«Լագրանժյան»–ի խմբագրումների տարբերություն

չ
oգտվելով ԱՎԲ
չ (→‎Քառաչափ ձևակերպում: կետադրություն և բացատներ, փոխարինվեց: վ՝շ → վ՝ շ oգտվելով ԱՎԲ)
չ (oգտվելով ԱՎԲ)
: <math> \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0 </math>,
որտեղ [[գործողություն (ֆիզիկական մեծություն)|գործողությունը]] <math> \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns} </math>-ի [[ֆունկցիոնալ]] է, իսկ
<math>\varphi_i</math>-ն [[ընդհանրացված կոորդինատներ]]ն են, <math>\ s_j </math>-ով նշանակված է համակարգի պարամետրերի բազմությունը․ դասական մեխանիկայի դեպքում դրանք անկախ տարածական կոորդինատներն են և ժամանակը, իսկ ֆիզիկայի այլ բաժիններում՝ էլեկտրական կամ այլ ֆիզիկական պարամետրեր։
 
Ֆունկցիոնալի [[ֆունկցիոնալ ածանցյալ]]ը բոլոր ուղղություններով զրոյի հավասարացնելու միջոցով ստացված հավասարումները նույնական են սովորական [[Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներ]]ին։ Դինամիկ համակարգերը, որոնց հավասարումները կարելի է ստանալ փոքրագույն գործողության սկզբունքից՝ պատշատ կերպով ընտրված Լագրանժի ֆունկցիայի համար, հայտնի են որպես «լագրանժյան դինամիկ համակարգեր»։
 
Լագրանժյան դինամիկ համակարգերի օրինակները շատ են, սկսած տարրական մասնիկների ֆիզիկայի [[ստանդարտ մոդել]]ի դասական օրինակից, վերջացրած [[Նյուտոնի օրենքներ]]ով։ Այս բնագավառին են դասվում նաև մաքուր մաթեմատիկական խնդիրները, ինչպես [[գեոդեզիկների հավասարումներ]]ը և [[Պլատոյի խնդիր]]ը։
 
Լագրանժյանը [[Լեժանդրի ձևափոխություններ]]ի միջոցով կապված է [[Համիլտոնի ֆունկցիա|համիլտոնյանին]] (որում որպես հիմք ընտրվում են [[իմպուլս]]ները), համիլտոնյանի հիան վրա է ձևակերպվում [[Համիլտոնյան մեխանիկա]]ն։
 
== Օրինակներ մեխանիկայից ==
 
Օգտագործելով այս արդյունքը, հեշտությամբ կարելի է ցույց տալ, որ այս մոտեցումը համարժեք է Նյուտոնի մոտեցմանը։ ''F'' ուժը գրենք պոտենցիալի տերմինով՝ <math>\vec{F}=- \nabla V(x)</math>, այդ դեպքում կստանանք <math>\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}</math>, հավասարումը, որը համարժեք է Նյուտոնի հավասարմանը հաստատուն զանգվածի դեպքում։ Պարզ հաշվարկները հանգում են :<math>\vec{F}=d\vec{p}/dt</math>
Արտահայտությանը, որը Նյուտոնի երկրորդ օրենքն է ընդհանրացված տեսքով։
 
: <math>\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)</math>
<math>-m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},</math>
 
որտեղ ''v''-ն մասնիկի սովորական եռաչափ արագությունն է, ''c''-ն՝ լույսի արագությունը, ''m''-ը՝ մասնիկի զանգվածը։
 
Այս լագրանժյանից հետևում է ռելյատիվիստական մասնիկների դասական դինամիկան (ռելյատիվիստական դինամիկա)։
 
== Լագրանժյանը և լագրանժյանի խտությունը դաշտի տեսությունում ==
* [[Դաշտի տեսություն|Դաշտի տեսությունում]]ում Լագրանժի ''L ֆունկցիայի'', որի միջոցով գործողությունն արտահայտվում է որպես միայն ըստ ժամանակի ինտեգրալ՝
 
: <math>S = \int{\mathcal{L} \, dt}</math>
: <math>S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}</math>
 
Այս դեպքում լագրանժյանը լագրանժյանի խտության ինտեգրալն է ըստ տարածական կոորդինատների։
 
Լագրանժյանի երկու սահմանումները կարելի է ստանալ որպես ընդհանուր սահմանման մասնավոր դեպքեր, կախված այն բանից՝ ներառված են <math>\vec x</math> տարածական կոորդինատները ''i'' ինդեքսում թե <math>\varphi_i(s)</math>-ի ''s'' պարամետրերում։ [[Տարրական մասնիկների ֆիզիկա]]յում [[դաշտի քվանտային տեսություն]]ները, ինչպես [[քվանտային էլեկտրադինամիկա]]ն է, սովորաբար նկարագրվում են <math>\mathcal{L}</math>-ի տերմիններով։ Այս ձևը հարմար է, քանի որ արագ բերվում է Ֆեյմանի դիագրամները նկարագրելու համար կիրառվող կանոններին։
 
== Էլեկտրամագնիսական լագրանժյան ==
=== Էլեկտրաստատիկա ===
 
Էլեկտրական դաշտերի էլեկտրաստատիկան, որը կարելի է մոտավորապես կամ ճշգրիտ նկարագրել սկալյար պոտենցիալով և բավականաչափ դանդաղ շարժվող լիցքավորված նյութով, ենթարկվում է նյուտոնյան մեխանիկայի օրենքներին և կարող է գործնականում նկարագրվել դասական մեխանիկայի շրջանակներում։
 
Լագրանժյանը դասական մեխանիկայում՝
: <math> \mathcal{L} = T - V </math>
 
որտեղ ''T''-ն կինետիկ էներգիան է, ''V''-ն՝ պոտենցիալ էներգիան։
 
<math> \phi\ </math> [[սկայլար պոտենցիալ]] ունեցող էլեկտրաստատիկ դաշտում գտնվող ''m'' զանգվածով և ''q'' լիցքով լիցքավորված մասնիկի համար կինետիկ էներգիան տրվում է
Դաշտի էներգիան ընդգրկված է կինետիկ էներգիայի կազմում, ինչպես և մասնիկների կինետիկ էներգիան, գրվում է որպես
: <math> T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \phi)^2 dx dy dz,</math>
Որտեղ <math>\varkappa</math>-ն [[Կուլոնի օրենք]]ի վերջնական տեսքի մեջ մտնող ուժային հաստատունն է։
 
Այսպիսով էլեկտրաստատիկայում լագրանժյանը, որը ներառում է դանդաղ շարժվող մասնիկների կինետիկ էներգիան, հետևյալն է՝
կամ
: <math> V = \int (\rho\phi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz </math>
որտեղ ''c''-ն [[լույսի արագություն]]ն է, '''v'''-ն՝ մասնիկի արագությունը, '''j'''-ն՝ հոսանքի խտության վեկտորը։
 
Էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիան, ի տարբերություն էլեկտրաստատիկ դաշտի, պետք է ներառի նաև մագնիսական դաշտի էներգիան՝
 
: <math> T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,</math>
որտեղ '''E'''-ն և '''H'''-ը արտահայտված են ''<math>\phi</math>'' սկալյար պոտենցիալով և '''А''' [[վեկտորական պոտենցիալ]]ով՝
: <math>\mathbf E = -\nabla\phi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},~~~~~~~ \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A</math>։
 
 
Այս դեպքում էլեկտրամագնիսական լագրանժյանը գրվում է
: <math>T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}</math>։
 
Անհրաժեշտության դեպքում լագրանժյանի այս արտահայտությունը կարելի է լրացնել այլ անդամներով, որոնք նկարագրում են ոչ էլեկտրամագնիսական ուժեր, ուրիշ տիպի դաշտեր և այլն։
 
Գործողության համար ''ф''-ի և <math>A_x, A_y, A_z</math>-ի համապատասխան փոփոխարկումների դեպքում ստացվում են [[Մաքսվելի հավասարումներ]]ը, իսկ ըստ լիցքավորված մասնիկների կոորդինատները փոփոխարկելու դեպքում՝ դաշտում լիցքավորված մասնիկների շարժման հավասարումը՝
: <math>d\mathbf p/d t = \mathbf F_L,</math>
'''p'''-ն մասնիկների եռաչափ իմպուլսն է, <math>\mathbf F_L</math>-ն՝ [[Լորենցի ուժ]]ը:
 
 
==== Քառաչափ ձևակերպում ====
: <math>d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\ </math>
 
որտեղ <math>p_i = m u_i</math>-ն [[4-իմպուլս]]ն է, <math>u^k</math>-ն՝ [[4-արագություն]]ը։
 
==Լագրանժյանը դաշտի քվանտային տեսությունում ==
 
=== Լագրանժյանը քվանտային քրոմոդինամիկայում ===
Լագրանժյանի խտությունը [[քվանտային քրոմոդինամիկա]]յում<ref>[http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html Quantum Chromodynamics (QCD)]</ref>`
Quantum Chromodynamics (QCD)]</ref>`
: <math> \mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n </math>