Վիքիպեդիա

«Այնշտայնի դաշտի հավասարումներ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Դիտել պատմությունը
← Նախորդ տարբՀաջորդ տարբ →
Content deleted Content added
ՎիզուալԵլատեքստ
չ Բոտ: կոսմետիկ փոփոխություններ
չ Ռոբոտ․ Տեքստի ավտոմատ փոխարինում (- , +,, -, +, , - + )
Տող 9.
== Մաթեմատիկական տեսքը ==
Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝<ref name="ein"/>
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\, R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}</math>
որտեղ <math>R_{\mu \nu}\, </math>-ը [[Ռիչիի թենզոր|Ռիչիի կորության թենզորն]] է, <math>g_{\mu \nu}\, </math>-ն՝ մետրիկ թենզորը, <math>\Lambda\, </math>-ն՝ [[կոսմոլոգիական հաստատուն]]ը, <math>G\, </math>-ն՝ [[գրավիտացիոն հաստատուն|նյուտոնյան գրավիտացիոն հաստատունը]], <math>c\, </math>-ն՝ [[լույսի արագություն]]ը վակուումում, <math>R\, </math>-ը՝ [[սկալյար կորություն]]ը, <math>T_{\mu \nu}\, </math>-ն՝ [[էներգիա-իմպուլսի թենզոր]]ը։
 
Այնշտայնի դաշտի հավասարումները թենզորական հավասարումներ են, որոնք առնչվում են սիմետրիկ 4×4 թենզորների համակարգին։ Յուրաքանչյուր թենզոր ունի 10 անկախ բաղադրիչ։ [[Բիանկիի նույնություն]]ները անկախ հավասարումների թիվը կրճատում են՝ reduce the number 10-ից 6 դարձնելով, թողնելով չորս [[ազատության աստիճաններ]]ով [[վեկտորական պոտենցիալի տրամաչափավորում|տրամաչափավորված]] մետրիկան, ինչը համապատասխանում է կոորդինատական համակարգ ընտրելու ազատությանը։
Տող 19.
 
Այնշտայնի դաշտի հավասարումները ավելի կոմպակտ կարող ենք գրել՝ սահմանելով [[Այնշտայնի թենզոր]]ը՝
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu}, </math>
 
որը համաչափ երկրորդ ռանգի թենզոր է և ֆունկցիա է չափականությունից։ Այդ դեպքում դաշտի հավասարումները կարելի է գրել որպես
Տող 25.
 
Կիրառելով [[երկրաչափականացված միավորների համակարգ]], որտեղ ''G'' = ''c'' = 1, սա կարող ենք գրել որպես
:<math>G_{\mu \nu} + g_{\mu \nu} \Lambda = 8 \pi T_{\mu \nu}\, </math>։
 
Ձախ մասի արտահայտությունը ներկայացնում է տարածաժամանակի կորությունը՝ ինչպես սահմանված է չափականությամբ, աջ մասի արտահայտությունը ներկայացնում է տարածաժամանակում պարունակված նյութը և էներգիան։ Այս դեպքում Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կարելի է ներկայացնել որպես հավասարումների համակարգ, որոնք թելադրում են, թե ինչպես են նյութը և էներգիան սահմանում ըարածաժամանակի կորությունը։
Տող 35.
:<math>
\begin{align}
g_{\mu \nu} & = [S1] \times \operatorname{diag}(-1, +1, +1, +1) \\[6pt]
{R^\mu}_{\alpha \beta \gamma} & = [S2] \times (\Gamma^\mu_{\alpha \gamma, \beta}-\Gamma^\mu_{\alpha \beta, \gamma}+\Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma \alpha}-\Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta \alpha}) \\[6pt]
G_{\mu \nu} & = [S3] \times {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}
\end{align}
Տող 44.
:<math>R_{\mu \nu}=[S2]\times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} </math>։
 
Այս սահմանումներով Միսները, Թորնը և Ուիլլերը դրանք դասակարգում են որպես <math>(+++)\, </math>, մինչդեռ Վայնբերգը (1972)<ref>{{harvnb|Weinberg|1972}}</ref> նշում է <math>(+--)\, </math>, Փիբլսը (1980){{cn|date=October 2014}} Էվստատիուն (1990){{cn|date=October 2014}}՝ <math>(-++)\, </math>, Մինչդեռ Փիքոքը, (1994){{cn|date=October 2014}}, Ռինդլերը (1977){{cn|date=October 2014}}, Աթվաթրը(1974){{cn|date=October 2014}}՝ <math>(-+-)\, </math>։
 
Ռիչիի թենզորի սահմանման համար հեղինակները, ներառյալ Այնշտայնը, տարբեր նշաններ են կիրառել, ինչի արդյունքում աջ մասի հաստատունը նշանը բացասական է.
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\, R - g_{\mu \nu} \Lambda = -{8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}</math>։
 
Այս երկու տարբերակներում էլ կոսմոլոգիական անդամի նշանը կփոխվի, եթե +−−− մետրիկական [[նշանային պայմանավորվածությունը]] կիրառվի, ոչ թե MTW −+++ մետրիկական նշանային պայմանավորվածությունը, որն էլ օգտագործվել է վերևում։
Տող 56.
 
որտեղ <math> D </math>-ն տարածաժամանակի չափականությունն է։ Այս արտահայտությունը կարելի է գրել որպես
:<math>-R + \frac{D \Lambda}{(D/2 -1)} = {8 \pi G \over c^4} \frac{T}{D/2-1} </math>։
 
Ավելացնելով <math>- {1 \over {2}} g_{\mu \nu} \, </math> բազմապատիկչը, կստանանք՝
:<math>R_{\mu \nu} - \frac{g_{\mu \nu} \Lambda}{D/2-1} = {8 \pi G \over c^4} \left(T_{\mu \nu} - {1 \over {D-2}}T\, g_{\mu \nu}\right) </math>։
 
Օրինակ, <math>D=4</math> չափականությամբ այն կրճատվում է, դառնալով
:<math>R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} \left(T_{\mu \nu} - {1 \over 2}T\, g_{\mu \nu}\right) </math>։
 
== Կոսմոլոգիական հաստատուն ==
Այնշտայնը ձևափոխեց իր սկզբնական դաշտի հավասարումները՝ ներառելով <math>\Lambda</math> [[տիեզերական հաստատուն]]ը, որը ուղիղ համեմատական է [[մետրիկ (մաթեմատիկա)|մետրիկ ֆունկցիային]]՝
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\, R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}</math>
 
Քանի որ <math>\Lambda</math>-ն հաստատուն է, էներգիայի պահպանման օրենքը մնում է անփոփոխ։
Տող 72.
Այնշտայնը կոսմոլոգիական հաստատունի անդամն ավելացնում է՝ պահպանելու համար [[ստատիկ տիեզերք]]ը։ Սակայն հաջողության չի հասնում, քանի որ.
 
* այս տեսությամբ նկարագրվող տիեզերքը կայուն չէ,
* [[Էդվին Հաբլ]]ի դիտումները հաստատեցին, որ մեր տիեզերքը [[տիեզերքի ընդարձակում|ընդարձակվում է]]։
 
Տող 100.
Հարաբերականության ընդհանուր տեսության համապատասխանությունը էներգիայի և իմպուլսի լոկալ պահպանմանն արտահայտվում է որպես
 
:<math>\nabla_\beta T^{\alpha\beta} \, = T^{\alpha\beta}{}_{;\beta} = 0</math>։
 
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
Տող 106.
|-
|
Համաձայն դիֆերենցիալ Բիանկիի նույնությանը,
:<math>R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\varepsilon]} = \, 0</math>
 
ունենալով <math>g^{\alpha\gamma}</math>-ն և կիրառելով այն փաստը, որ մետրիկ թենզորը կովարիանտ հաստատուն է, այսինքն <math>g^{\alpha\beta}{}_{;\gamma}=0</math>,
 
:<math>R^\gamma{}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon} + \, R^\gamma{}_{\beta\varepsilon\gamma;\delta} + \, R^\gamma{}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} = \, 0</math>
 
Ռիմանի թենզորի հակասիմետրիան թույլ է տալիս վերևի արտահայտության երկրորդ անդամը գրել հետևյալ տեսքով՝
 
:<math>R^\gamma{}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon} \, - R^\gamma{}_{\beta\gamma\varepsilon;\delta} \, + R^\gamma{}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} \, = 0</math>
 
որը համարժեք է
 
:<math>R_{\beta\delta;\varepsilon} \, - R_{\beta\varepsilon;\delta} \, + R^\gamma{}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} \, = 0</math>
 
որտեղ օգտագործեցինք Ռիչիի թենզորը։
Տող 125.
Կրկին, համաձայն մետրիկ ֆունկցիայի՝
 
:<math>g^{\beta\delta}(R_{\beta\delta;\varepsilon} \, - R_{\beta\varepsilon;\delta} \, + R^\gamma{}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma}) \, = 0</math>
 
ստանում ենք
 
:<math>R^\delta{}_{\delta;\varepsilon} \, - R^\delta{}_{\varepsilon;\delta} \, + R^{\gamma\delta}{}_{\delta\varepsilon;\gamma} \, = 0</math>
 
Ռիչիի կորության թենզորի և սկայլար կորության սահմանումները ցույց են տալիս, որ
 
:<math>R_{;\varepsilon} \, - 2R^\gamma{}_{\varepsilon;\gamma} \, = 0</math>
 
ինչը կարելի է գրել որպես
 
:<math>(R^\gamma{}_{\varepsilon} \, - \frac{1}{2}g^\gamma{}_{\varepsilon}R)_{;\gamma} \, = 0</math>
 
Վերջապես ըստ <math>g^{\varepsilon\delta}</math>-ի կունենանք
 
:<math>(R^{\gamma\delta} \, - \frac{1}{2}g^{\gamma\delta}R)_{;\gamma} \, = 0</math>
 
որը փակագծերիանդամի սիմետրիայից և Այնշտայնի թենզորի սահմանումից կտա
 
:<math> G^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = 0 </math>
 
Կիրառելով ԱՅնշտայնի դաշտի հավասարումները, կունենանք
 
:<math>\nabla_\beta T^{\alpha\beta} \, = T^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = 0</math>
 
|}
Տող 166.
|
Նյուտոնյան գրավիտացիան կարելի է գրել որպես <math>\Phi \!</math> (որը գրավիտացիոն պոտենցիալն է ջոուլ-կիլոգրամներով) սկալյար դաշտի տեսություն
:<math>\nabla^2 \Phi [\vec{x}, t] = 4 \pi G \rho [\vec{x}, t]</math>
 
որտեղ <math>\rho \!</math>-ն զանգվածի խտությունն է։ [[Ազատ անկում]] կատարող մասնիկի հետագիծը բավարարում է
:<math>\ddot{\vec{x}}[t] = - \nabla \Phi [\vec{x} [t], t] \, .</math>
 
հավասարմանը։ Թենզորական տեսքով սա կգրվի որպես
:<math>\Phi_{, i i} = 4 \pi G \rho \, </math>
:<math>\frac{d^2 x^i}{{d t}^2} = - \Phi_{, i}</math>։
 
Հարաբերականության ընդհանուր տեսությունում այս հավասարումները որոշ ''K'' հաստատունով և գեոդեզիկ հավասարումներով փոխարինվում են դաշտի հավասարումներով <!-- սա ինչ էր՝ չիմացա in the trace-reversed form -->
Տող 192.
որտեղ <math>\frac{d t}{d \tau}</math>-ի երկու գործակիցները կրճատվել են։ Դա կրճատվում է մինչև նյուտոնյան մասին, տալով
 
:<math>\Phi_{, i} \approx \Gamma^i_{0 0} = {1 \over 2} g^{i \alpha} (g_{\alpha 0 , 0} + g_{0 \alpha , 0} - g_{0 0 , \alpha}) </math>։
 
Մեր ենթադրությամբ α=i և ժամանակը (0) պետք է զրո լինի։ Ուստի սա պարզեցվում է՝ դառնալով
:<math>2 \Phi_{, i} \approx g^{i j} (- g_{0 0 , j}) \approx - g_{0 0 , i} \, </math>
ինչը բավարարվում է, եթե
:<math>g_{0 0} \approx - c^2 - 2 \Phi</math>։
Տող 202.
:<math>R_{0 0} = K \left(T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}\right)</math>
փոքր արագության և ստատիկ դաշտի ենթադրությունները նշանակում են, որ
:<math>T_{\mu \nu} \approx \mathrm{diag} (T_{0 0}, 0, 0, 0) \approx \mathrm{diag} (\rho c^4, 0, 0, 0) \, .</math>
 
Այսպիսով
:<math>T = g^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} \approx g^{0 0} T_{0 0} \approx {-1 \over c^2} \rho c^4 = - \rho c^2 \, </math>
 
և
:<math>K \left(T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}\right) \approx K \left(\rho c^4 - {1 \over 2} (- \rho c^2) (- c^2)\right) = {1 \over 2} K \rho c^4 \, .</math>
 
Ռիչիի թենզորի սահմանումից
:<math>
R_{0 0} = \Gamma^\rho_{0 0 , \rho} - \Gamma^\rho_{\rho 0 , 0}
+ \Gamma^\rho_{\rho \lambda} \Gamma^\lambda_{0 0}
- \Gamma^\rho_{0 \lambda} \Gamma^\lambda_{\rho 0}
Տող 218.
 
Պարզեցնող ենթադրությունների շնորհիվ Γ-ի քառակուսին վերանում է ժամանակի ածանցյալների հետ
:<math>R_{0 0} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \, .</math>
 
Միավորելով վերևի հավասարումները՝ կունենանք
:<math>\Phi_{, i i} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \approx R_{0 0} = K \left(T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}\right) \approx {1 \over 2} K \rho c^4 \, </math>
որը կրճատվում է նյուտոնյան դաշտի հավասարումների, եթե
:<math>{1 \over 2} K \rho c^4 = 4 \pi G \rho \, </math>
 
որը տեղի կունենա, եթե
:<math>K = \frac{8 \pi G}{c^4} \, .</math>
|}
 
Տող 246.
Եթե կիրառենք <math>T_{\mu \nu}</math> էներգիա-իմպուլսի թենզորը [[վակուում]] [[էլեկտրամագնիսական դաշտ]]ում
 
:<math>T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( F^{\alpha}{}^{\psi} F_{\psi}{}^{\beta} + {1 \over 4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right) </math>
 
ապա Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կոչվում են ''Այնշտայն-Մաքսվելի հավասարումներ'' (Λ [[կոսմոլոգիական հաստատուն]]ով, որն ըստ պայմանավորվածության ընտրվում է զրո).
Տող 256.
:<math>F^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = 0</math>
 
:<math>F_{[\alpha\beta;\gamma]}=\frac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma} + F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\frac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta, \gamma} + F_{\beta\gamma, \alpha}+F_{\gamma\alpha, \beta}\right)= 0. \!</math>
 
որտեղ կետ-ստորակետով նշանակված է [[կովարիանտ ածանցյալ]]ը, իսկ փակագծերով՝ ''հակասիմետրիկացումը''։ Առաջին հավասարումը պնդում է, որ ''F'' [[2-ձև]]ի 4-[[դիվերգենցիա]]ն զրո է, իսկ երկրորդը՝ որ [[դիֆերենցիալ ձև]]ը զրո է։ Վերջինից և [[Պուանկարեի լեմմա]]յից հետևում է, որ կոորդինատների կորագիծ համակարգու ''A''<sub>α</sub> էլեկտրամագնիսական դաշտի պոտենցիալը հնարավոր է ներկայացնել որպես
 
:<math>F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha} = A_{\alpha, \beta} - A_{\beta, \alpha}\!</math>
 
որտեղ ստորակետով նշանակված է մասնակի ածանցյալը։ Սա հաճախ համարժեք է Մաքսվելի կովարիանտ հավասարմանը, որից այն արտածվել է<ref>{{Cite book|last=Brown|first=Harvey|url=https://books.google.am/?id=T6IVyWiPQksC&pg=PA164&dq=Maxwell+and+potential+and+%22generally+covariant%22| title=Physical Relativity|page=164|publisher=Oxford University Press|year=2005 | isbn=978-0-19-927583-0}}</ref> However, there are global solutions of the equation which may lack a globally defined potential.<ref>{{Cite journal | last1=Trautman | first1=Andrzej | authorlink = Andrzej Trautman|title=Solutions of the Maxwell and Yang-Mills equations associated with hopf fibrings | year=1977 | journal=[[International Journal of Theoretical Physics]] | volume=16 | issue=9|pages=561–565 | doi=10.1007/BF01811088|bibcode = 1977IJTP...16..561T }}.</ref>։
Տող 269.
Այնշտայնի դաշտի հավասարումների ճշգրիտ լուծման հետազոտությունը ֆիզիկական [[տիեզերագիտություն|տիեզերագիտության]] հիմնական նպատակներից մեկն է։ Այն հանգում է [[սև խոռոչ]]ների կանխատեսմանը և [[տիեզերք]]ի զարգացման տարբեր մոդելների։
 
Այնշտայնի դաշտի հավասարման նոր լուծումներ կարող ենք հայտնաբերել օրթոնորմավորված հենանիշների (orthonormal frame) մեթոդով, որն առաջին անգամ առաջարկել են Էլիսը և ՄաքՔալունը<ref>Ellis, GFR and MacCallum, M, "A class of homogeneous cosmological models",
Comm. Math. Phys. Volume 12, Number 2 (1969), 108-141.</ref>։ Այս մոտեցմամբ Այնշտայնի դաշտի հավասարումները կրճատվում են կապված ոչ գծային սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի։ Ինչպես քննարկում են Հսուն և Ուենռայթը<ref>Hsu, L and Wainwright, J, "Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions", Class. Quantum Grav. 3 (1986) 1105-1124"</ref>, դաշտի հավասարումների ինքնանման (self-similar) լուծումները արդյունարար [[դինամիկական համակարգ]]երի ֆիքսված կետեր են։ Այս մեթոդների կիրառությամբ նոր լուծումներ է հայտնաբերել Լըբլանկը<ref>LeBlanc, V.G, "Asymptotic states of magnetic Bianchi I cosmologies", 1997 Class. Quantum Grav. 14 2281</ref> և Կոհլին ու Հասլամը<ref>Kohli, Ikjyot Singh and Haslam, Michael C, "Dynamical systems approach to a Bianchi type I viscous magnetohydrodynamic model", Phys. Rev. D 88, 063518 (2013)</ref>։
 
Տող 280.
:<math>
\det(g) = \frac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}
\, </math>
 
օգտագործելով [[Լևի-Չիվիտի սիմվոլ]]ը՝ մետրիկայի հակադարձը 4 չափականությամբ կարելի է գրել որպես
Տող 286.
:<math>
g^{\alpha\kappa} = \frac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} / \det(g)
\, .</math>
 
Տեղադրենք մետրիկայի հակադարձի այս սահմանումը հավասարումներում, այնուհետև բազմապատկենք երկու կողմերը (''g'')-ով, մինչև մետրիկ թենզորի և նրա առաջին և երկրորդ ածանցյալների պոլինոմիալ հավասարումներում հայտարարը վերանա։ Դաշտի համապասատխան վերասահմանումների դեպքում կարելի է պոլինոմիալ տեսքով գրել նաև հավասարումների ածանցյալները<ref>Einstein's Field Equations in Polynomial Form|http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0507026.pdf</ref>։
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/wiki/Այնշտայնի_դաշտի_հավասարումներ» էջից