«Լապլասի օպերատոր»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
Տող 1.
{{Խմբագրում եմ|Գոհար Հովհաննեսյան}}
'''[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր'''('''լապլասիան,''' դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է <math>\ \Delta</math> տառով: [[N-չափանի տարածություն|n-չափանի տարածությունում]] <math>F\ </math> ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>: Լապլասի օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>: [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում]] Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math><ref>Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата [[Оператор набла|оператора набла]], поскольку из такой записи непонятно, [[Скалярное произведение|скалярное]] или [[векторное произведение]] подразумевается под возведением в квадрат.</ref>: Լապլասի օպերատորը [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] է:
== Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում == : [[Եռաչափ տարածություն|Եռաչափ տարածության]] մեջ կորագիծ օրթոգոնալ <math>q_1,\ q_2,\ q_3</math> կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝ :: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math>
:: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math>
Տող 7 ⟶ 10՝
=== [[Գլանային կոորդինատներ]] ===
:: Գլանային
▲:: <math> \Delta f
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
\left( r {\partial f \over \partial r} \right)
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
</math>
</math> === [[Սֆերիկ կոորդինատներ]] === Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝▼
=== [[Սֆերիկ կոորդինատներ]] ===
:: <math> \Delta f
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
Տող 29 ⟶ 34՝
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
</math> Այն դեպքում, երբ<math>\ f=f(r)</math> n-չափանի տարածության մեջ է՝
:: <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math>
=== [[Պարաբոլական կոորդինատներ]] === :: Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝ :: <math>
\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}
Տող 38 ⟶ 46՝
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
</math>
</math> === [[Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ]] === Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝▼
:: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.</math> === Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և [[Ռիմանի տարածություն]] === Դիցուք հարթ բազմաձև <math>X</math>-ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և <math>g_{ij}</math>-ն ռիմանյան [[մետրիկական թենզոր]] է <math>X</math>-ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝▼
=== [[Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ]] ===
▲
:: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.</math>
== Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և [[Ռիմանի տարածություն]] ==
▲::
:: <math>ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j</math> .
<math>g^{ij}</math>-ով նշանակենք <math>(g_{ij})^{-1}</math> մատրիցի էլեմենտները՝
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>.
| |||