«Լապլասի օպերատոր»–ի խմբագրումների տարբերություն

Առանց խմբագրման ամփոփման
No edit summary
No edit summary
{{Խմբագրում եմ|Գոհար Հովհաննեսյան}}
'''[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր'''('''լապլասիան,''' դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է <math>\ \Delta</math> տառով: [[N-չափանի տարածություն|n-չափանի տարածությունում]] <math>F\ </math> ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>: Լապլասի օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>: [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում]] Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math><ref>Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата [[Оператор набла|оператора набла]], поскольку из такой записи непонятно, [[Скалярное произведение|скалярное]] или [[векторное произведение]] подразумевается под возведением в квадрат.</ref>: Լապլասի օպերատորը [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] է: == Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում == [[Եռաչափ տարածություն|Եռաչափ տարածության]] մեջ կորագիծ օրթոգոնալ <math>q_1,\ q_2,\ q_3</math> կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
 
== Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում ==
: [[Եռաչափ տարածություն|Եռաչափ տարածության]] մեջ կորագիծ օրթոգոնալ <math>q_1,\ q_2,\ q_3</math> կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
:: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math>
:: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math>
 
=== [[Գլանային կոորդինատներ]] ===
:: Գլանային կոորդինատներով՝կոորդինատներով`
:: <math> \Delta f
 
:: <math> \Delta f
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
\left( r {\partial f \over \partial r} \right)
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
</math>
</math> === [[Սֆերիկ կոորդինատներ]] === Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
 
=== [[Սֆերիկ կոորդինատներ]] ===
</math> === [[Սֆերիկ կոորդինատներ]] ===:: Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
:: <math> \Delta f
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
</math> Այն դեպքում, երբ<math>\ f=f(r)</math> n-չափանի տարածության մեջ է՝
:: <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math> === [[Պարաբոլական կոորդինատներ]] === Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
 
=== [[Պարաբոլական կոորդինատներ]] ===
:: Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
:: <math>
\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
</math>
</math> === [[Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ]] === Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝
 
:: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.</math> === Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և [[Ռիմանի տարածություն]] === Դիցուք հարթ բազմաձև <math>X</math>-ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և <math>g_{ij}</math>-ն ռիմանյան [[մետրիկական թենզոր]] է <math>X</math>-ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
=== [[Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ]] ===
</math> === [[Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ]] === Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝
:: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.</math>
 
== Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և [[Ռիմանի տարածություն]] ==
:: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.</math> === Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և [[Ռիմանի տարածություն]] === Դիցուք հարթ բազմաձև <math>X</math>-ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և <math>g_{ij}</math>-ն ռիմանյան [[մետրիկական թենզոր]] է <math>X</math>-ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
:: <math>ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j</math> .
<math>g^{ij}</math>-ով նշանակենք <math>(g_{ij})^{-1}</math> մատրիցի էլեմենտները՝
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>.
:: <math>\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)</math>, а компоненты [[:ru:Градиент|градиента]] функции ''f'' — по формуле
:: <math>(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.</math> Оператор Лапласа — [[:ru:Бельтрами,_Эудженио|Бельтрами]] на <math>X</math>:
:: <math>\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).</math> Значение <math>\Delta f</math> является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат. == Применение == С помощью данного оператора удобно записывать уравнения [[:ru:Уравнение_Лапласа|Лапласа]], [[:ru:Уравнение_Пуассона|Пуассона]] и [[:ru:Волновое_уравнение|волновое уравнение]]. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, [[:ru:Квантовая_механика|квантовой механике]], во многих уравнениях [[:ru:Физика_сплошных_сред|физики сплошных сред]], а также при изучении равновесия [[:ru:Физика_поверхностей|мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз]] с поверхностным натяжением (см. [[:ru:Лапласово_давление|Лапласово давление]]), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям. == Вариации и обобщения ==
:* [[:ru:Оператор_Д’Аламбера|Оператор Д’Аламбера]] — обобщение оператора Лапласа для [[:ru:Гиперболическое_уравнение|гиперболических уравнений]]. Включает в себя вторую производную по времени.
:* [[:ru:Векторный_оператор_Лапласа|Векторный оператор Лапласа]] — обобщение оператора Лапласа на случай [[:ru:Вектор_(математика)|векторного]] аргумента. == См. также ==
:* [[:ru:Оператор_набла|Оператор набла]]
:* [[:ru:Уравнение_Лапласа|Уравнение Лапласа]]
:* [[:ru:Гармоническая_функция|Гармоническая функция]]
:* [[:ru:Матрица_Кирхгофа|Матрица Кирхгофа]]