|
[[Պատկեր:Polardreieck1.svg|մինի|աջից|250px|Հնարավոր եռանկյուն Ռիմանի երկրաչափությունում]]
[[Պատկեր:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|250px|Գնդի վրա գտնվող եռանկյան անկյունների գումարը հավասար չէ 180°: Գնդի մակերևույթը Էվկլիդեսյան մակերևույթ չէ, սակայն Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը այս մակերևույթի համար կարելի է համարել մոտավորություն: Երկրի մակերևույթի վրա փոքր եռանկյան անկյունների գումարը մոտավորապես հավասար է 180°:]]
'''[[Բեռնարդ Ռիման|Ռիմանի]] երկրաչափություն''' ('''Էլիպտիկ երկրաչափություն'''), երեք «մեծագույն երկրաչափություններից» մեկը ([[Էվկլիդեսյան երկրաչափություն|Էվկլիդեսյան]], [[Լոբաչևսկու երկրաչափություն|Լոբաչևսկու]] և Ռիմանի):։ Եթե Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը կառուցված է այնպիսի մակերևույթների վրա, որոնք ունեն հաստատուն զրո Գաուսյան կորություն, Լոբաչսկու երկրաչափությունը` հաստատուն բացասական կորություն, ապա Ռիմանի երկրաչափությունը գործում է հաստատուն դրական Գաուսյան կորություն ունեցող մակերևույթների դեպքում ([[գունդ]]):։ Պատմականորեն, Ռիմանի երկրաչափությունը հայտնվել է մյուս երկու երկրաչափություններից ավելի ուշ` [[1854]] թվականին:թվականին։
== Ընդհանուր գաղափարներ ==
Ռիմանի երկրաչափության մեջ ուղիղը որոշվում է երկու կետերով, հարթությունը` երեք, երկու հարթությունների հատման գիծը ուղիղ գիծ է… բայց տվյալ կետից չի կարելի ուղղին տանել ոչ մի զուգահեռ ուղիղ:ուղիղ։ Ռիմանի երկրաչափության մեջ (ինչպես նաև գնդային երկրաչափությունում) գոյություն ունի հետևյալ պնդումը. «Եռանկյան անկյունների գումարը մեծ է 180°-ից», իսկ բանաձևը տրվում է հետևյալ տեսքով`
<math>\,\Sigma = \pi + {S}/{R^2},</math>
որտեղ <math>\,\Sigma</math>` եռանկյան անկյունների գումարն է, իսկ <math>\,R</math>` այն գնդի շառավիղը, որի վրա գործում է երկրաչափությունը:երկրաչափությունը։
Ռիմանի երկրաչափությունը ընդհանուր առմամբ նման է [[գնդային երկրաչափություն|գնդային երկրաչափությանը]], սակայն վերջինիս մեջ երկու ուղիղներ ունեն երկու, իսկ Ռիմանի երկրաչափության մեջ` ընդամենը մեկ հատման կետ:կետ։ Այդ իսկ պատճառով, հաճախ Ռիմանի երկրաչափությանը անվանում են երկրաչափություն գնդի վրա, որում հակադիր կետերը նույնականացված են (այս մեթոդով գնդոլորտից ստանում են պրոյեկտիվ հարթություն): ։
Դիտարկենք <math>\,E</math> եռաչափ տարածությունում <math>\,O</math> կենտրոնով <math>\,S</math> գունդ:գունդ։ Յուրաքանչյուր կետ, որը գտնվում է գնդի վրա (<math>A \in S</math>), գնդի <math>\,O</math> կենտրոնի հետ որոշում է ուղիղ (<math>l \subset E</math>), այսինքն, պրոյեկտիվ <math>\,\Pi</math> հարթության որոշակի <math>\,A_*</math> կետ:կետ։ <math>A \to A_*</math> համադրությունը որոշում է <math>S \to \Pi</math> արտապատկերումը:արտապատկերումը։ <math>\,S</math>-ի մեծ շրջանները (գնդային երկրաչափության մեջ ուղիղներ) անցնում են պրոյեկտիվ <math>\,\Pi</math> հարթության ուղիղների, ընդ որում` միևնույն <math>A_*\in \Pi</math> կետին անցնում են գնդի երկու կետեր (<math>A \in S</math> և իր տրամագծորեն հակադիր <math>A' \in S</math> կետը):։ <math>\,E</math> տարածության Էվկլիդեսյան շարժումները, որոնք <math>\,S</math> գնդին արտապատկերում են իր վրա, տալիս են <math>\,\Pi</math> պրոյեկտիվ հարթության հստակ վերափոխումներ, որոնք հանդիսանում են Ռիմանի երկրաչափության շարժումներ:շարժումներ։ Ռիմանի երկրաչափությունում կամայական ուղիղներ հատվում են, քանի որ դա պրոյեկտիվ հարթության հատկությունն է, և, այսպիսով, Ռիմանի երկրաչափությունում չկան զուգահեռ ուղիղներ: ուղիղներ։
Ռիմանի երկրաչափությունը չի հանդիսանում բացարձակ երկրաչափություն:երկրաչափություն։ Ռիմանի երկրաչափության մեջ գոյություն չունի նման գաղափար, որ ''C'' կետը գտնվում է ''A'' և ''B'' կետերի միջև, որն էլ հենց բացարձակ երկրաչափության գլխավոր պայմաններից մեկն է:է։ Իրականում` պրոյեկտիվ <math>\,\Pi</math>հարթության ուղղու վրա արտապատկերվում է մեծ շրջան <math>\,S</math> գնդի վրա, ընդ որում` գնդի երկու տրամագծորեն հակադիր <math>\,A</math> և <math>\,A'</math> կետերը անցնում են մի կետի (<math>A_* \in \Pi</math>):։ Նույն ձևով` <math>\,B, B'</math> կետերը անցնում են <math>B_* \in \Pi</math> կետի և <math>\,C, C'</math> կետերը` <math>C_* \in \Pi</math> կետի:կետի։ Այսպիսով, կարելի է հավասարապես եզրակացնել, որ <math>\,C_*</math> կետն ինչպես ընկած է, այնպես էլ ընկած չէ <math>\,A_*</math> և <math>\,B_*</math> կետերի միջև:միջև։
==Էլիպտիկ տարածություն==
Եռաչափ էլիպտիկ երկրաչափությունը օգտագործում է 3-գունդ {{math|S<sup>3</sup>}}, և այդ կետերը հասանելի են քուատերնիոնների տեսությունում վերսորների օգնությամբ:օգնությամբ։
Վերսորն իրենից ներկայացնում է առաջին կարգի քուատերնիոն, որը պետք է ունենա հետևյալ տեսքը`
:<math>e^{ar} = \cos a + r \sin a , \quad r^2 = -1.</math>
Սկիզբը տրվում է {{math|1=''a'' = 0}} դեպքում և կազմում է վերսորներից բաղկացած տոպոլոգիական շարք:շարք։ Տրված <math>r</math>-ի համար, վերսորները`
:<math>e^{ar}, \quad 0 \le a < \pi,</math>
կազմում են ''էլիպտիկ գիծ'':։ Ինքնակամ ''<math>u</math>'' վերսորի համար հեռավորությունը կլինի այն θ-ն, որի դեպքում {{math|1=cos θ = (''u'' + ''u''<sup>∗</sup>)/2}}, քանի որ այս բանաձևն իրենից ներկայացնում է քուատերնիոնի սկալյար մասը:մասը։
''Էլիպտիկ շարժումը'' նկարագրվում է քուատերնիոնի մոդելավորմամբ`
:<math>q \mapsto u q v,</math>
որտեղ <math>u</math>-ն և <math>v</math>-ն կոնկրետ վերսորներ են:են։ Կետերի միջև հեռավորությունները նույնն են, ինչ էլիպտիկ շարժման հայելային կետերի միջև հեռավորությունները:հեռավորությունները։ Այն դեպքում, երբ <math>u</math>-ն և <math>v</math>-ն հանդիսանում են զուգորդված քուատերնիոններ, շարժումը վերածվում է տարածական պտույտի, և նրանց վեկտորային մասը հանդիսանում է պտտման առանցք:առանցք։ Այն դեպքում, երբ u = 1, էլիպտիկ շարժումը կոչվում է աջակողմյան Քլիֆորդի տեղափոխություն:տեղափոխություն։ Իսկ եթե v = 1, ապա շարժումը կոչվում է ձախակողմյան Քլիֆորդի տեղափոխություն:տեղափոխություն։
<math>u</math> վերսորով անցնող ''էլիպտիկ գծերը'' կարող են լինել հետևյալ տեսքի`
:<math>\lbrace u e^{ar} : 0 \le a < \pi \rbrace</math> կամ <math>\lbrace e^{ar}u : 0 \le a < \pi \rbrace</math>` ֆիքսված <math>r</math> -ի դեպքում:
Նրանք բոլորը` 1-ի միջով, էլիպտիկ գծի երկայնքով <math>u</math>-ի աջակողմյան և ձախակողմյան Քլիֆորդի տեղափոխություններ են:են։ ''Էլիպտիկ տարածություն'' առաջանում է {{math|S<sup>3</sup>}}-ի վրա տրամագծորեն հակադիր կետերի ի հայտ գալու ժամանակ<ref>Coxeter 1950 Synopsis of Lemaitre</ref>:։
Էլիպտիկ տարածությունն ունի հատուկ ձևեր ու կառուցվածքներ, որոնք կոչվում են Քլիֆորդյան զուգահեռներ և մակերևույթներ:մակերևույթներ։
== Ծանոթագրություններ ==
== Գրականություն ==
* ''Ефимов Н. В.'' Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.:։ ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
* ''Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С.'' Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.:։ Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.:։ ВИНИТИ, 1988. — Т. 29. — С. 1—146.
* ''Берже М.'' Геометрия. — Пер. с франц. — в 2 т. — М.:։ Мир, 1984. — Том II, часть V:V։ Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
* ''Степанов Н. Н.'' Сферическая тригонометрия. — Л.—М., 1948.
* ''Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — М.:։ Физматлит, 2009.
* ''Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю.'' Геометрия. — М.:։ Наука, 1990.
* ''Александров П. С.'' Что такое неэвклидова геометрия. — М.:։ УРСС, 2007.
* ''Клейн Ф.'' Неевклидова геометрия. — Любое издание.
[[Կատեգորիա:Դասական երկրաչափություն]]
[[Կատեգորիա:Մետրիկական երկրաչափություն]]
| 
