են Պուանկարեի կոորդինատներ։ Անտի-դե Սիտերի տարածության գլխավոր առանձնահատկություններից մեկը գլոբալ հիպերբոլականության պակասն է, որը պայմանավորված է կոնֆորմ անվերջությունում ժամանականման սահմանի գոյությամբ։