«Լապլասի օպերատոր»–ի խմբագրումների տարբերություն

No edit summary
{{Խմբագրում եմ|Գոհար Հովհաննեսյան}}
'''[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր''' ('''լապլասիան,''' դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է <math>\ \Delta</math> տառով: [[N-չափանի տարածություն|n-չափանի տարածությունում]] <math>F\ </math> ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
 
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>: Լապլասի օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>: [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում]] Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>: Լապլասի օպերատորը [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] է:
[[N-չափանի տարածություն|n-չափանի տարածությունում]] <math>F\ </math> ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>:
: Լապլասի օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>:
: [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում]] Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math>:
: Լապլասի օպերատորը [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] է:
 
== Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում ==
:: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math>
:: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math>
:: որտեղ <math>H_i\ </math>-ն [[Լամեի գործակիցներ|Լամեի գործակիցն]] է:
 
=== [[Գլանային կոորդինատներ]] ===
\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
</math>
</math>:: Այն դեպքում, երբ<math>\ f=f(r)</math> n-չափանի տարածության մեջ է՝
:: <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math>
 
<math>g^{ij}</math>-ով նշանակենք <math>(g_{ij})^{-1}</math> մատրիցի էլեմենտները՝
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>.
 
<math>F^i</math> տրված կոորդինատներով որոշվող <math>F</math> վեկտորական դաշտի դիվերգենցիան (որը ներկայացնում է <math>\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}</math> -ին կարգի դիֆֆերնցման օպերատորը) ''X'' բազմաձևի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
 
:: <math>\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)</math>,
:: իսկ ''f'' ֆունկցիայի [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] բաղադրիչները որոշվում են հետևյալ կերպ՝
:: <math>(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.</math> Լապլաս-Բելտրամի օպերատորը <math>X</math>-ի վրա որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝
 
:: <math>\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).</math>
<math>\Delta f</math>-ը սկալյար է, այսինքն չի փոփոխվում կոորդինատների ձևափոխության ժամանակ: