«Խմբեր»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
Տող 1.
Դիցուք տրված է որևէ '''''G''''' բազմություն։ Ընդունված է ասել, որ այդ բազմության վրա սահմանված է գործողություն, եթե տրված է արտապատկերում '''''GxG''''' դեկարտյան արտադրյալից '''''G''''' բազմություն։ Այլ կերպ ասած G-ի տարրերի յուրաքանչյուր կարգավորված զույգին՝ '''(a,b)''' համապատասխանության մեջ է դրված միարժեքորեն որոշված '''''G'''''-ի որոշակի տարր։ '''(a,b)'''-ին համապատասխանող տարրը սովորաբար նշանակում են '''a×b'''-ով (կամ ուղղակի '''ab'''-ով, բաց թողնելով '''×''' նշանը) և ասում են, որ '''''G''''' բազմության վրա սահմանված է բազմապատկման գործողություն։
# '''(ab)c = a(bc)''' - '''ասոցիատիվության''' պայման
# գոյություն ունի '''e''' տարր '''''G'''''-ից, այնպիսին որ ցանկացած '''a'''-ի համար '''''G'''''-ից '''ae = ea = a''' - '''միավոր''' տարրի գոյության պայման
# ցանկացած a '''''G'''''-ի համար, գոյություն ունի '''b''' տարր '''''G'''''-ից, այնպիսին որ '''ab = ba = e''' - '''հակադարձ''' տարրի գոյության պայման
Ասոցիատիվության պայմանից բխում է, որ եթե սկզբից հաշվենք '''ab'''-ն հետո արդյունքը բազմապատկենք '''c'''-ով կստանանք ճիշտ նույն բանն ինչ կստացվի, եթե սկզբից հաշվենք '''bc'''-ն և հետո արդյունքը ձախից բազմապատկենք '''a'''-ով։ Այսինքն կարելի է գրել ուղղակի '''abc''' առանց փակագծեր օգտագործելու, քանի որ արդյունքը կախված չէ հաշվման կարգից։
Երկրորդ պայմանն ասում է, որ գոյություն ունի մեկ հատուկ տարր, որը նշանակվում է '''e''' տառով և կոչվում է '''միավոր''', որը բազմապատկելիս '''''G''''' բազմության որևէ տարրով արդյունքում տալիս է հենց այդ նույն տարրը (այսինքն միավորը խաղում է 1 թվի դերը)։ Միավոր տարրը միակն է։ Եթե ունենք 2 միավոր '''e<sub>1</sub>''' և '''e<sub>2</sub>''', ապա պարզ է, որ '''e<sub>1</sub> = e<sub>1</sub>e<sub>2</sub> = e<sub>2</sub>''':
Երրորդ պայմանը հաստատում է, որ ամեն մի '''a''' տարրի համար '''''G'''''-ից, կգտնվի '''''G'''''-ի այնպիսի '''b''' տարր, որ '''ab = ba = e''': Այդպիսի '''b'''-ն կոչվում է '''a'''-ի '''հակադարձ''' տարր և այն նշանակվում է '''a<sup>-1</sup>''' նշանով (թեև ընդհանուր դեպքում որևէ կապ չունի թվի հակդարձի հետ)։ Պարզ է, որ '''a'''-ն էլ իր հերթին '''b'''-ի հակադարձն է։ Հակադարձը միակն է։ Եթե '''b<sub>1</sub>'''-ը և '''b<sub>2</sub>'''-ը a-ի հակադարձերն են, ապա '''b<sub>1</sub> = b<sub>1</sub>(ab<sub>2</sub>) = (b<sub>1</sub>a)b<sub>2</sub> = b<sub>2</sub>''':
Եթե բացի (1)-(3) պայմաններից ճիշտ է նաև
4․ կամայական '''a, b''' տարրերի համար '''''G'''''-ից, '''ab = ba'''
պայմանը, ապա '''''G''''' խումբը կոչվում է '''տեղափոխելի''' կամ
Եթե ի սկզբանե ցանկանում են նշել, որ խումբը աբելյան է, բազմապատկման նշանի փոխարեն օգտագործում են գումարման '''+''' նշանը։ Այդ դեպքում միավոր տարրը նշանակվում է '''0'''-ով, իսկ '''a'''-ի հակադարձը՝ '''-a'''-ով, և այն անվանվում է
'''''G''''' խմբի գործողությունը "'''բազմապատկում'''" անվանելը և '''ab'''-ով նշանակելն արդարացված է այն բանով, որ գործողության կանոնները շատ նման են թվերի բազմապատկման կանոններին (և թվերի բազմապատկումն իրոք խումբ է սահմանում ոչ զրոյական իրական թվերի բազմության վրա)։ Դա թույլ է տալիս գործել օգտվելով հարմար դարձած թվաբանության ավանդական բանաձևերից։ Օրինակ, եթե ընդունենք որ '''a<sup>0</sup> = e''' և նշանակենք '''a<sup>n</sup>'''-ով (բնական '''n''' թվի համար) '''n''' հատ '''a'''-երի արտադրյալը, իսկ '''a<sup>-n</sup>'''-ով '''n''' հատ '''a<sup>-1</sup>'''-երի արտադրյալը, ապա դյուրին է համոզվել, որ կամայական ամբողջ '''m''' և '''n''' թվերի համար կիրառելի են հետևյալ ստանդարտ կանոննեևը․
'''a<sup>n</sup>a<sup>m</sup> = a<sup>m+n</sup>
(a<sup>m</sup>)<sup>n</sup> = a<sup>mn</sup>
'''
| |||