Վիքիպեդիա

«Իմպուլսի մոմենտ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Դիտել պատմությունը
← Նախորդ տարբՀաջորդ տարբ →
Content deleted Content added
ՎիզուալԵլատեքստ
չ Ռոբոտ․ Տեքստի ավտոմատ փոխարինում (- , +,, -, +, , - + )
Տող 17.
=== Սահմանում ===
Նյութական կետի <math>\mathbf L</math> իմպուլսի մոմենտը որոշակի հաշվարկման սկզբնակետի նկատմամբ սահմանվում է որպես նրա [[շառավիղ-վեկտոր]]ի և [[իմպուլս (շարժման քանակ)|իմպուլսի]] [[վեկտորական արտադրյալ]].
: <math>~\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}, </math>
որտեղ <math>~\mathbf r</math>-ը մասնիկի շառավիղ-վեկտորն է տրված հաշվարկման համակարգում ընտրված անշարժ սկզբնակետի նկատմամբ, <math>~\mathbf p</math>-ն՝ մասնիկի իմպուլսը։
 
Մի քանի մասնիկների համար իմպուլսի մոմենտը որոշվում է որպես նման անդամների (վեկտորական) գումար.
: <math>~\mathbf{L}=\sum_i\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i, </math>
որտեղ <math>~\mathbf r_i, \mathbf p_i</math>-ը համակարգի յուրաքանչյուր մասնիկի իմպուլսը և շառավիղ-վեկտորն են։
 
Սահմանային դեպքում մասնիկների թիվը կարող է անվերջ լինել, օրինակ զանգվածի անընդհատ բաշխումով պինդ մարմնի դեպքում կամ առհասարակ բաշխված համակարգի համար այն կարելի է գրել որպես <math>~\mathbf{L}=\int\mathbf{r}\times\mathbf{dp}, </math> որտեղ <math>\mathbf{dp}</math>-ը համակարգի անվերջ փոքր կետային տարրի իմպուլսն է։
 
[[Միավորների միջազգային համակարգ]]ում իմպուլսի մոմենտը չափվում է [[ջոուլ (չափման միավոր)|ջուլ]] •վայրկյան մեծությամբ։
Տող 37.
=== Հաշվարկը ===
Քանի որ իմպուլսի մոմենտը որոշվում է վեկտորական արտադրյալով, այն <math>~\mathbf r</math> և <math>~\mathbf p</math> վեկտորներին ուղղահայաց պսևդովեկտոր է։ Սակայն անփոփոխ առանցքի շուրջը պտույտի դեպքում ավելի հարմար է ոչ թե իմպոււլսի մոմենտը դիտարկել որպես պսևդովեկտոր, այլ՝ նրա [[պրոյեկցիա]]ն [[պտտման առանցք]]ի վրա որպես սկալյա, որի նշանը կախված է պտտման ուղղությունից։ Եթե ընտրված է հաշվարկման սկզբնակետով անցնող առանցք, դրա վրա անկյունային մոմենտի պրոյեկցիայի հաշվարկի համար կարել է ցույց տալ մի շարք կանոններ՝ երկու վեկտորների վեկտորական արտադրյալը գտնելու ընդհանուր կանոններին համապատասխան.
: <math>L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta_{r, \;p}, </math>
 
որտեղ <math>~\theta_{r, \;p}</math>-ն <math>~\mathbf r</math>-ի և <math>~\mathbf p</math>-ի կազմած անկյունն է, որը որոշվում է այնպես, որ պտույտը <math>~\mathbf r</math>-ից դեպի <math>~\mathbf p</math> տեղի ունենա տպպման առանցքի դրական մասում գտնվող դիտորդին երևացող կողմից ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Պտտման ուղղությունը կարևոր է հաշվարկի ժամանակ, քանի որ դրանով է որոշվում պրոյեկցիայի նշանը։
 
<math>~\mathbf r</math> գրենք <math>~\mathbf{r} = \mathbf{r_{\parallel}}+\mathbf{r_{\perp}}</math> տեսքով, որտեղ <math>~\mathbf{r_{\parallel}}</math>-ը բաղադրիչ շառավիղ-վեկտորն է, որը զուգահեռ է իմպուլսի վեկտորին, իսկ <math>~\mathbf{r_{\perp}}</math>-ը՝ ուղղահայացն է։ <math>~\mathbf{r_{\perp}}</math>-ը ըստ էության պտտման առանցքի հեռավորությունն է <math>~\mathbf p</math> վեկտորից, որը սովորաբար կոչվում է «ուս»։ Նման կերպով կարելի է իմպուլսի վեկտորը բաժանել երկու բաղադրիչների. Շառավիղ-վեկտորին զուգահեռ <math>~\mathbf{p_{\parallel}}</math> և ուղղահայաց <math>~\mathbf{p_{\perp}}</math>։ Այժմ, վեկտորական արտադրյալի գծայնությունը, ինչպես նաև այն հատկությունը, ըստ որի զուգահեռ վեկտորների արտադրյալը հավասար է զրոյի, կարելի է ստանալ ևս երկու արտահայտություններ <math>~L</math>-ի համար.
Տող 45.
: <math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = (\mathbf{r_{\perp}}+\mathbf{r_{\parallel}})\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p} + \mathbf{r_{\parallel}}\times \mathbf{p} = \mathbf{r_{\perp}}\times \mathbf{p}.</math>
 
: <math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = \mathbf{r}\times (\mathbf{p_{\perp}}+\mathbf{p_{\parallel}}) = \mathbf{r}\times\mathbf{p_{\perp}}.</math>
 
=== Անկյունային մոմենտի պահպանումը ===
Տող 53.
: <math>\tau = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} </math>։
Այսպիսով, համակարգի փակ լինելու պահանջը կարելի է թուլացնել մինչև արտաքին ուժերի գլխավոր (գումարային) մոմենտի զրոյնի հավասար լինելու պահանջ.
: <math>\mathbf{L}_{\mathrm{system}} = \mathrm{constant} \leftrightarrow \sum \tau_{\mathrm{ext}} = 0, </math>
որտեղ <math>~\tau_{\rm ext}</math>-ն մասնիկների համակարգին կիրառված ուժերից մեկն է։ Այս պահանջը տեղի ունի նաև այն ժամանակ, երբ արտաքին ուժերը բացակայում են։
 
Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը մաթեմատիկորեն բխում է տարածության [[իզոտրոպություն]]ից, այսինքն՝ տարածության ինվարիանտությունից կամայական անկյունով պտտման հանդեպ։ Կամայական ավներջ փոքր <math>~\delta \varphi</math> անկյունով պտտելիս <math>~i</math> շառավիղ-վեկտորը փոխվում է <math>~\delta \mathbf{r}_i = \delta \varphi \times \mathbf{r}_i</math>-ով, իսկ արագությունը՝ <math>~\delta \mathbf{v}_i = \delta \varphi \times \mathbf{v}_i</math>։ Համակարգի <math>~\mathcal L</math> [[լագրանժյան|Լագրանժի ֆունկցիան]] տարածության իզոտրոպության հետևանքով այդպիսի պտույտի ժամանակ չի փոխվում։ Այդ պատճառով
 
<math>\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i, \; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\mathbf{r}_i, \; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)= 0</math>։
 
Հաշվի առնելով <math>\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}}, \; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\dot p_{i}}</math>, որտեղ <math>~\mathbf p_i</math>-ն <math>~i</math>-րդ մասնիկի ընդհանրացված իմպուլսն է, վերջին արտահայտության գումարի յուրաքանչյուր բաղադրիչ կարելի է արտագրել
 
<math>\dot {\mathbf p_i} \, \delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\, \delta \varphi \times \mathbf {\dot r_i}</math>
 
տեսքով։ Այժմ, օգտվելով [[խառը արտադրյալ]]ի հատկությունից, կատարենց վեկտորների ցիկլիկ տեղափոխությունի, ինչի արդյունքում, դուրս հանելով ընդհանուր բազմապատկիչը, կստանանք.
 
<math>\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0, </math>
 
որտեղ <math>\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i</math>-ը համակարգի իմպուլսի մոմենտն է։ Քանի որ <math>\delta \varphi</math>-ն կամայական է, <math>\delta \mathcal L = 0</math> արտահայտությունից հետևում է <math>~\frac{d \mathbf L}{dt} = 0</math>։
Տող 74.
 
== Իմպուլսի մոմենտը էլեկտրադինամիկայում ==
[[Էլեկտրամագնիսական դաշտ]]ում լիցքավորված մասնիկի շարժման ժամանակ <math>~p</math> [[կանոնիկ իմպուլս]]ը [[Տրամաչափային ինվարիանտություն|ինվարիանտ]] չէ։ Որպես հետևանք, <math>~ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} </math> իմպուլսի կանոնիկ մոմենտը նույնպես ինվարիանտ չէ։ Վերցնենք իրական իմպուլսը, որը նաև կոչվում է «կինետիկ իմպուլս».
 
: <math>~ \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}, </math>
որտեղ <math>~e</math>-ն [[էլեկտրական լիցք]]ն է, <math>~c</math>-ն՝ [[լույսի արագություն]]ը, <math>~A</math>-ն՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի [[վեկտորական պոտենցիալ]]ը։ Այսպիսով, <math>m</math> զանգվածով, լիցքավորված մասնիկի [[Համիլտոնի ֆունկցիա|համիլտոնյանը]] էլեկտրամագնիսական դաշտում՝
 
: <math> H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi, </math>
որտեղ <math>~\varphi</math>-ը էլեկտրամագնիսական դաշտի [[սկալյար պոտենցիալ]]ն է։ Ինվարիանտ իմպուլսի մոմենտը կամ «կինետիկ իմպուլսի մոմենտը» որոշվում է
Տող 94.
Մաթեմատիկորեն լրիվ իմպուլսի մոմենտը քվանտային մեխանիկայում որոշվում է որպես երկու մասերի՝ ուղեծրային և սպինային մոմենտների գումարի [[ֆիզիկական մեծության օպերատոր|օպերատոր]]։ Առաջին օպերատորն ազդում է ալիքային ֆունկցիայի տարածական կախվածության վրա՝
 
: <math>\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}, </math>
 
որտեղ <math>\hat{\mathbf{r}}</math> и <math>\hat{\mathbf{p}}</math>-ը համապատասխանաբար կոորդինատի և իմպուլսի օպերատորներն են, իսկ երկրորդը՝ սպինայինի վրա։ Մասնավորապես, էլեկտրաչեզոք և սպին չունեցող մեկ մասնիկի համար անկյունային մոմենտի օպերատորը կարելի է գրել որպես
 
: <math>\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla), </math>
 
որտեղ <math>\nabla</math>-ը [[նաբլա օպերատոր]]ն է։ Սա իմպուլսի մոմետնի հաճախ հանդիպող օպերատորն է, որն ունի հետևյալ հատկությունը՝
 
: <math>[L_i, \; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i, \; \mathbf{L}^2 \right] = 0</math>, որտեղ <math>\varepsilon_{ijk}</math>-ը [[Լեվի֊Չիվիտի սիմվոլ]]ն է։
 
Ավելի կարևոր հատկություն է փոխատեղելիությունը էլեկտրաչեզոք և սպին չունեցող մասնիկի համիլտոնյանի հետ՝
: <math>\left[L_i, \; H \right] = 0</math>
 
=== Պտտման համաչափություն ===
Տող 112.
 
Այս օպերատորի [[սեփական արժեք]]ները հետևյալն են՝
: <math> L^2 \mid l, \; m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) \mid l, \; m \rang </math>
: <math> L_z \mid l, \; m \rang = \hbar m \mid l, \; m \rang, </math>
 
որտեղ
: <math>\lang \theta , \; \varphi \mid l, \; m \rang = Y_{l, \;m}(\theta, \;\varphi)</math>
սֆերիկ ֆունկցիաներ են։
 
Տող 131.
Սա կարելի է գրել ըստ <math>\rho</math> խտության՝
: <math>\mathbf L = \int\limits_V {\mathbf r\times \mathbf v \rho dV}</math>։
Եթե ընդունենք, որ <math>\rho(x, y, z)</math> ընդհանրացված ֆունկցիա է, ապա վերջին բանաձևը կիրառելի է ինչպես անընդհատ, այնպես էլ՝ դիսկրետ բաշխումով համակարգերի համար։
 
Համաչափության առանցքներից որևէ մեկի շուրջ (կամ, ընդհանուր դեպքում, իներցիայի գլխավոր առանցքների շուրջ) որպես ամբողջություն (որպես բացարձակ պինդ մարմին) պտտական շարժում կատարող համակարգերի համար ճիշտ է
: <math>~\mathbf{L}= I \boldsymbol{\omega}, </math>
Առնչությունը, որտեղ <math>~I</math>-ը [[իներցիայի մոմենտ]]ն է պտտման առանքցի հանդեպ, <math>~\boldsymbol\omega</math>-ն՝ [[անկյունային արագություն|անկյունային արագության]] վեկտորը։
 
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/wiki/Իմպուլսի_մոմենտ» էջից