Կեղծ միավորը սովորաբար կոմպլեքս թիվ է, որի քառակուսին հավասար է -1 (մինուս մեկի).երբեմն հնարավոր է և այլ տարբերակներ Կելի-Դիկսոնի Кэли—Диксону կրկնապատկման կառուցվածքում կամ Կլիֆորդու Клиффорду հանրահաշվի շրջանակներում։
== Կոմպլեքս թվեր ==
[[Պատկեր:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|<math>i</math> [[կոմպլեքսային հարթություն|կոմպլեքս հարթություն]]. [[Իրական թվեր|իրական թվերը]] գտնվում են հորիզոնական առանցքի վրա, [[Կեղծ թիվը |կեղծ]]՝ ուղղաձիգ առանցքի վրա]]
Մաթեմատիկայում, ֆիզիկայում կեղծ միավոր նշանակում են լատինական i կամ j, այն հնարավորություն է տալիս ընդլայնելու իրական թվերի դաշտը մինչև կոմպլեքս թվերը։ Կեղծ միավորի ներմուծման պատճառը կայանում է նրանում, որ ոչ ցանկացած իրական գործակիցներով բազմանդամային հավասարում f(x)=0 ունի լուծում իրական թվերի դաշտում։ Այնպես որ <math>x^2 + 1 = 0</math>հավասարումը չունի իրական արմատներ։Երբեմն պարզվում է, որ ցանկացած կոմպլեքս գործակիցներով բազմանդամային հավասարում ունի կոմպլեքս լուծում՝ «Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ»։
Պատմականորեն կեղծ միավորը սկզբում ներմուծել են իրական խորանարդ հավասարումը լուծելու համար, հաճախ իրական երեք արմատների գոյության դեպքում , նրանցից երկուսի ստացումը Կարդանոյի բանաձևից պահանջվում էր վերցնել խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերով։
Պնդումը, որ կեղծ միավորը՝ դա«քառակուսի արմատն է −1-ից», ստույգ չէ, չէ որ «−1» ունի երկու քառակուսի արմատ, որոնցից մեկը «i»,իսկ մյուսը՝ «−i»։Դրանցից որ մեկը ընդունել կեղծ միավոր՝ կարևոր չէ, բոլոր հավասարությունները պահպանում են ուժը միաժամանակ փոխարինումը բոլոր «i»-երը «-i»-երով։ Երբեմն այդ երկիմաստությունից, որպեսզի խուսափենք սխալ հաշվումներից, պետք չէ օգտագործել i նշանակումը ինչպես ( <math>\sqrt{-1}</math>).
===Սահմանում===
Կեղծ միավորը դա թիվ է, որի քառակուսի արմատը հավասար է −1, այսինքն <math>i</math> դա հավասարման լուծումներից մեկն է
:<math>x^2 + 1 = 0, </math> կամ <math>x^2 = -1. </math> և այդ ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի <math>-i</math>,որը կարելի է ստուգել տեղադրումով։
===Կեղծ միավորի աստիճանները===
Աստիճանները <math>i</math> կրկնվում են շարքում:
:<math>\ldots</math>
:<math>i^{-3} = i\,</math>
:<math>i^{-2} = -1\,</math>
:<math>i^{-1} = -i\,</math>
:<math>i^0 = 1\,</math>
:<math>i^1 = i\,</math>
:<math>i^2 = -1\,</math>
:<math>i^3 = -i\,</math>
:<math>i^4 = 1\,</math>
: <math>\ldots</math>
Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։
:<math>i^{4n} = 1\,</math>
:<math>i^{4n+1} = i\,</math>
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
որտեղ''n'' — ցանկացած ամբողջ թիվ է։
Այստեղից: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>
որտեղ''mod 4'' — դա 4-ի [[ բաժանման մնացորդն է]] .
<math>i^i</math>թիվը հանդիսանում է [[Вещественное число|իրական]]:
: <math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math><ref>[[Էյլերի բանաձև#Показательная форма комплексного числа|Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև]]</ref>
===Կեղծ միավորի աստիճանները===
Աստիճանները <math>i</math> կրկնվում են շարքում:
:<math>\ldots</math>
:<math>i^{-3} = i\,</math>
:<math>i^{-2} = -1\,</math>
:<math>i^{-1} = -i\,</math>
:<math>i^0 = 1\,</math>
:<math>i^1 = i\,</math>
:<math>i^2 = -1\,</math>
:<math>i^3 = -i\,</math>
:<math>i^4 = 1\,</math>
: <math>\ldots</math>
Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։
:<math>i^{4n} = 1\,</math>
:<math>i^{4n+1} = i\,</math>
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
որտեղ''n'' — ցանկացած ամբողջ թիվ է։
Այստեղից: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>
որտեղ''mod 4'' — դա 4-ի [[ բաժանման մնացորդն է]] .
<math>i^i</math>թիվը հանդիսանում է [[Вещественное число|իրական]]:
: <math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math><ref>[[Էյլերի բանաձև#Показательная форма комплексного числа|Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև]]</ref>
===Կեղծ միավորի աստիճանները===
Աստիճանները <math>i</math> կրկնվում են շարքում:
:<math>\ldots</math>
:<math>i^{-3} = i\,</math>
:<math>i^{-2} = -1\,</math>
:<math>i^{-1} = -i\,</math>
:<math>i^0 = 1\,</math>
:<math>i^1 = i\,</math>
:<math>i^2 = -1\,</math>
:<math>i^3 = -i\,</math>
:<math>i^4 = 1\,</math>
: <math>\ldots</math>
Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։
:<math>i^{4n} = 1\,</math>
:<math>i^{4n+1} = i\,</math>
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
որտեղ''n'' — ցանկացած ամբողջ թիվ է։
Այստեղից: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>
որտեղ''mod 4'' — դա 4-ի [[ բաժանման մնացորդն է]] .
<math>i^i</math>թիվը հանդիսանում է [[Вещественное число|իրական]]:
: <math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math><ref>[[Էյլերի բանաձև#Показательная форма комплексного числа|Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև]]</ref>
=== Ֆակտորյալ===
[[Ֆակտորյալ]] կեղծ միավորի {{math|''i''}} կարելի է ներկայացնել ինչպես [[Гамма-функция|ֆունկցիայի հաջորդաշարք]] {{math|1 + ''i''}} արգումենտից:
