|
'''Դիֆերենցիալ հավասարումներ''' կոչվում են այնպիսի [[հավասարում|հավասարումները]]ները, որոնցում որոնելի են հանդիսանում մեկ կամ մի քանի [[փոփոխական|փոփոխականի]]ի [[ֆունկցիա|ֆունկցիաները]]ները, ընդ որում, հավասարման մեջ մասնակցում են ոչ միայն անհայտ ֆունկցիաները, այլև այդ ֆունկցիաների [[ածանցյալ|ածանցյալները]]ները:
''Դիֆերենցիալ հավասարման կարգ'' է կոչվում տվյալ [[հավասարում|հավասարման]] մեջ մասնակցող [[ածանցյալ|ածանցյալների]]ների ամենաբարձր կարգը:կարգը։
<math>\ y(x) </math> [[ֆունկցիա|ֆունկցիան]]ն կոչվում է <math>\ n </math>-րդ կարգի ''դիֆերենցիալ հավասարման լուծում'' <math>\ (a,b) </math> միջակայքում, երե այն ունի մինչև <math>\ n </math>-րդ կարգի [[ածանցյալ|ածանցյալներ]]ներ` <math>y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x)</math> և բավարարում է տվյալ դիֆերենցիալ հավասարմանը: Դիֆերենցիալ հավասարման լուծման պրոցեսը անվանում են [[ինտեգրալ|ինտեգրում]]:
Եթե որոնելի [[ֆունկցիա|ֆունկցիաները]]ները մեկ [[փոփոխական|փոփոխականի]]ի են, ապա [[հավասարում|հավասարումը]]ը կոչվում է [[սովորական դիֆերենցիալ հավասարում]], հակառակ դեպքում` [[մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարում]]:
Դիֆերենցիալ հավասարումներ տերմինը առաջարկել է [[Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լեյբնից|Գ. Լեյբնիցը]]:
== Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ ==
{{main|Սովորական դիֆերենցիալ հավասարում}}
'''Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները''', [[հավասարում|հավասարումներ]]ներ են, որտեղ անհայտները մեկ [[փոփոխական|փոփոխականի]]ի [[ֆունկցիա|ֆունկցիաներ]]ներ են, ընդ որում հավասարման մեջ մասնակցում են ոչ միայն անհայտ ֆունկցիաները այլև այդ ֆունկցիաների [[ածանցյալ|ածանցյալները]]ները:
Սովորական դիֆերենցիալ հավասարման տեսքը ընդհանուր դեպքում հետևյալն է`
: <math>F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\!</math> կամ <math>F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0</math>,
որտեղ <math>~y=y(x)</math> անհայտ [[ֆունկցիա|ֆունկցիան]]ն է, <math>~x</math> անկախ [[փոփոխական|փոփոխականը]]ը, <math>~n</math> կոչվում է ''դիֆերենցիալ հավասարման կարգ'':
Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների առաջին հետազոտությունները կատարվել են [[17-րդ դար|17-րդ դարի]]ի վերջում [[Իսահակ Նյուտոն|Ի. Նյուտոնի]] և [[Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լեյբնից|Գ. Լեյբնիցի]] կողմից:կողմից։
Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները լայն կիրառական նշանակություն ունեն [[մեխանիկա|մեխանիկայում]]յում, [[աստղագիտություն|աստղագիտությունում]]ում, [[ֆիզիկա|ֆիզիկայում]]յում, [[քիմիա|քիմիայի]]յի և [[կենսաբանություն|կենսաբանության]] շատ խնդիրներում:խնդիրներում։ Սա բացատրվում է նրանով, որ շատ հաճախ բնական երևույթները ենթարկվում են օրենքների, որոնք գրվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների տեսքով:տեսքով։ Օրինակ, [[Իսահակ Նյուտոն|Նյուտոնյան]] [[մեխանիկա|մեխանիկայի]]յի օրենքները թույլ են տալիս նյութական կետերի համակարգի շարժման նկարագրման [[մեխանիկա|մեխանիկական]]կան խնդիրը բերել սովորական դիֆերենցիալ հավասարման լուծումները գտնելու [[մաթեմատիկա|մաթեմատիկական]]կան խնդրին:խնդրին։
== Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ ==
{{main|Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարում}}
'''Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները''', [[հավասարում|հավասարումներ]]ներ են, որտեղ անհայտները մի քանի [[փոփոխական|փոփոխականի]]ի [[ֆունկցիա|ֆունկցիաներ]]ներ են, հավասարման մեջ մասնակցում են անհայտ ֆունկցիաները և այդ ֆունկցիաների մասնակի [[ածանցյալ|ածանցյալները]]ները:
Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարման տեսքը ընդհանուր դեպքում հետևյալն է`
: <math>F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, y, \frac{\partial y}{\partial x_1}, \frac{\partial y}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial y}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 y}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 y}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 y}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n y}{\partial x_m^n}\right)= 0</math>,
որտեղ <math>y\! = y(x_1, x_2,\dots, x_m)</math> անհայտ [[ֆունկցիա|ֆունկցիան]]ն է, <math>x_1, x_2,\dots, x_m</math> անկախ [[փոփոխական|փոփոխականները]]ները:
Առաջին մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումը հանդիպում է [[Լեոնարդ Էյլեր|Լ. Էյլերի]] [[մակերևույթ|մակերևույթների]]ների [[տեսություն|տեսությանը]] նվիրված աշխատանքներում:աշխատանքներում։
Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները կարող են օգտագործվել բազմազան երևույթների նկարագրման համար, այնպիսին, ինպիսին են` [[ձայն|ձայնը]]ը, [[ջերմություն|ջերմությունը]]ը, [[էլեկտրաստատիկա|էլեկտրաստատիկան]]ն, [[էլեկտրադինամիկա|էլեկտրադինամիկան]]ն և այլն:այլն։ Այս, առաջին հայացքից, տարբեր ֆիզիկական երևույթները կարող են [[ֆորմալիզացիա|ֆորմալիզացվել]] և նկարագրվել միևնույն ձևով` մասնական ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումների տեսանկյունից: տեսանկյունից։
== Գծային և ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ ==
Եվ սովորական և մասնական ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լինում են գծային և ոչ գծային:գծային։
Դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է գծային, եթե անհայտ [[ֆունկցիա|ֆունկցիան]]ն և նրա [[ածանցյալ|ածանցյալները]]ները (մասնակի ածանցյալները) մտնում են [[հավասարում|հավասարման]] մեջ գծայնորեն:գծայնորեն։
== Օրինակներ ==
| 