«Ուիլյամ Համիլտոն»–ի խմբագրումների տարբերություն

չ
Ռոբոտ․ Տեքստի ավտոմատ փոխարինում (- , +,, -, +, , - + )
չ (Բոտ: կոսմետիկ փոփոխություններ)
չ (Ռոբոտ․ Տեքստի ավտոմատ փոխարինում (- , +,, -, +, , - + ))
=== Մաթեմատիկա ===
==== Կոմպլեքս թվերի տեսություն ====
[[1835 թվական]]ին Համիլտոնը հրատարակեց «Հանրահաշվական զույգերի տեսություն» աշխատությունը (''Theory of Algebraic Couples''), որում տվեց կոմլեքս թվերի տեսության խիստ կառուցվածքը։ Եթե [[Լեոնարդ Էյլեր|Էյլերը]] կոպլեքս թիվը դիտարկում էր որպես <math>a+bi</math> գումար, իսկ Վեսսելն ու [[Կառլ Գաուս|Գաուսը]] հանգեցին կոմպլեք թվերի երկրաչափական մեկնաբանությանը, դիտելով դրանք որպես [[կոորդինատային հարթություն|կոորդինատային հարթության]] կետեր (ընդ որում վերջինս [[1831 թվական]]ին «Երկքառակուսային հաշվարկների տեսություն» աշխատության մեջ նույնպես առաջարկել է կոմպլեքս թվերի հանրահաշվի խիստ կառուցվածքը), ապա Համիլտոնը (հավանաբար, ծանոթ չլինելով Գաուսի աշխատանքին) կոմպլեքս թիվը դիտարկեց որպես <math>(a, b)</math> իրական թվերի զույգ։ Այժմ բոլոր երեք մոտեցումները հավասարապես տարածված են, ընդ որում Գաուսի և Համիլտոնի աշխատությունների հանդես գալով հանվեց կոմլեքս թվերի տեսության [[Անհակասականություն|անհակասականության]] հարցը (ավելի ճիշտ, այն հանգեցվեց [[իրական թվեր]]ի տեսության անհակասականության հարցին{{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=240}}{{sfn|Веселовский И. Н.|1974|с=172}}։
[[Պատկեր:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|300px|մինի|Հիշարժան աղյուսակ Դուբլինի Բրում Բրիջ կամրջի վրա. «Այստեղ զբոսնելիս, 1843 թվականի հոկտեմբերի 16-ին, սըր Ուիլյամ Ռոուեն Համիլտոնը, տաղանդի առկայծումով, հայտնաբերեց քվատերնիոնների բազմապատկման աղյուսակը»]]
Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական մեկնաբանությունը հնարավորություն ընձեռեց դրանք լայնորեն կիրառելու [[հարթաչափություն]]ում և [[մաթեմատիկական ֆիզիկա]]յի երկչափ խնդիրները լուծելիս։ Փորձելով համանման արդյունքի հասնելու տարածաչափության համար<ref name=ALEX>{{книга|автор=Александрова Н. В. |часть=Исчисление кватернионов Гамильтона |заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука |место=М. |год=1994 |серия=Классики науки}}- С. 519-534.</ref>, Համիլտոնը մի քանի տարիների ընթացքում աշխատեց կոմլեքս թվի հասկացության ընդհանրացման և իրական թվերի եռյակից բաղկացած թվերի լիարժեք համակարգի ստեղծման վրա։ Այն ավարտին չհասցնելով, Համիլտոնը սկսեց դիտարկել իրական թվերի քառյակները։ Մտքի փայլատակումն այցելեց նրան 1843 թվականի հոկտեմբերյան օրերից մեկում, դուբլինյան կամրջով զբոսանքի ժամանակ, այդպես ի հայտ եկան [[քվատերնիոններ]]ը{{sfn|Стройк Д. Я.|1984|с=240}}{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=205-206}}։
Իր բացահայտած «քառանդամ թվերի» համար Համիլտոնը ներմուծեց '''քվատերնիոններ''' անվանումը՝ լատիներեն {{lang-la|quaterni}} ''չորսական'' բառից<ref>''Александрова Н. В.'' О происхождении некоторых математических понятий // ''Сб. научн.-метод. статей по математике'', вып. 8, 1978. - С. 104-109.</ref>։ Քվատերնիոնները, կոմպլեքս թվերի անալոգիայով ներկայացնելով իրական թվերի քառյակներով, նա գրառում էր քվատերնիոնները
նաև ձևական գումարի տեսքով.
: <math>(*)\qquad q\, =\, a+bi+cj+dk\, , </math>
որտեղ <math>i, j, k</math> - երեք քվատերնիոնյան միավորներ են (<math>i</math>
[[կեղծ միավոր]]ի անալոգները<ref>{{книга|автор=[[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]]|заглавие=Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия|место=М.|издательство=Наука|год=1988|страниц=496|isbn=5-02-013741-1}}. - С. 124-126.</ref><ref name="kn">{{книга|автор=Кирпичников С. Н., Новосёлов В. С.|заглавие=Математические аспекты кинематики твёрдого тела|место=Л.|издательство=Изд-во Ленингр. ун-та|год=1986|страниц=252}} - С. 102-109.</ref>։
Ենթադրելով քվատերնիոնների բազմապատկման բաշխականությունը գումարման նկատմամբ, Համիլտոնը ներմուծեց քվատերնիոնների բազմապատկման սահմանումը <math>1, i, j, k</math> բազային միավորների համար, տալով հետևյալ տեսքի [[բազմապատկման աղյուսակ]]{{sfn|Александрова Н. В.|1982|с=206-207}}.
<center><math>\begin{matrix}
& \times & \mathbf1 & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
& \mathbf1 & \, 1 & \, i & \, j & \, k \\
& \mathbf{i} & \, i & \, -1 & \, k & \, -j \\
& \mathbf{j} & \, j & \, -k & \, -1 & \, i \\
& \mathbf{k} & \, k & \, j & \, -i & \, -1 \\
\end{matrix}</math></center>
 
Համիլտոնի աշխատանքների խոշորագույն շարունակողն ու քվատերնիոնների մասսայականացնողը եղավ նրա աշակերտը՝ շոտլանդացի մաթեմատիկոս [[Պիտեր Տետ]]ը, որը դրանց բազմաթիվ կիրառություններ առաջարկեց երկրաչափությունում, [[սֆերիկ եռանկյունաչափություն]]ում և ֆիզիկայում<ref name=ALEX/>: Այդպիսի կիրառություններից մեկը եղավ տարածական ձևափոխությունների ուսումնասիրությունը: Կոմպլեքս թվերը հաջողությամբ օգտագործվում են հարթության վրա կամայական շարժումների մոդելավորման համար. թվերի գումարմանը համապատասխանում է [[Կոմպլեքս հարթություն|կոմպլեքս հարթության]] կետերի փոխանցումը, իսկ բազմապատկմանը՝ պտույտը (միաժամանակյա ձգմամբ, եթե արտադրյալի մոդուլը 1-ից տարբեր է){{sfn |Клейн Ф.|1937|с=225—226 }}:
 
Քվատերնիոնները հարմար գործիք են էվկլիդյան եռաչափ տարածությունում շարժումների հետազոտության համար. նրանց այդպիսի օգտագործումը հիմնված է քվատերնիոնների երկրաչափա-թվային ինտերպրետացիայի վրա, որի դեպքում քվատերնիոն միավորներին համադրվում են որևէ աջակողմյան օրթոնորմավորված բազիսի վեկտորներ եռաչափ տարածությունում<ref>{{книга|автор=[[Журавлёв, Виктор Филиппович|Журавлёв В. Ф.]]|заглавие=Основы теоретической механики. 2-е изд|место=М.|издательство=Физматлит|год=2001|страниц=320|isbn=5-94052-041-3}} — С. 32—38.</ref>: Այդ ժամանակ ստեղծվում է փոխադարձ համարժեք համապատասխանություն եռաչափ պտույտների և քվատերնիոնների մարմինների ներքին ավտոմորֆիզմների միջև<ref>{{книга|заглавие=Общая алгебра. Т. 1|ответственный=Под ред. Л.&nbsp;А.&nbsp;Скорнякова|место=М.|издательство=Наука|год=1990|страниц=592|серия=Справочная математическая библиотека|isbn=5-02-014426-6}} — С. 296, 335—336.</ref><ref>{{книга|автор=[[Голубев, Юрий Филиппович|Голубев Ю. Ф.]]|заглавие=Основы теоретической механики. 2-е изд|место=М.|издательство=Изд-во Моск. ун-та|год=2000|страниц=719|isbn=5-211-04244-1}} — С. 110—112.</ref>; յուրաքանչյուր այդպիսի ավտոմորֆիզմը կարող է առաջանալ 1-ի հավասար մոդուլով քվատերնիոնից (քվատերնիոնի <math>q</math> մոդուլը սահմանվում է որպես նրա <math>a, b, c, d</math> բաղադրիչների քառակուսիների գումարից քառակուսի արմատ)<ref>{{книга|автор=[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]]|заглавие=Основные понятия алгебры|место=М.|издательство=ВИНИТИ АН СССР|год=1986|страниц=289|серия=Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 11}} — С. 76.</ref>): Ընդ որում երկու պտույտների հաջորդական իրականացմանը համապատասխանում է պտույտի համապատասխան քվատերնիոնների արտադրյալը: Այս փաստը լուսաբանում է քվատերնիոնների բազմապատկման ոչ տեղափոխական լինելը, քանի որ երկու եռաչափ պտույտների իրականացման արդյունքը էականորեն կախված է դրանց իրականցման կարգից{{sfn |Клейн Ф.|1937|с=225—226 }}:
 
Քվատերնիոնների ուսումնասիրության ընթացքում Համիլտոնը ներմուծեց [[վեկտորական դաշտ]]ի հասկացությունը («''դաշտ''» եզրույթը նրա մոտ դեռևս բացակայում է, դրա փոխարեն օգտագործվել է կետի վեկտորական ֆունկցիայի հասկացությունը) և դրաց [[Վեկտորական հաշիվ|վեկտորական հաշվի]] հիմքերը:
[[Դինամիկա (մեխանիկա)|Դինամիկայի]] հիմնական խնդիրն է. հաշվարկել մարմնի կամ մարմինների համակարգի շարժումը գործող ուժերի տրված բաժանման դեպքում։ Ընդ որում մարմինների համակարգի վրա կարող են դրված լինել [[մեխանիկական կապ|կապեր]](ստացիոնար կամ ժամանակի ընթացքում փոփոխվող)։ XVIII դարի վերջում [[Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ|Լագրանժն]] իր «Անալիտիկ մեխանիկայում» ձևակերպեց վարիացիոն սկզբունքի իր տարբերակը<ref name=RUM>{{статья |автор=[[Румянцев, Валентин Витальевич|Румянцев В. В.]] |ref=Румянцев В. В. |заглавие=Леонард Эйлер и вариационные принципы механики. § 4. Принцип Гамильтона и оптико-механическая аналогия |страницы=191—202 |издание=Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. |издательство=Наука |место=М. |год=1988 }}</ref>։
1834-1835 թվականներին Համիլտոնը «Դինամիկայի ընդհանուր մեթոդի մասին» իր երկու հոդվածներում հրատարակեց վարիացիոն նոր սկզբունք (այժմ հայտնի ինչպես '''[[ստացիոնար գործողության սկզբունք]]''' կամ '''[[Փոքրագույն գործողության սկզբունք|Համիլտոնի սկզբունք]]'''<ref name="rumyancev">{{книга|автор=[[Румянцев, Валентин Витальевич|Румянцев В. В.]] |часть=Гамильтона — Остроградского принцип|заглавие=Математическая энциклопедия. Т. 1|место=М.|издательство=Сов. энциклопедия|год=1977}} — 1152 стб. — Стб. 856—857.</ref>).
: <math> \delta \mathcal{S}\, = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t), \mathbf{\dot{q}}(t), t)\ {\rm d}t \, =\, 0\, \, .</math>
 
Այստեղ <math>S</math> - գործողություն է, <math>L</math> — դինամիկ համակարգի [[լագրանժյան|Լագրանժի ֆունկցիան]], <math>q</math> — [[Ազատության աստիճան (ֆիզիկա)|ընդհանրացված կոորդինատները]]։ Համիլտոնն այս սկզբունքը դրեց իր [[Համիլտոնյան մեխանիկա]]յի հիմքում։ Նա ցույց տվեց ֆունդամենտալ ֆունկցիայի ([[Համիլտոնի ֆունկցիա]]յի) կառուցման եղանակը և վերջավոր ձևափոխություններով, առանց [[Ինտեգրալ|ինտեգրման]], ստացվում են վարիացիոն խնդրի բոլոր լուծումները<ref name=RUM/>։
 
Ընդհանրացված կոորդինատներով գործողությունն ըստ Համիլտոնի ունի այսպիսի տեսք.
: <math>S[p, q]\, = \int \big(\sum_i p_i {\rm d}q_i - \mathcal{H}(q, p, t){\rm d}t\big)\, = \int \big(\sum_i p_i \dot q_i -\mathcal{H}(q, p, t)\big) {\rm d}t\, , </math>
 
որտեղ <math>\mathcal{H}(q, p, t) \equiv \mathcal{H}(q_1, q_2, \dots, q_N, p_1, p_2, \dots, p_N, t)</math> - Համիլտոնի ֆունկցիան է տրված համակարգի համար; <math>q \equiv q_1, q_2, \dots, q_N</math> — ընդհանրացված կոորդինատներ; <math>p \equiv p_1, p_2, \dots, p_N</math> - նրանցով զուգակցվող ընդհանրացված [[Իմպուլս (շարժման քանակ)|իմպուլսները]]։
Կոորդինատների և իմպուլսների հավաքածուն բնութագրում է (ժամանակի յուրաքանչյուր պահի) համակարգի դինամիկ վիճակը, և այդպիսով, լիովին որոշում է տրված համակարգի էվոլյուցիան(շարժումը)<ref name=RUM/>։
 
==== Համլիտոնի կանոնական հավասարումները ====
[[1835 թվական]]ին Համիլտոնը ստացավ մեխանիկական համակարգերի շարժման հավասարումների նոր ձևակերպում - '''[[Համիլտոնի կանոնական հավասարումներ]]'''{{sfn|Веселовский И. Н.|1974|с=224}}.
: <math>\frac{{\rm d}q_{_i}}{{\rm d}t}\;=\;\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{_i}}\, , \qquad \frac{{\rm d}p_{_i}}{{\rm d}t}\;=\;-\, \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{_i}}\, , \qquad i\, \, =\, \, 1, \dots , N\, \, :</math>
Կանոնական հավասարումների ստացված համակարգը պարունակում է կրկնակի անգամ շատ [[դիֆերենցիալ հավասարում]]ներ, քան Լագրանժի մոտ, բայց դրանք բոլորը առաջին կարգի են (Լագրանժի մոտ՝ երկրորդ)
 
Նմանատիպ կարծիք արտահայտել է ակադեմիկոս [[Վալենտին Վիտալևիչ Ռումյանցև|Վ. Վ. Ռումյանցևը]]. «Համիլտոնի օպտիկա-մեխանիկական անալոգիան պայմանավորեց անալիտիկ մեխանիկայի հարյուրամյա առաջընթացը»<ref name=RUM/>: Պրոֆեսոր Լ. Ս. Պոլակի կարծիքով, դա եղել է «տեսություն, որը գրեթե չուներ անալոգը մեխանիկայում», մեխանիկայում և կից գիտություններում բացել է վիթխարի հնարավորություններ{{sfn |Полак Л. С.|1994|с=495, 506 }}. Ակադեմիկոս [[Վլադիմիր Իգորևիչ Առնոլդ|Վ. Ի. Առնոլդը]] հետևյալ կերպ է բնութագրել
համիլտոնյան մեխանիկայի բացահայտումից հետո ընձեռված հնարավորությունները<ref>{{книга|автор=Арнольд В. И. |заглавие=Математические методы классической механики|место=М.|издательство=Наука|год=1974 |страницы=136}}</ref>.
{{քաղվածք|Համիլտոնյան տեսակետը թույլատրում է մինչև վերջ հետազոտել մեխանիկայի մի շարք խնդիրներ, չդիմելով լուծման այլ միջոցների (օրինակ, երկու անշարժ կենտրոնների [[ձգողականություն]]ը և եռասռնանի էլիպսոիդի վրա [[գեոդեզիկ գծեր]]ի մասին խնդիրները: Համիլտոնյան տեսակետը առավել մեծ նշանակություն ունի մերձավոր մեթոդների համար՝ [[Խոտորումների տեսություն]] ([[երկնային մեխանիկա]]), մեխանիկական բարդ համակարգերում շարժման բնույթը հասկանալու համար ([[Վիճակագրական մեխանիկա]]) և կապված մաթեմատիկական ֆիզիկայի այլ բաժինների հետ (օպտիկա, քվանտային մեխանիկա և այլն)|}}
 
Համիլտոնի մոտեցումն արդյունավետ եղավ ֆիզիկայի մաթեմատիկական շատ մոդելներում: Այդ ստեղծագործական մոտեցման վրա է հիմնված, օրինակ, Լանդաուի և Լիֆշիցի «Տեսական ֆիզիկա» ուսումնական դասընթացի (учебный курс «Теоретическая физика» Ландау и Лифшица) բազմահատորյակը:
* {{книга|автор=Александрова Н. В. |заглавие=Формирование основных понятий векторного исчисления // ''Историко-математические исследования''. Вып. XXVI|место=М.|издательство=Наука|год=1982|страниц=336|ref=Александрова Н. В.}} - С. 205-235.
* {{книга |часть=Гамильтон Уильям Роуан |автор=Боголюбов А. Н.
|заглавие=Математики. Механики. Биографический справочник
|ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/istoria/BMM.djvu
|место=Киев |издательство=Наукова думка |год=1983 |страниц=639 |ref=Боголюбов А. Н.}}
* {{книга|автор=[[Веселовский, Иван Николаевич|Веселовский И. Н.]]|заглавие=Очерки по истории теоретической механики|место=М.|издательство=Высшая школа|год=1974|страниц=287|ref=Веселовский И. Н.}}
* {{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии
|ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu
|том=I |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 |страниц=432 |ref=Клейн Ф.}}
* {{статья |автор=Крамар Ф. Д. |заглавие=Кватернионы в ранних работах Гамильтона
|издание=История и методология естественных наук |выпуск=V (математика) |год=1966
|место=М. |издательство=МГУ |страницы=175-184}}
* {{книга |заглавие=Математика XIX века. Том I. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей
|ответственный=Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича |место=М. |издательство=Наука |страниц=255 |год=1978 |ref=Математика XIX века. Том I}}
* {{книга |заглавие=Математика XIX века. Том II. Геометрия. Теория аналитических функций
|ответственный=Под ред. А. Н. Колмогорова, [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]] |место=М. |издательство=Наука |страниц=269 |год=1981 |ref=Математика XIX века. Том II}}
* {{книга|автор=[[Погребысский, Иосиф Бенедиктович|Погребысский И. Б.]] |заглавие=От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века|место=М.|издательство=Наука|год=1966|страниц=327|ref=Погребысский И. Б.}}
* {{книга |автор=Полак Л. С. |заглавие=Уильям Гамильтон, 1805-1865 |место=М. |издательство=Наука |год=1993 |страниц=270
|isbn=5-02-000216-X |ref=Полак Л. С.}}
** {{книга |автор=Полак Л. С. |часть=Уильям Гамильтон, 1805-1865 |ref=Полак Л. С.
|заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука
|место=М. |год=1994 |серия=Классики науки }}
* {{статья|автор=Полак Л. С. |заглавие=Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения)
|издательство=АН СССР |издание=Труды Института истории естествознания |год=1956
|том=15 (История физ.-мат. наук) |страницы=206-276 |ref=Полак Л. С. }}
* {{книга |автор=Стиллвелл Д. |заглавие=Математика и её история |ref=Стиллвелл Д.
|место=Москва-Ижевск |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2004 |страниц=530 }}
* {{книга|автор=Стройк Д. Я. |заглавие=Краткий очерк истории математики |издание=4-е изд.
|место=М.|издательство=Наука|год=1981|страниц=283|ref=Стройк Д. Я.}}
* {{книга |автор=Graves, Robert Perceval. |заглавие=Life of Sir William Rowan Hamilton
|издательство=Dublin University Press |год=1882-1889 }}
** [https://archive.org/details/lifeofsirwilliam01gravuoft Volume I] {{nbsp|3}} [https://archive.org/details/lifeofsirwilliam02gravuoft Volume II] {{nbsp|3}} [https://archive.org/details/lifeofsirwilliam03gravuoft Volume III]