«Լագրանժյան»–ի խմբագրումների տարբերություն

չ
clean up, փոխարինվեց: → (22) oգտվելով ԱՎԲ
չ (clean up, փոխարինվեց: → (22) oգտվելով ԱՎԲ)
'''Լագրանժյան''', [[դինամիկ համակարգ]]ի Լագրանժի ֆունկցիան։ Նշանակվում է <math> \mathcal {L} [\varphi_i] </math>: Անվանումը ստացել է [[Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ]]ի պատվին։ Լագրանժյանը <math> \ \varphi_i (s) </math> [[ազատության աստիճաններ|ընդհանրացված կոորդինատների]] [[ֆունկցիա (մաթեմատիկա)|ֆունկցիա]] է, որը նկարագրում է համակարգի զարգացումը։ Օրինակ՝ դասական մեխանիկայի համար [[շարժման հավասարումներ]]ը այս մոտեցմամբ ստացվում են [[փոքրագույն գործողության սկզբունք]]ից, որը գրվում է որպես
: <math> \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0 </math>,
որտեղ [[գործողություն (ֆիզիկական մեծություն)|գործողությունը]] <math> \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns} </math>-ի [[ֆունկցիոնալ]] է, իսկ
<math>\varphi_i</math>-ն [[ընդհանրացված կոորդինատներ]]ն են, <math>\ s_j </math>-ով նշանակված է համակարգի պարամետրերի բազմությունը․ դասական մեխանիկայի դեպքում դրանք անկախ տարածական կոորդինատներն են և ժամանակը, իսկ ֆիզիկայի այլ բաժիններում՝ էլեկտրական կամ այլ ֆիզիկական պարամետրեր։
 
Ֆունկցիոնալի [[ֆունկցիոնալ ածանցյալ]]ը բոլոր ուղղություններով զրոյի հավասարացնելու միջոցով ստացված հավասարումները նույնական են սովորական [[Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներ]]ին։ Դինամիկ համակարգերը, որոնց հավասարումները կարելի է ստանալ փոքրագույն գործողության սկզբունքից՝ պատշատ կերպով ընտրված Լագրանժի ֆունկցիայի համար, հայտնի են որպես «լագրանժյան դինամիկ համակարգեր»։
 
Լագրանժյան դինամիկ համակարգերի օրինակները շատ են, սկսած տարրական մասնիկների ֆիզիկայի [[ստանդարտ մոդել]]ի դասական օրինակից, վերջացրած [[Նյուտոնի օրենքներ]]ով։ Այս բնագավառին են դասվում նաև մաքուր մաթեմատիկական խնդիրները, ինչպես [[գեոդեզիկների հավասարումներ]]ը և [[Պլատոյի խնդիր]]ը։
 
Լագրանժյանը [[Լեժանդրի ձևափոխություններ]]ի միջոցով կապված է [[Համիլտոնի ֆունկցիա|համիլտոնյանին]] (որում որպես հիմք ընտրվում են [[իմպուլս]]ները), համիլտոնյանի հիան վրա է ձևակերպվում [[Համիլտոնյան մեխանիկա]]ն։
: <math>\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x})</math>
 
տեսքով, որտեղ ըստ ժամանակի ածանցյալը նշանակվում է դիֆերենցվող մեծության վրա դրված կետով, <math>\vec{x}</math>-ն մասնիկի [[շառավիղ-վեկտոր]]ն է, ''m''-ը՝ [[զանգված]]ը, ''V''-ն՝ պոտենցիալ էներգիան։ Այդ դեպքում Էյլեր-Լանգրանժի հավասարումնը կլինի
:<math>m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0</math>,
որտեղ <math>\nabla V</math>-ն [[գրադիենտ]]ն է։
 
Օգտագործելով այս արդյունքը, հեշտությամբ կարելի է ցույց տալ, որ այս մոտեցումը համարժեք է Նյուտոնի մոտեցմանը։ ''F'' ուժը գրենք պոտենցիալի տերմինով՝ <math>\vec{F}=- \nabla V(x)</math>, այդ դեպքում կստանանք <math>\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}</math>, հավասարումը, որը համարժեք է Նյուտոնի հավասարմանը հաստատուն զանգվածի դեպքում։ Պարզ հաշվարկները հանգում են :<math>\vec{F}=d\vec{p}/dt</math>
== Ռելյատիվիստական ազատ մասնիկի դասական լագրանժյանը ==
 
[[Ռելյատիվիստական մասնիկ|Ռելյատիվիստական]] ազատ մասնիկի դասական լագրանժյանը բազապատկչի ճշտությամբ (մասնիկի զանգվածը՝ մինուս նշանով, բազմապատկած ունիվերսալ հաստատունով) համընկնում է նրա [[համաշխարհային գիծ|համաշխարհային գծի]] աճի արագությանը [[Մինկովսկու տարածություն|Մինկովսկու տարածության]] մեջ, կամ սեփական ժամանակին՝
 
<math>-m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},</math>
 
== Լագրանժյանը և լագրանժյանի խտությունը դաշտի տեսությունում ==
* [[Դաշտի տեսություն]]ում Լագրանժի ''L ֆունկցիայի'', որի միջոցով գործողությունն արտահայտվում է որպես միայն ըստ ժամանակի ինտեգրալ՝
 
: <math>S = \int{\mathcal{L} \, dt}</math>
: <math> T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}</math>
 
արտահայտությամբ։ Դաշտի փոխազդեցության էներգիան լիցքավորված մասնիկի հետ ունի
: <math> V = q\phi\ </math>
տեսքը (մեկ կետային լիցքի համար․ մեկից ավելի մասնիկների դեպքում գումարում է կատարվում) կամ լիցքի անընդհատ բաշխվածության դեպքում՝
: <math> V = \int \rho\phi\ dx dy dz</math>։
 
Դաշտի էներգիան ընդգրկված է կինետիկ էներգիայի կազմում, ինչպես և մասնիկների կինետիկ էներգիան, գրվում է որպես
: <math> T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \phi)^2 dx dy dz,</math>
Որտեղ <math>\varkappa</math>-ն [[Կուլոնի օրենք]]ի վերջնական տեսքի մեջ մտնող ուժային հաստատունն է։
 
Այսպիսով էլեկտրաստատիկայում լագրանժյանը, որը ներառում է դանդաղ շարժվող մասնիկների կինետիկ էներգիան, հետևյալն է՝
 
: <math> T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,</math>
որտեղ '''E'''-ն և '''H'''-ը արտահայտված են ''<math>\phi</math>'' սկալյար պոտենցիալով և '''А''' [[վեկտորական պոտենցիալ]]ով՝
: <math>\mathbf E = -\nabla\phi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},~~~~~~~ \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A</math>։
 
Անհրաժեշտության դեպքում լագրանժյանի այս արտահայտությունը կարելի է լրացնել այլ անդամներով, որոնք նկարագրում են ոչ էլեկտրամագնիսական ուժեր, ուրիշ տիպի դաշտեր և այլն։
 
Գործողության համար ''ф''-ի և <math>A_x, A_y, A_z</math>-ի համապատասխան փոփոխարկումների դեպքում ստացվում են [[Մաքսվելի հավասարումներ]]ը, իսկ ըստ լիցքավորված մասնիկների կոորդինատները փոփոխարկելու դեպքում՝ դաշտում լիցքավորված մասնիկների շարժման հավասարումը՝
: <math>d\mathbf p/d t = \mathbf F_L,</math>
'''p'''-ն մասնիկների եռաչափ իմպուլսն է, <math>\mathbf F_L</math>-ն՝ [[Լորենցի ուժ]]ը:
: <math>S_{int} = - \int q A_i dx^i</math>։
 
<math>F^{ik}</math>-ն էլեկտրամագնիսական դաշտի թենզորն է, <math>A_i</math>-ն՝ [[4-պոտենցիալ]]ը, <math>j^i</math>-ն՝ [[4-հոսանք|քառաչափ հոսանքի խտություն]]ը, <math>dx^i</math>-ն՝ [[4-վեկտոր|4-տեղափոխությունը]], ըստ Այնշտայնի կանոնի՝ կրկնվող ինդեքսներով գումարում է կատարվում։
 
Փոփոխարկելով ըստ <math>A_i</math>-ի՝ հեշտ է ստանալ [[Մաքսվելի հավասարումներ]]ը քառաչափ տեսքով՝
: <math>d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\ </math>
 
որտեղ <math>p_i = m u_i</math>-ն [[4-իմպուլս]]ն է, <math>u^k</math>-ն՝ [[4-արագություն]]ը։
 
==Լագրանժյանը դաշտի քվանտային տեսությունում ==
: <math> \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}</math>
 
որտեղ ψ-ն քառաչափ [[բիսպինոր|սպինոր]]ն է, <math> \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 </math>-ն՝ դրա դիրակյան համալուծը, <math>\! F^{\mu\nu}</math>-ը՝ [[էլեկտրամագնիսական դաշտի թենզոր]]ը, ''D''-ն՝ [[տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալ]]ը, <math> \not \!\, D </math>-ն՝ Ֆեյնմանի նշանակումը <math>\! \gamma^\sigma D_\sigma </math>։
 
=== Դիրակի լագրանժյան ===
1 105 242

edits