«Աստիճանային շարք»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
չ չտողադարձվող բացատը (։Դ Non-breaking space) փոխարինում եմ սովորականով։ oգտվելով ԱՎԲ |
չ Բոտ: կոսմետիկ փոփոխություններ |
||
Տող 3.
որում գործակիցներ <math>{a_n}</math> ընտրվում է մի ինչ որ <math>{R}</math> [[Օղակ (մաթեմատիկա)|օղակից]]։
== Աստիճանային շարքերի տարածություն
[[Վեկտորական տարածություն|
<math>R[[X]]</math> տարածությունը ունի [[դիֆֆերենցիալ հանրահաշվ]]ի կառուցվածք ([[կոմուտատիվ գործողություն|կոմուտատիվ]] <math>{R}</math> օղակով, ամբողջական, միավորով, եթե այդպիսին է <math>{R}</math>) օղակը։ Այն հաճախ օգտագործում են մաթեմատիկայում նկատի առնելով, որ նրանում հեշտ ներկայացնելի և լուծելի է ֆորմալ դիֆֆերենցիալ-հանրահաշվական և նույնիսկ ֆունկցիոնալ հարաբերակցությունը (տես․ մեթոդ [[ածանցավոր ֆունկցիաներ]])։ Դրա օգտագործումով այդ հարաբերակցությունը փոխակերպվում է աստիճանական գործակիցներով հանրահաշվական հավասարման։ Եթե այն թույլատրվում է, ասում է ֆորմալ աստիճանային շարքի տրված խնդրի լուծման մասին։
<math>R[[X]]</math>- ում սահմամված է գումարման, բազմապատկման, [[ֆորմալ դիֆֆերենցում]] և [[ֆորմալ վերադրում]] գործողությունները։
Ենթադրենք
: <math>F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n, G(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nX^n, H(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nX^n.</math>
Այդ ժամանակ։
: <math>H = F + G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = a_n + b_n</math>
: <math>H = F \,\cdot\, G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{k+l=n}a_k b_l</math>
: <math>H = F \circ G \Leftrightarrow \forall n \, c_n = \sum\limits_{s=1}^n a_s \sum\limits_{k_1+\dots+k_s=n}b_{k_1}b_{k_2}\dots b_{k_s}</math> (այդ դեպում անհրաժեշտ է, որ պահպանվի
: <math>H = F' \Leftrightarrow \forall n \, c_n = (n+1)a_{n+1}</math>
Տող 28.
(Վերին սահմանի սահմանման առիթով <math>\varlimsup\limits_{n\rightarrow +\infty}</math> տես․ «[[Հաջորդականության մասնակի սահման]]» հոդվածը)։
Ենթադրենք <math>F(x)</math> և <math>G(x)</math>, երկու աստիճանային շարք են <math>{R_F}</math> и <math>{R_G}</math> զուգամիտության շառավիղներով։Այն ժամանակ
: <math>R_{F+G} \ge \min \{R_F,\, R_G\}</math>
: <math>R_{F\cdot G} \ge \min \{R_F, R_G\}</math>
Տող 37.
Հարցը <math>{|x|=R}</math> վերին սահմանի կետերում զուգամիտության շարքի մասին բավականին բարդ է շրջանի զուգամիտությունը և այստեղ ընդհանուր պատասխան չկա։ Ահա մի քանիսը շարքի զուգամիտության սահմանային կետերում շրջանի զուգամիտության մասին թեորեմայից։
* '''Դալամբերի հայտանիշ'''։ Եթե <math>n>N</math> և <math>\alpha>1</math> դեպքում,
: <math>\left| {a_n \over a_{n+1}} \right|\ge R \left(1 + {\alpha \over n}\right)</math> անհվասարությունը տեղի ունի,
: ապա
* '''[[Դիրիխլիի հայտանիշ]]'''։ Եթե <math>\Sigma \,a_n x^n</math> աստիճանային շարքի բոլոր գործակիցները դրական են և <math>a_n</math> հաջորդականությունը մոնոտոն զուգամիտվում է 0-ի, ապա այդ շարքը զուգամիտվում է <math>{|x|=1}</math> շրջանագծի բոլոր կետերում, բացի, գուցե <math>{x=1}</math> կետում։
Տող 45.
Աստիճանային շարքի գումարը, ինչպես <math>x</math> կոմպլեքս պարամետրի ֆունկցիա, հանդիսանում է [[վերլուծական ֆունկցիա]]յի տեսության ուսումնասիրման առարկա։
== Փոփոխակումներ և
''n'' '''փոփոխականով աստիճանային շարք''', դա ֆորմալ հանրահաշվական տեսքի արտահայտություն է,
: <math>F(X_1,X_2,\dots,X_n) = \sum\limits_{k_1,k_2,\dots,k_n=0}^{+\infty} a_{k_1,k_2,\dots,k_n}X_1^{k_1}X_2^{k_2}\dots X_n^{k_n}</math> կամ
: <math>F(X) = \sum\limits_{\alpha}a_{\alpha}X^{\alpha}, </math>
| |||