«Կատեգորիաների տեսություն»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added
չ clean up, փոխարինվեց: , → , (42), ։ → ։ (29), ՝ → ՝ (11), → (57), ), → ), (3), )։ → )։ (3), ( → ( (30) oգտվելով ԱՎԲ
չ clean up, փոխարինվեց: → (12) oգտվելով ԱՎԲ
Տող 1.
'''Կատեգորիաների տեսություն''', արդի [[մաթեմատիկա]]յի վերացական բաժիններից. մաթեմատիկական [[օբյեկտ]]ներն ուսումնասիրում է դրանց կառուցվածքի հետ համաձայնեցված արտապատկերումների հետ։ Շնորհիվ իր համահյուսող և միասնականացնող դերի կատեգորիաների տեսությունը [[Բազմությունների տեսություն|բազմությունների տեսության]] հետ կազմում է արդի մաթեմատիկայի հիմքը։
 
Կատեգորիաների տեսությունյան ուսումնասիրության առարկան, ընդհանուր առմամբ, [[կատեգորիա]]ներն ու [[ֆունկտոր]]ներն են։ Կատեգորիայի հասկացությունը կազմվում է երեք մասից. 1. կատեգորիայի օբյեկտների համախմբություն, 2. յուրաքանչյուր A, B օբյեկտների համար տրված Mor (A, B) [[մորֆիզմ]]ների բազմություն (որի տարրերը նշանակվում են φ։ A→B), 3. մորֆիզմների [[արտադրյալ]] կամ [[համադրություն]], որը մորֆիզմների յուրաքանչյուր φ։ A→B և ψ։ B→C զույգին համապատասխանեցնում է ψ<sub>o</sub>φ։ A→C մորֆիզմ։ Կատեգորիայի մորֆիզմները և դրանց արտադրյալը պետք է բավարարեն հետևյալ պայմաններին. ա. ցանկացած φ։ A→B, ψ։ B→C, χ։ C→D մորֆիզմների եռյակի համար՝ χ° (ψ°φ)= (χ°φ)°φ ([[արտադրյալի զուգորդականություն]]), բ. կամայական A օբյեկտի համար գոյություն ունի այնպիսի 1<sub>A</sub>։ A→A մորֆիզմ, որ ինչպիսիք էլ լինեն φ։ A→B և ψ։ C→A մորֆիզմները՝ χ°1<sub>A</sub>=φ և 1<sub>A</sub>°ψ=ψ (միավոր մորֆիզմի գոյություն), գ. Mor (A, B) և Mor (C, D) [[բազմություն]]ները չունեն ընդհանուր [[տարր]], եթե A≠C կամ B≠D։ Կատեգորիաների երկու տարրական օրինակ. 1. օբյեկտներ համարենք [[հարթություն|հարթության]] բոլոր [[եռանկյուն]]ների բազմությունը, կամայական A, B եռանկյունների համար Mor (A, B)՝ A-ն B-ին տանող բոլոր [[հոմոտետիա]]ների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը։ 2. Օբյեկտներ համարենք հարթության բոլոր [[շրջանագիծ|շրջանագծ]]երը, Mor (a, b)-ն՝ a շրջանագիծը b շրջանագծին տանող հոմոտետիաների բազմությունը, իսկ մորֆիզմների համադրություն՝ հոմոտետիաների արտադրյալը (այս օրինակներում Mor (A, B) և Mor (C, D) բազմությունների հավասար հոմոտետիաները համարվում են տարբեր մորֆիզմներ, եթե A≠C կամ B≠D։
 
Դիցուք ունենք երկու կատեգորիա՝ Ա և Բ։ Ասում են, որ տրված է Փ կովարիանտ (կոնտրավարիանտ) ֆունկտոր Ա-ից Բ, եթե Ա-ի յուրաքանչյուր A օբյեկտին համապատասխանեցված է Բ-ի որոշակի Փ (A) օբյեկտ և Ա-ի յուրաքանչյուր φ։ A→B մորֆիզմին՝ Բ-ի Փ (φ)։ Փ (A)→Փ (B) [համապատասխանաբար Փ (φ)։ Փ (B)→Փ (A)] մորֆիզմը, ընդ որում բավարարվում են հետևյալ պայմանները, ա. մորֆիզմների համադրության պատկերը համընկնում է մորֆիզմների պատկերների համադրության հետ, այսինքն՝ ցանկացած φ։ A→B և ψ։ B→C մորֆիզմների համար Փ (ψ°φ)=Փ (ψ)°Փ (φ) [համապատասխանաբար Փ (ψ°φ)=Փ (φ)°Փ (ψ)], բ. յուրաքանչյուր միավոր մորֆիզմի պատկերը միավոր մորֆիզմ է՝ Փ (1<sub>A</sub>)=1<sub>Փ (A)</sub>։ Օրինակ, եռանկյանը համապատասխանեցնելով նրան ներգծված շրջանագիծ, իսկ եռանկյունների հոմոտետիային՝ ներգծյալ շրջանագծերի համապատասխան հոմոտետիան, կստանանք ֆունկտոր վերը նշված օրինակների առաջին կատեգորիայից երկրորդի մեջ։
 
Կատեգորիաների տեսության դերն ու նշանակությունը [[մաթեմատիկա]]յում որոշվում է նրանով, որ այնպիսի հիմնական մաթեմատիկական հասկացություններ, ինչպիսիք են [[բազմություն]]ները և նրանց [[արտապատկերում]]ները, [[Խումբ (մաթեմատիկա)|խմբերը]] և նրանց [[հոմոմորֆիզմ]]ները, [[տոպոլոգիա]]կան տարածություններն ու նրանց հոմոմորֆիզմները են, կազմում են կատեգորիա, ընդ որում կատեգորիաների տեսությունը հնարավորություն է տալիս մասնավոր տիպի կատեգորիաներն ուսումնասիրող գիտությունների սահմաններում ծագած հասկացություններին նայել նոր, ավելի ընդհանուր տեսանկյունից։ Կատեգորիա հասկացությունը սահմանել են [[Էյլենբերգ]]ն ու [[Մակլեյն]]ը ([[1945]])։ Կատեգորիաների տեսության զարգացումը 50-ական թվականներին գլխավոր առմամբ կապված էր [[հոմոլոգիա]]ների տեսության և [[Հանրահաշիվ|հանրահաշ]]վական տոպոլոգիայի բուռն զարգացման հետ։ Ներկայումս կատեգորիաների տեսությունը մաթեմատիկայի արագ զարգացող ճյուղերից է և հետզհետե վերածվում է ինքնուրույն [[Գիտություն|գիտության]]։
 
{{ՀՍՀ}}