«Նյոթերի թեորեմ»–ի խմբագրումների տարբերություն

չ
clean up, փոխարինվեց: → (43) oգտվելով ԱՎԲ
չ (փոխարինվեց: [[File: → [[Պատկեր:)
չ (clean up, փոխարինվեց: → (43) oգտվելով ԱՎԲ)
[[Պատկեր:Noether.jpg|thumb|Էմմի Նյոթերը գերմանացի հեղինակավոր մաթեմատիկոս էր, հայտնի [[աբստրակտ հանրահաշիվ|աբստրակտ հանրահաշվում]] և [[տեսական ֆիզիկա]]յում իր ներդրումներով։]]
'''Նյոթերի թեորեմը''' պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ [[սիմետրիա (ֆիզիկա)|սիմետրիայի]] համապատասխանում է որոշակի [[պահպանման օրենք]].
*[[Ժամանակ]]ի համասեռությանը համապատասխանում է [[էներգիայի պահպանման օրենք]]ը։
*[[Տարածություն|Տարածության]] համասեռությանը համապատասխանում է [[իմպուլսի պահպանման օրենք]]ը։
*Տարածության [[Իզոտրոպություն|իզոտրոպությանը]] համապատասխանում է [[իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք]]ը։
*[[Տրամաչափային սիմետրիա]]յին համապատասխանում է [[Լիցքի պահպանման օրենք|էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը]] և այլն։
 
Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է [[գործողություն (ֆիզիկա)|գործողության]] [[ֆունկցիոնալ]] ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է [[լագրանժյան]]ի [[ինվարիանտ (ֆիզիկա)|ինվարիանտությունը]] ձևափոխությունների որոշ [[Լիի խումբ|անընդհատ խմբի]] նկատմամբ։
 
Թեորեմը սահմանել են [[Գյոթինգենի համալսարան|գյոթինգենյան դպրոցի]] գիտնականներ [[Դավիդ Հիլբերտ]]ը, [[Ֆելիքս Կլայն]]ը և [[Էմմի Նյոթեր]]ը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին<ref>{{cite journal | author = Noether E | year = 1918 | title = Invariante Variationsprobleme | journal = Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse | volume = 1918 | pages = 235–257 }}</ref>։
Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ
: <math>\ \partial_\mu J^\mu = 0,</math>
այդ պատճառով <math>J</math> հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ ''ժամանակ'' կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա <math>J</math> հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը [[կոմպակտություն (մաթեմատիկա)|կոմպակտ չէ]], այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի [[էներգիա-իմպուլսի թենզոր]]ը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։
 
=== Դիֆերենցիալ հավասարումներ ===
 
Դիցուք ունենք <math>S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x</math> գործողության ֆունկցիոնալով [[վարիացիոն խնդիր]]։ Այստեղ <math>L</math>-ը [[լագրանժյան]]ն է. <math>x</math>-ն՝ անկախ փոփոխականներ, <math>u</math>-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ <math>x</math>-ից։ <math>L</math> կարող է կախված լինել նաև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։
 
Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի [[դիֆերենցիալ հավասարումներ]]ի, որոնք կարելի է գրել
<math>\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q</math>
 
տեսքով, որտեղ <math>\mathrm{E}</math>-երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝
 
<math>\mathrm{E_\alpha}= \frac{\partial}{\partial u_\alpha}-\sum_{i=1}^{p} \frac{d}{d x_i}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{x_i}} + \dots ~~~</math>,
<math>\mathrm{Div} \vec P =0</math>
 
տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ <math>\mathrm{Div}</math>-ն լրիվ [[դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիա]] ([[լրիվ ածանցյալ]]ներով դիվերգենցիալ) է ըստ <math>x</math>-ի։ <math>\vec P</math>-ն <math>u</math>-ի, <math>x</math>-ի և ըստ <math>x</math>-ի <math>u</math>-ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։
''Պահպանման տրիվալ օրենքներ'' են կոչվում այն պահպանման օրենքները,
 
* որոնց համար <math>\mathrm{Div} \vec P =0</math>-ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
* որոնց համար <math>\vec P</math>-ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
* որոնց համար <math>\vec P</math>-ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։
 
<math>\mathrm{Div} \vec P =\sum_\alpha Q_\alpha E_\alpha (L)</math>։
 
<math>Q_\alpha</math> կախված են <math>u</math>-ից, <math>x</math>-ից և ըստ <math>x</math>-ի <math>u</math>-ի ածանցյալներից և կոչվում են ''պահպանման օրենքի բնութագրեր''։
 
==== Վարիացիոն սիմետրիաներ ====
<math>\vec v=\sum_{i=1}^{p}\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^{q}\varphi_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha}</math>։
 
«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ <math>\xi</math> և <math>\varphi</math>-ն կարող են կախված լինել ոչ միայն <math>u</math>-ից և <math>x</math>-ից, այլև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի։
 
''Սահմանում.'' <math>\vec v</math>-ն կոչվում է <math>S</math> ֆունկցիոնալի ''վարիացիոն սիմետրիա'', եթե գոյություն ունի <math>\vec{\mathrm{B}}(\vec u, \vec x,\dots )</math> համախումբ այնպես, որ
<math>\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr)</math>
 
բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի <math>\vec v</math>-ից վերցնել այնպիսի <math>\partial /\partial u^\alpha_J</math>-ով բաղադրիչներ, որոնց համար <math>u^\alpha_J</math>-ն մտնում է <math>L</math>-ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։
 
Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ <math>\vec v</math>-ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են <math>S</math> ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.
 
Եթե <math>\vec v</math>-ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա <math>\vec v</math>-ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.
 
<math> \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L) \vert_{\mathrm{E}_\alpha (L)=0}=0</math>։
==== Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր ====
 
<math>Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i</math> ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է <math>\vec v</math> վեկտորական դաշտի բնութագիր։ <math>\vec v</math>-ի փոխարեն կարելի է վերցնել
 
<math>\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha}</math>
 
Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է <math>\vec v</math>-ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։
<math>\vec v</math>-ն և <math>\vec v_Q</math>-ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են <math>Q_\alpha</math>-ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ <math>\vec v_Q</math>-ի շարունակությունը որոշվում է <math>\vec v</math>-ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու <math>\xi</math>- երի ներդրումները։
 
== Պահպանման օրենքներ ==
 
Դասական մեխանիկայում [[էներգիա]]յի, [[իմպուլս (շարժման քանակ)|իմպուլսի]] և [[իմպուլսի մոմենտ]]ի [[պահպանման օրենքներ]]ն արտածվում են համակարգի [[լագրանժյան]]ի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների ([[շարժման ինտեգրալ]]ների), օրինակ, [[երկու մարմինների խնդիր|երկու մարմինների]] գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ [[Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտոր]]ի պահպանման։
 
== Կիրառություններ ==
Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև [[սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ]]ի ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,
 
* Համակարգի [[իմպուլսի պահպանման օրենք|իմպուլսի պահպանումը]] բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե ''X'' առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով <math>p_x</math> իմպուլսը պահպանվում է։
* [[Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք|Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը]] բխում է տարածության [[պտույտ]]ների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
* [[Էներգիայի պահպանման օրենք|Էներգիայի պահպանումը]] ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։
 
[[Մասնակի ածանցյալներով հավասարումներ]]ի դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։
 
Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես [[քվանտային մեխանիկա]]ն է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։
 
Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը ''Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն'' է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, [[էլեկտրական լիցք]]ի պահպաման օրենքը բխում է մասնիկի [[կոմպլեքս թվեր|կոմպլեքս]] [[ալիքային ֆունկցիա]]յի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի [[վեկտորական պոտենցիալ|վեկտորական]] ու [[սկալյար պոտենցիալ|սկալյար]] պոտենցիալների համապատասխան [[տրամաչափային ինվարիանտություն|տրամաչափավորումից]]։
 
Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար [[սև խոռոչ]]ի [[էնտրոպիա (թերմոդինամիկա)|էնտրոպիան]] հաշվելու համար<ref>[http://arxiv.org/abs/gr-qc/9503052 Calculating the entropy of stationary black holes]. {{ref-en}}</ref>։
* [[Ջոն Բաես]]ի [http://math.ucr.edu/home/baez/noether.html հոդվածը Նյոթերի թեորեմի մասին] {{ref-en}}
* Nina Byers, [http://www.physics.ucla.edu/~cwp/articles/noether.asg/noether.html E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws]
* [http://www.mathpages.com/home/kmath564/kmath564.htm Նյոթերի թեորեմը] MathPages կայքում {{ref-en}}
* [http://arxiv.org/abs/hep-th/0602190 Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem]. {{ref-en}}
* ''Giachetta G., Mangiarotti L.,Sardanashvily G.'' On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. '''50''' (2009) 012903; [http://xxx.lanl.gov/abs/0807.3003 arXiv 0807.3003].
1 105 242

edits