«Կոմպլեքս թիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
չ անաղբյուր |
չ clean up, փոխարինվեց: : → ։ (14) oգտվելով ԱՎԲ |
||
Տող 1.
{{անաղբյուր}}
'''Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը)''' [[իրական թվեր]]ի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի [[բացասական թիվ]]
Հետագայում գտել են, որ '''կոմպլեքս թվերի''' օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../
'''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունը սովորաբար նշանակում են <math>\C</math>-ով /{{lang-la|Complex}} - '''կոմպլեքս''' բառից/
== Սահմանում ==
'''Կոմպլեքս թվերի''' դաշտը կարելի է հասկանալ որպես [[իրական թվեր]]ի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,<math>\ z^2 \ =-1 </math> ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ [[իրական թվեր]]ի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են '''կեղծ թվեր'''
Ցանկացած այսպիսի '''կեղծ թիվ''' կարելի է ներկայացնել երկու [[իրական թվեր]]ի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ <math>\ x+iy </math>, որտեղ <math>\ x </math>-ը և <math>\ y </math>-ը [[իրական թվեր]] են, իսկ <math>\ i </math>-ն՝ կեղծ միավոր։ Հիմք ընդունելով սա, '''կեղծ թիվը''' այժմ հաճախ անվանում են '''կոմպլեքս'''
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է։ Բերված երկու սահմանումները բերում են [[իրական թվեր]]ի դաշտի <math> \R </math> ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և <math>\ z^2 + 1 </math> բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ։ '''Կոմպլեքս թվերը''' ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով <math>\ n </math> աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ <math>\ n </math> կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը)։ Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում '''կոմպլեքս թվերի''' լայն կիրառման համար։ <br />
===Ստանդարտ մոդել===
<math>\ z </math> կարելի է արտահայտել որպես երկու [[իրական թվեր]]ի զույգ՝ <math>\ (x, y) </math>
*<math>\ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y') </math>,
*<math>\ (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')</math>
Այս մոդելում [[իրական թվեր]]ը հանդիսանում են '''կոմպլեքս թվերի''' ենթաբազմություն և ներկայացվում են <math>\ (x; 0) </math> զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են [[իրական թվեր]]ի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ։ [[Զրո]]ն ներկայացվում է <math>\ 0=(0; 0) </math> զույգով, իսկ մեկը՝ <math>\ 1=(1; 0) </math> զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ <math>\ i=(0; 1) </math> զույգով։ '''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունում [[զրո]]ն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես [[իրական թվեր]]ի բազմությունում, իսկ '''կեղծ թվի''' քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է <math>\ (-1; 0) </math>, այսինքն՝ <math>\ -1 </math>
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն [[իրական թվեր]]ի հետ։ Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված։
Տող 22.
<math> \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} </math>,<br />
կեղծ միավորին՝ <br />
<math> \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} </math>
Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար։
Տող 29.
<math>\ a+bi=c+di </math> համեմատումը նշանակում է, որ <math>\ a=c </math> և <math>\ b=d </math> (երկու '''կոմպլեքս թվեր''' հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը)։
*'''Գումարում'''՝
<math>\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i </math>
*'''Հանում'''՝
<math>\ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i </math>
*'''Բազմապատկում'''՝
<math>\ (a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i </math>
*'''Բաժանում'''՝
<math>\ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i </math>
*'''Մասնավորապես,'''՝
<math>\ \frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i </math>
== Երկրաչափական մոդել ==
|