«Նյոթերի թեորեմ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
Հեռացվում է {{խմբագրում եմ}} կաղապարը |
չ կետադրական |
||
Տող 2.
'''Նյոթերի թեորեմը''' պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ [[սիմետրիա (ֆիզիկա)|սիմետրիայի]] համապատասխանում է որոշակի [[պահպանման օրենք]].
*[[Ժամանակ
*[[Տարածություն|Տարածության]] համասեռությանը համապատասխանում է [[իմպուլսի պահպանման օրենք]]ը։
*Տարածության [[Իզոտրոպություն|իզոտրոպությանը]] համապատասխանում է [[իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք]]ը։
*[[Տրամաչափային սիմետրիա
Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է [[գործողություն (ֆիզիկա)|գործողության]] [[ֆունկցիոնալ]] ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է [[
Թեորեմը սահմանել են [[Գյոթինգենի համալսարան|գյոթինգենյան դպրոցի]] գիտնականներ [[Դավիդ Հիլբերտ
== Ձևակերպում ==
Տող 16.
: <math>I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}</math>։
Ձևակերպենք [[անվերջ փոքր
: <math>g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)</math>
տեսքն ունի, իսկ <math>L(q,\; \dot q,\; t)</math> Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն
Տող 31.
=== Դաշտի տեսություն ===
Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով [[ազատության աստիճաններ
Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է <math>n</math> պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են <math>k</math> կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա
: <math>S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k</math>
Տող 45.
Դիցուք ունենք <math>S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x</math> գործողության ֆունկցիոնալով [[վարիացիոն խնդիր]]։ Այստեղ <math>L</math>-ը [[լագրանժյան]]ն է. <math>x</math>-ն՝ անկախ փոփոխականներ, <math>u</math>-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ <math>x</math>-ից։ <math>L</math> կարող է կախված լինել նաև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։
Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի [[դիֆերենցիալ հավասարումներ
<math>\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q</math>
Տող 54.
<math>u^{\alpha}_{x_i}</math>-ն <math>u^{\alpha}</math> ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ <math>x_i</math> փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե <math>L</math>-ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա <math>\mathrm{E}</math>-ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ
<math>\mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J}</math>,
որտեղ <math>J</math> — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ <math>u^{\alpha}_J</math> ածանցյալը մտնում է <math>L</math>-ի մեջ։
Տող 62.
==== Պահպանման օրենքներ ====
Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար
<math>\mathrm{Div} \vec P =0</math>
տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ <math>\mathrm{Div}</math>-ն լրիվ [[դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիա]] ([[լրիվ ածանցյալ
''Պահպանման տրիվալ օրենքներ'' են կոչվում այն պահպանման օրենքները,
* որոնց համար <math>\mathrm{Div} \vec P =0</math>-ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
Տող 93.
«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ <math>\xi</math> և <math>\varphi</math>-ն կարող են կախված լինել ոչ միայն <math>u</math>-ից և <math>x</math>-ից, այլև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի։
''Սահմանում.'' <math>\vec v</math>-ն կոչվում է <math>S</math> ֆունկցիոնալի ''վարիացիոն սիմետրիա'', եթե գոյություն ունի <math>\vec{\mathrm{B}}(\vec u, \vec x,\dots )</math> համախումբ այնպես, որ
<math>\mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div}\, \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec{\mathrm{B}}</math>։
<math>\mathrm{pr}\, \vec v</math>-ն <math>\vec v</math>-ի ''շարունակությունն'' է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ <math>\vec v</math>-ի գործողությունը <math>u</math>-ի և <math>x</math>-ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է
<math>\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr)</math>
Տող 103.
բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի <math>\vec v</math>-ից վերցնել այնպիսի <math>\partial /\partial u^\alpha_J</math>-ով բաղադրիչներ, որոնց համար <math>u^\alpha_J</math>-ն մտնում է <math>L</math>-ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։
Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ <math>\vec v</math>-ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են <math>S</math> ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.
Եթե <math>\vec v</math>-ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա <math>\vec v</math>-ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.
Տող 113.
==== Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր ====
<math>Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i</math> ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է <math>\vec v</math> վեկտորական դաշտի բնութագիր։ <math>\vec v</math>-ի փոխարեն կարելի է վերցնել
<math>\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha}</math>
Տող 121.
<math>\vec v</math>-ն և <math>\vec v_Q</math>-ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են <math>Q_\alpha</math>-ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ <math>\vec v_Q</math>-ի շարունակությունը որոշվում է <math>\vec v</math>-ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու <math>\xi</math>- երի ներդրումները։
Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։
==== Նյոթերի թեորեմ ====
Տող 128.
== Պահպանման օրենքներ ==
Դասական մեխանիկայում [[էներգիա
== Կիրառություններ ==
Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև [[սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ
* Համակարգի [[իմպուլսի պահպանման օրենք|իմպուլսի պահպանումը]] բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե ''X'' առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով <math>p_x</math> իմպուլսը պահպանվում է։
* [[Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք|Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը]] բխում է տարածության [[պտույտ
* [[Էներգիայի պահպանման օրենք|Էներգիայի պահպանումը]] ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։
[[Մասնակի ածանցյալներով հավասարումներ
Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես [[քվանտային մեխանիկա]]ն է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։
Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը ''Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն'' է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, [[
Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար [[սև խոռոչ
== Ծանոթագրություններ ==
| |||