«Կոմպլեքս թիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Ավելացվել է 14 բայտ ,  8 տարի առաջ
չ
clean up, փոխարինվեց: : → ։ (14) oգտվելով ԱՎԲ
չ (անաղբյուր)
չ (clean up, փոխարինվեց: : → ։ (14) oգտվելով ԱՎԲ)
{{անաղբյուր}}
'''Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը)''' [[իրական թվեր]]ի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի [[բացասական թիվ]]:։<br />
Հետագայում գտել են, որ '''կոմպլեքս թվերի''' օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../:։<br />
'''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունը սովորաբար նշանակում են <math>\C</math>-ով /{{lang-la|Complex}} - '''կոմպլեքս''' բառից/:։
 
== Սահմանում ==
'''Կոմպլեքս թվերի''' դաշտը կարելի է հասկանալ որպես [[իրական թվեր]]ի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,<math>\ z^2 \ =-1 </math> ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ [[իրական թվեր]]ի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են '''կեղծ թվեր''':։<br />
Ցանկացած այսպիսի '''կեղծ թիվ''' կարելի է ներկայացնել երկու [[իրական թվեր]]ի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ <math>\ x+iy </math>, որտեղ <math>\ x </math>-ը և <math>\ y </math>-ը [[իրական թվեր]] են, իսկ <math>\ i </math>-ն՝ կեղծ միավոր։ Հիմք ընդունելով սա, '''կեղծ թիվը''' այժմ հաճախ անվանում են '''կոմպլեքս''':։ '''Կոմպլեքս թվի''' այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական։ Գոյություն ունեն '''կոմպլեքս թվերի''' ներկայացման այլ ձևեր։<br />
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է։ Բերված երկու սահմանումները բերում են [[իրական թվեր]]ի դաշտի <math> \R </math> ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և <math>\ z^2 + 1 </math> բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ։ '''Կոմպլեքս թվերը''' ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով <math>\ n </math> աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ <math>\ n </math> կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը)։ Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում '''կոմպլեքս թվերի''' լայն կիրառման համար։ <br />
===Ստանդարտ մոդել===
<math>\ z </math> կարելի է արտահայտել որպես երկու [[իրական թվեր]]ի զույգ՝ <math>\ (x, y) </math>:։ Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝
*<math>\ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y') </math>,
*<math>\ (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')</math>:։
Այս մոդելում [[իրական թվեր]]ը հանդիսանում են '''կոմպլեքս թվերի''' ենթաբազմություն և ներկայացվում են <math>\ (x; 0) </math> զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են [[իրական թվեր]]ի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ։ [[Զրո]]ն ներկայացվում է <math>\ 0=(0; 0) </math> զույգով, իսկ մեկը՝ <math>\ 1=(1; 0) </math> զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ <math>\ i=(0; 1) </math> զույգով։ '''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունում [[զրո]]ն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես [[իրական թվեր]]ի բազմությունում, իսկ '''կեղծ թվի''' քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է <math>\ (-1; 0) </math>, այսինքն՝ <math>\ -1 </math>:։ <br />
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն [[իրական թվեր]]ի հետ։ Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված։
 
<math> \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} </math>,<br />
կեղծ միավորին՝ <br />
<math> \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} </math>:։<br />
Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար։
 
<math>\ a+bi=c+di </math> համեմատումը նշանակում է, որ <math>\ a=c </math> և <math>\ b=d </math> (երկու '''կոմպլեքս թվեր''' հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը)։
*'''Գումարում'''՝
<math>\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i </math>:։
*'''Հանում'''՝
<math>\ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i </math>:։
*'''Բազմապատկում'''՝
<math>\ (a+bi)\cdot(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i </math>:։
*'''Բաժանում'''՝
<math>\ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i </math>:։
*'''Մասնավորապես,'''՝
<math>\ \frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i </math>:։
 
== Երկրաչափական մոդել ==
287 041

edits