«Դիֆերենցիալ հաշիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Այստեղ y՝d(dx)=0, որովհետև d(dx) = 0, եթե x-ը անկախ է։ Կախյալ փոփոխականի դեպքում d(dx)=^0 և d2y=y"dx2+ y՝d2x, այսինքն՝ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալի ձևը փոխվում է (առաջին կարգի դիֆերենցիալի ձևը ին–վարիանտ է․ x-ի թե՛ կախյալ, թե՝ անկախ լինելու դեպքում՝ dy=y՝dx)։ Ուստի, y" = d2y/dx2, y<n>=dny/dxn առնչությունները ճիշտ են միայն այն դեպքում, երբ x-ը դիտվում է որպես անկախ փոփոխական։ Գործնականում դիֆերենցիալների օգնությամբ կարելի է հաշվել ֆունկցիաների արժեքներ և գնահատել դրանց սխալները։ Օրինակ, Xi կետում f(x) ֆունկցիայի արժեքը հաշվելու համար [եթե հայտնի են f(xo) և f՝(xo)] պետք է ֆունկցիայի աճը վւոխարինել իր դիֆերենցիալով։ Մտացվում է f(xi)^f(x0)+ df(x0) = = f(x0)+ f՝(xo) (xi—Xo) մոտավոր հավահարությունը, որի սխալը [եթե գոյություն ունի f"(xo)] մոտավորապես հավասար է 1 /2d2f = 1/շ f"(x0)(xi—х0)2։- Դիֆերենցիալը սահմանվում է նաև շատ ավելի ընդհանուր դեպքում։ Եթե f(x) ֆունկցիան (ո+1) անգամ դիֆերենցելի է x0 կետի A = = (x0—հ, Xo+h) շրջակայքում, ապա գոյություն ունի այնպիսի leA, որ A-ում ք^)-ը ներկայացվում Է f՝(Xo) f(x)=f(Xo)+ — (x—x„)+ f"(xo) f<n>(Xo) -I ;—(x—x0)4 1 — (x—x0)n + 21 n! f(n+1>(l) n+1m + - (x—Xo) ( ) (n+l)I բանաձևով (Թեյլորի բանաձև), որն ունի բազմաթիվ կարևոր կիրառություններ (երբ Xo=0, (*)-ը անվանում են Մակլոր ենի բանաձև)։ Թեյլորի բանաձևը թույլ է տալիս տվյալ կետի շրջակայքում կամայական ողորկ (գուցե Լւ շատ բարդ) ֆունկցիան բավական մեծ կշտությամբ փոխարինել բազմանդամով, որն անհամեմատ ավելի պարզ ֆունկցիա Է։ Թեյլորի բանաձևը տեղի ուև նաև շատ փոփոխականի ողորկ ֆունկցիաների համար և սկզբունքային դեր է կատարում դրանց էքսարեմումների (մաքսիմումների և մինիմումների) հետազոտության հարցում։ Դիֆերենցիալ հաշվի կարևորագույն փաստերից է նաև անբացահայտ ֆունկդիայիֆունկցիայի (մասնավորապես հակադարձ ֆունկցիայի) գոյության վերաբերյալ թեորեմը։