«Հավանականությունների տեսություն»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
չ կետադրական, փոխարինվեց: այլոք → այլք |
|||
Տող 11.
# <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>-ը Ω-ի ենթաբազմությունների սիգմա-հանրահաշիվ է, որի տարրերը կոչվում են պատահույթներ։ Կասենք, որ փորձի արդյունքում հանդես է եկել A պատահույթը, եթե այդ փորձի արդյունքում հանդես եկած տարրական պատահույթը A–ի էլեմնտ է։
# ''P''-ն հավանականային չափ է որոշված <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>-ի տարրերի վրա։ ''P''-ն կոչվում է հավանականություն։
Այսպիսով՝ (Ω,<math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>,''P'') հավանականային տարածությունը փորձի և հավանականության մաթեմատիկական մոդելն է։
Դիտարկենք հավանականային տարածության մի օրինակ։ Եթե պատահականորեն նետենք զառը, ապա արդյունքում որպես վերին նիստ հանդես կգա մեկից վեց կետ ունեցող նիստերից որևէ մեկը։ Դիտարկվող օրինակում Ω–ն ունի վերջավոր հզորություն, մասնավորապես այն բաղկացած է վեց տարրից՝
Տող 21.
==Պատահական մեծություն==
Պատահական մեծությունը հավանականությունների տեսության կարևորագույն հասկացություններից է։ Հավանականային խնդիրներ ուսումնասիրելիս պատահական մեծությունը մեկնաբանվում է որպես մի մեծություն, որի արժեքները փոփոխվում են փորձի արդյունքներից կախված։ Ի տարբերություն այլ մաթեմատիկական մեծությունների, պատահական մեծությունը իր արժեքներն ընդունում է որոշակի հավանականություններով։
Պատահական մեծության մաթեմատիկական սահմանումը հետևյալն է.
Դիցուք (Ω,<math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>,''P'')–ն հավանականային տարածություն է։ <math>~\xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> ֆունկցիան կոչվում է պատահական մեծություն, եթե ցանկացած B Բորելյան բազմության համար B–ի նախապատկերը պատահույթ է։ Այլ կերպ ասած՝ պատահական մեծությունը տարրական պատահույթների տարածության վրա որոշված իրականարժեք չափելի (<math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>–ի նկատմամբ) ֆունկցիա է։
Պատահականորեն ընտրված մարդու տարիքը, աշխատավարձը, քաշը, երեխաների քանակը հանդիսանում են պատահական մեծությունների օրինակներ։
==Բաշխման ֆունկցիա==
Տող 33.
==Մեծ թվերի օրենքը (Մ. թ. օ.)==
Եթե կատարենք միևնույն փորձը մեծ թվով անգամ և հաշվենք, թե A պատահույթը կատարված փորձերից քանիսում է հանդես եկել (այդպիսի փորձերը անվանենք հաջող փորձեր), ապա հավանականության գաղափարը ինտուիտիվ կարելի է հասկանալ որպես հաջող փորձերի ու կատարված փորձերի քանակների հարաբերություն։ Սկզբնապես Մեծ թվերի օրենքը եղել է հավանականության վերոնշյալ ընկալման մաթեմատիկական ձևակերպումը, որն առաջին անգամ ապացուցել է Յակոբ Բեռնուլին։ Հետագայում Մեծ թվերի օրենքին վերաբերվող տարբեր թեորեմներ են ապացուցել Սիմեոն Պուասոնը (ով շրջանառության մեջ է դրել Մ. թ. օ. տերմինը), Պաֆնուտի Չեբիշևը և
Դիցուք <math>\{\xi_i\}_{i=1}^{\infty}</math>-ը միևնույն (Ω,<math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>,''P'') հավանականային տարածության վրա որոշված անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների հաջորդականություն է։ Ենթադրենք <math>\xi_1</math>-ն ունի վերջավոր մաթեմատիկական սպասում՝ <math>\mathbb{E}\xi_1 = \mu</math>, <math>S_n</math>-ով նշանակենք հետևյալ գումարը.
<math>S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \xi_i,\; n \in \mathbb{N}</math>.
Տող 49.
Կենտրոնական սահմանային թեորեմը մաթեմատիկայի ամենագեղեցիկ արդյունքներից է, այն բացատրում է, թե ինչու են բնության ամենատարբեր երևույթների ուսումնասիրության ժամանակ առաջանում նորմալ բաշխում ունեցող պատահական մեծություններ։
Դիցուք <math>\{\xi_i\}_{i=1}^{\infty}</math>-ը միևնույն (Ω,<math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>,''P'') հավանականային տարածության վրա որոշված անկախ և միատեսակ բաշխված պատահական մեծությունների հաջորդականություն է։ Ենթադրենք <math>\xi_1</math>-ն ունի վերջավոր մաթեմատիկական սպասում և դիսպերսիա՝ <math>\mathbb{E}\xi_1 = \mu</math>, <math>\operatorname{Var}(\xi_1) = \sigma^2</math>, իսկ <math>S_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \xi_i</math>-ը դիտարկվող հաջորդականության առաջին n անդամների թվաբանական միջինն է։ Ըստ Կենտրոնական սահմանային թեորեմի՝
: <math>\frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1)</math> ըստ բաշխման, երբ <math>n \to \infty</math>,
| |||